2.2.2直线的两点式方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的两点式方程和截距式方程，通过AI思考辨析（如方程变形求斜率和点）及体验新知题目导入，衔接点斜式、斜截式，构建知识支架，帮助学生理解方程推导与应用条件。 其亮点在于用表格清晰呈现方程要素、使用范围培养数学眼光，通过分类讨论例题（如截距相等分0和非0）发展数学思维，结合求三角形面积等实例强化数学语言表达。助力学生夯实基础提升能力，为教师提供系统教学资源。

第二章　直线和圆的方程 2.2.2　直线的两点式方程 学 习 目 标 1.掌握直线的两点式方程和截距式方程. 2.会选择适当的方程形式求直线方程. 3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　直线的两点式方程 名称 两点式方程 几何要素 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2 示意图   方程 　　　　 　　　  使用范围 斜率存在且不为0 注意是“且”的关系,不是“或”的关系 AI·思考辨析 若直线的两点式方程为,你能发现这条直线的斜率及直线上一个点的坐标吗? 体验新知 1.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式方程为(　　) A. B. C. D. A 解析 因为直线经过点A(-3,2),B(4,4),由直线的两点式方程可得直线方程为,整理得.故选A. 2.(1)如图,已知直线l上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则方程   称为直线的两点式方程. (2)直线的两点式不能表示与坐标轴　　　　　的直线,但如果将方程变形为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),它是两点式的变形,可以表示任何直线.  (x1≠x2,y1≠y2) 垂直 知识点2　直线的截距式方程 名称 几何要素 示意图 方程 使用范围 截距式方程 直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),a≠0,b≠0   　　　 　  　 　　  a≠0,b≠0 AI·思考辨析 直线y=kx(k≠0)在x轴上的截距和在y轴上的截距分别为多少? 提示 直线y=kx(k≠0)与坐标轴的交点为(0,0),在x轴上的截距和在y轴上的截距都等于0. 体验新知 1.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是(　　) A.=0 B.=1 C.=1 D.=1 C 2.(2026河南郑州高二期中)在平面直角坐标系Oxy中,直线=1在y轴上的截距为(　　) A.-6 B.6 C.- D. A 解析 令x=0,解得y=-6,即直线=1在y轴上的截距为-6.故选A. 3.已知直线l过点A(3,2),B(4,3),则它的横截距是　　　,纵截距是　　　　. 1 -1 解析 由题意得直线的两点式方程为,整理得y=x-1.令y=0,得x=1;令x=0,得y=-1. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　直线的两点式方程 【例1】 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC边所在的直线方程; (2)BC边上中线所在的直线方程. 思路分析 已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程. 例题探究 (变条件)在本例中,若点D(2,m),求直线AD的方程. 解 当m=0时,直线AD的方程为y=0; 当m≠0时,则直线AD的方程为,整理得y=x+. 综上,直线AD的方程为y=x+或y=0. 能力提升点二　直线的截距式方程 【例2】 (1)过点A(1,2)在两坐标轴上的截距相等的直线方程是(　　) A.y=2x B.y=-x+3 C.x=y或y=-x+3 D 解析 因为在两坐标轴上截距相等,设截距为a.当截距a≠0时,设直线方程为=1,将x=1,y=2代入,得a=3,故直线方程为=1.当截距a=0时,过原点和点A(1,2)的直线方程为y=2x.综上,过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=2x或=1.故选D. (2)(2026江苏常州高二期中)在平面直角坐标系Oxy中,过点(1,2)的直线l与两坐标轴分别交于A,B两点,△AOB的面积记为S. ①若直线l在y轴上的截距为5,求S的值; ②若S=,求直线l的斜截式方程. 解 ①依题意,直线l过点(0,5),设其方程为=1,代入点(1,2)得,a=, 则S=×5×. ②(方法1)设直线l在y轴上的截距为b,则直线l过点(0,b), 故其斜率为=2-b,方程为y=(2-b)x+b. 令y=0,可得x=,则S=×|b|×,解得b=-2或b=1, 则直线l的斜截式方程为y=4x-2或y=x+1. (方法2)设l的方程为=1,代入点(1,2)得=1. 又|a||b|=1,解得所以直线l的方程为y=4x-2或y=x+1. 例题探究 (变条件)将例2(1)中的条件“截距相等”改为“截距互为相反数”,其他条件不变,求该直线方程. 解 因为在两坐标轴上的截距互为相反数,则设在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为-a. 当a=0时,过原点和A(1,2)的直线方程为y=2x. 当a≠0时,设直线方程为=1,将A(1,2)代入,得a=-1, 故直线方程为=1,即y=x+1. 综上,该直线的方程为y=2x或y=x+1. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)直线的两点式方程; (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳:分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区:(1)容易疏忽两点式和截距式方程的使用条件; (2)利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.过(1,2),(5,3)的直线方程是(　　) B 1 2 3 4 5 2.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.y=-2x+8 B.y=2x+8 C.y=-2x+12 D.y=2x-12 A 解析 点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2), 由两点式方程得,即y=-2x+8. 1 2 3 4 5 3.(2026广西高二期末)若经过点(2,1)的直线l在x轴、y轴上的截距之比为2∶1,则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为　　　　　.  4 解析 由题可知,直线l不过原点,设直线l的方程为=1,因为直线l过点(2,1),则=1,解得a=2,故直线l的方程为=1,则直线l在x轴、y轴上的截距分别为4,2,所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 1 2 3 4 5 4.过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是　　　　　 　　. 1 2 3 4 5 5.(人教B版教材习题改编)已知直线过点A(3,0),且在两坐标轴上的截距和为5,求直线的方程. 解 由题意,直线在x轴上的截距为3,则在y轴上的截距为2, 本 课 结 束 提示 直线的方程可化为y-1=(x-1),易知直线的斜率为,直线上一点的坐标可以为(1,1). =1 解析 根据直线的截距式可知直线方程为=1.故选C. 解 (1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得, 化简得2x+y+3=0. (2)由中点坐标公式,得BC的中点D的坐标为,即D(-1,-1). 又直线AD过点A(-4,0),由两点式方程得,化简得x+3y+4=0. D.y=2x或=1 A. B. C. D. 解析 ∵所求直线过点(1,2),(5,3), ∴所求直线方程是. y=x或x+y-5=0 解析 当截距为0时,设直线方程为y=kx, 将A(4,1)代入,可得k=,所以直线方程为y=x; 当截距不为0时,设直线方程为=1, 将A(4,1)代入,可得a=5,所以直线方程为x+y-5=0. 综上,直线方程为y=x或x+y-5=0. 所以直线的方程为=1,即y=-x+2. $