2.2.3 直线的一般式方程课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.3 直线的一般式方程 问题1 四种表示直线的方程 区别：应用条件不同；表达形式不同； 联系： 点斜式方程 斜截式方程 两点式方程 截距式方程 ，它们有怎样的区别与联系？ 直线上任意点的几何特征 直线的代数表示：直线上点的横纵坐标x，y的关系 复习回顾 l 在之前的学习中，我们探究了四种表示直线的方程，分别是直线的点斜式方程，斜截式方程，两点式方程和截距式方程，那么这四种方程有着怎样的区别和联系呢？ 若说区别，这四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导出来的，因此方程的应用条件不同，呈现的表达形式也不同； 若说联系，这四种方程的推导，都可以利用直线上任意点的几何特征，来进行代数表示，也就是找到直线上点的横纵坐标x，y之间关系，这种运用坐标法将“数形”相互转化的过程也正是解析几何中的重要思想。这四种方程在表示直线时，都有各自使用的要求 2 追问1：以上四种方程在表示直线时有怎样的局限性？ × × × × × × × √ √ √ √ √ 复习回顾 l 那么，以上四种形式在表示直线时有怎样的局限性呢? 我们来回忆一下，对于点斜式和斜截式方程，它们使用的前提是要满足直线斜率存在这一要求，因此，这两种方程都不能表示斜率不存在的直线；对于两点式，它使用的前提是要满足给定两点的横纵坐标均不相等，因此不能表示斜率不存在或者斜率为0这样垂直或平行于x轴的直线；对于截距式，它使用的前提是要满足直线在x，y轴上的截距均不为0，因此，除了不能表示斜率不存在或者斜率为0这样的直线外，还不能表示过原点的直线；可见，这四种方程都不能表示出所有的直线 3 问题： 由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形. (1)斜率是1,经过点A(1,8); (2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7; (3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9); (4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°. 问题导学 同学们,请根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,求出对应的4个直线方程； 新知探究 发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程. 如果我们画出这4条直线的图象，你有什么发现？ 新知探究 二元一次方程 一条直线 探究新知 新知探究 2.直线的一般式方程与其他形式的互化 新知探究 1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线 (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合. 小试牛刀 新知探究 2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为　　　　　　　　; 化为截距式为 　 .  新知探究 3.两条直线的位置关系 新知探究 新知探究 l 所以，对于表示直线的方程，我们又多了一种表达形式，即直线的一般式方程Ax+By+C=0，其中，A,B不同时为0，这种形式可以表示任意的直线.   11 例析 例5.已知直线过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点，斜率为的直线的 点斜式方程是， 化为一般式，得. 例析 例6.把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形. 解：把直线的一般式方程化为斜截式. 因此，直线的斜率，它在轴上的截距是. 在直线的方程中，令，得， 即直线在轴上的截距是. 由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，， 过，两点作直线，就得直线(如图). 练习 题型一：直线的一般式方程 例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率是，在轴上的截距为； 解：(1)由点斜式，得直线方程为， 即. (2)由斜截式，得直线方程为， 即. 练习 例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (3)经过点两，点； (4)在轴，轴上的截距分别为，； (5)经过点，且平行于轴. 解：(3)由两点式，得直线方程为， 即. (4)由截距式，得直线方程为， 即. (5). 练习 方法技巧： 求直线一般式方程的策略 (1)当时，方程可化为，只需求的值；若，则方程可化为，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程. (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式. 练习 变1.已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距. 解：∵，所以点斜式方程为， 斜截式方程为， 一般式方程为， 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. 练习 题型二