精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区2025—2026学年度第二学期期末七年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期期末测试题 七年级数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅国际足联世界杯的标志中，具有轴对称性的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 5. 如果方程与下面方程中的一个组成的方程组，其解为，那么这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一把直尺沿直线断开并平移，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“方程术”记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？其大意为：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有50钱．问甲、乙两人各有多少钱？设甲、乙分别有x、y钱，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. “与4的和等于”用方程可表示为__________． 10. 已知，且，则的取值范围是__________． 11. 如果、满足，则______． 12. 如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 13. 如图，用五边形可以铺满地面，若，则的度数是__________． 14. 如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程（组）： （1）； （2） 16. 解不等式（组）： （1）； （2） 17. 如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点．求证：．请将解答过程的空缺处补全． 证明：平分， __________． 平分， __________． __________， __________ ． __________， ． __________． 18. 学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用．已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是、．问这一圈步道有多长？ 19. 如图是五个小正方形拼成的图形．请你移动其中一个小正方形，重新拼一个图形，使得所拼成的新图形： （1）是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）是中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）既是轴对称图形，又是中心对称图形请分别画出示意图． 20. “如果，，那么．”的推理过程如下： ， ∴．① ， ．② 由①②，可得． ． （1）步骤①的推理依据是______________________________； （2）请类比以上推理过程，说明“如果、、、都是正数，且、，那么．”的正确性； （3）根据上述结论解决问题：若，，则的取值范围是__________． 21. 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． （1）用这种方法解方程组 （2）方程组的解为__________． 22. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． 23. 电动车因环保节能、日常通勤费用低被大众认可．某销售商欲采购甲、乙两种型号的电动车，经调研得知： 甲型（辆） 乙型（辆） 采购总价（万元） 2 1 29 1 2 34 （1）求甲、乙两种型号电动车的采购单价； （2）若销售商计划用240万元资金采购两种电动车（正好用完），请直接写出所有的采购方案； （3）销售时每辆甲型电动车可盈利2万元，每辆乙型电动车可盈利4万元．若采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，并且销售商希望本次采购的电动车全部售出后总盈利不低于150万元，求至少采购多少辆甲型电动车？ 24. 如图①，点是正方形的边上的一点，绕着点顺时针旋转到位置，点、、在同一条直线上． 【理解题意】 （1）旋转中心是点__________，旋转角的大小为_______度，______________． 【操作探索】 （2）在图①中只用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交边于点．不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑． 【拓展提升】 在操作探索的条件下，解决下列问题： （3）若，求的度数； （4）连结，可得与关于直线对称．若的周长为6，则正方形的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末测试题 七年级数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四幅国际足联世界杯的标志中，具有轴对称性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照轴对称图形的概念即可判断． 【详解】解：要判断是否具有轴对称性，关键是看图形能否沿某条直线对折后，直线两侧的部分完全重合， A、C、D的图形无法找到这样的直线，不具备轴对称性； B的图形沿中间竖直直线对折后，两侧能完全重合，具有轴对称性． 2. 下列等式变形中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】解：等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等； A．若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B．∵，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C．若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D．若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到，故D变形错误，不符合要求． 3. 不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次移项、合并同类项、系数化为1即可得． 【详解】解：3x﹣1＞5， 3x＞5+1， 3x＞6， x＞2， 故选A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 4. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 5. 如果方程与下面方程中的一个组成的方程组，其解为，那么这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知的方程组解代入各选项方程，验证等式是否成立即可得到答案． 【详解】解：将依次代入各选项方程： 选项A：方程左边，右边，左边右边，则A不符合题意； 选项B：方程左边，右边，左边右边，则B不符合题意； 选项C：左边，右边，左边右边，则C不符合题意 选项D：左边，右边，左边右边，则D符合题意． 6. 如图，一把直尺沿直线断开并平移，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可知， ∴， ∴． 7. 如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 8. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“方程术”记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？其大意为：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有50钱．问甲、乙两人各有多少钱？设甲、乙分别有x、y钱，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有50钱”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙分别有x、y钱， 根据题意得可列方程组， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. “与4的和等于”用方程可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将文字描述转化为方程，先表示出x与4的和，再结合等量关系列出方程即可． 【详解】解：与的和可表示为，由题意可知该和等于，因此可得方程为． 10. 已知，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 11. 如果、满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的非负性求出x,y的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵、满足， ∴，解得， ∴． 12. 如图，某公园的观赏鱼池是中心对称图形，图中的弧形均为半圆，虚线围成的图形是正方形，已知米，则阴影部分图形的面积和为__________平方米． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称图形的性质可知阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称图形，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 13. 如图，用五边形可以铺满地面，若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得：3个拼成一个周角，即可求解． 【详解】解： 根据题意得：3个拼成一个周角，如图， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【解析】 【详解】解：依次分析：①是中线， ，①正确； ②是角平分线， ，②正确； ③， ， 又， ，③正确； ④通过是中线可以得到，但是无法得到，④错误． 综上可知，正确结论的序号有①②③． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； ， ． 【小问2详解】 解： 得∶， 解得：， 把代入②中得：， 解得：． 所以原方程组的解为． 16. 解不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组解集为． 17. 如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点．求证：．请将解答过程的空缺处补全． 证明：平分， __________． 平分， __________． __________， __________ ． __________， ． __________． 【答案】；；；；； 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及角的和差计算即可． 【详解】略． 18. 学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用．已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是、．问这一圈步道有多长？ 【答案】这一圈步道长米 【解析】 【分析】设这一圈步道长米，根据“乙用时甲用时秒” 列方程求解即可． 【详解】解：设这一圈步道长米，根据题意，得 ， 解得， 答：这一圈步道长米． 19. 如图是五个小正方形拼成的图形．请你移动其中一个小正方形，重新拼一个图形，使得所拼成的新图形： （1）是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）是中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）既是轴对称图形，又是中心对称图形请分别画出示意图． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的定义，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形画出图形即可； （2）根据中心对称图形的定义：如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形画出图形即可； （3）根据中心对称图形和轴对称图形的特点画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握两种图形的特点． 20. “如果，，那么．”的推理过程如下： ， ∴．① ， ．② 由①②，可得． ． （1）步骤①的推理依据是______________________________； （2）请类比以上推理过程，说明“如果、、、都是正数，且、，那么．”的正确性； （3）根据上述结论解决问题：若，，则的取值范围是__________． 【答案】（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变 （2），， ．① ，， ．② 由①②可得． ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质即可得出结果； （2）根据不等式两边同乘一个正数，不等号方向不变，即可得出结果； （3）根据（2）中的结论计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，步骤①的推理依据是不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． （1）用这种方法解方程组 （2）方程组的解为__________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将①整体代入②，得，再把代入①，即可求解； （2）将①整体代入②，得，把代入得，再把代入①得：，即可求解． 【小问1详解】 解：， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 将①整体代入②，得， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 22. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）是线段上一点，连接，将沿折叠，点落在同一平面内的点处，且，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，求出，再由折叠的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ，， ； 【小问2详解】 解：由折叠可知． ∵， ∴． ∴． 由折叠可知． 23. 电动车因环保节能、日常通勤费用低被大众认可．某销售商欲采购甲、乙两种型号的电动车，经调研得知： 甲型（辆） 乙型（辆） 采购总价（万元） 2 1 29 1 2 34 （1）求甲、乙两种型号电动车的采购单价； （2）若销售商计划用240万元资金采购两种电动车（正好用完），请直接写出所有的采购方案； （3）销售时每辆甲型电动车可盈利2万元，每辆乙型电动车可盈利4万元．若采购乙型电动车的数量是甲型电动车数量的2倍，并且销售商希望本次采购的电动车全部售出后总盈利不低于150万元，求至少采购多少辆甲型电动车？ 【答案】（1）甲型号电动车的采购单价为8万元，乙型号电动车的采购单价为13万元 （2）方案一：采购甲型电动车17辆，乙型电动车8辆；方案二：采购甲型电动车4辆，乙型电动车16辆 （3）至少采购15辆甲型电动车 【解析】 【分析】（1）设甲型号电动车的采购单价为万元，乙型号电动车的采购单价为万元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设采购甲型电动车辆，乙型电动车辆，根据题意列出关于、的二元一次方程，解方程即可得出结果； （3）设采购甲型电动车辆，则采购乙型电动车辆，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：设甲型号电动车的采购单价为万元，乙型号电动车的采购单价为万元， ， 解得， ∴甲型号电动车的采购单价为8万元，乙型号电动车的采购单价为13万元； 【小问2详解】 解：设采购甲型电动车辆，乙型电动车辆， 由题意可得， 整理得， ∵，均为正整数， ∴为的倍数， ∵， ∴， ∴可以取或， 当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案，方案一：采购甲型电动车17辆，乙型电动车8辆；方案二：采购甲型电动车4辆，乙型电动车16辆； 【小问3详解】 解：设采购甲型电动车辆，则采购乙型电动车辆， 由题意得， 解得， ∴至少采购15辆甲型电动车． 24. 如图①，点是正方形的边上的一点，绕着点顺时针旋转到位置，点、、在同一条直线上． 【理解题意】 （1）旋转中心是点__________，旋转角的大小为_______度，______________． 【操作探索】 （2）在图①中只用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交边于点．不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑． 【拓展提升】 在操作探索的条件下，解决下列问题： （3）若，求的度数； （4）连结，可得与关于直线对称．若的周长为6，则正方形的面积为__________． 【答案】（1）；90；； （2）如图，即为所求； （3） （4）9 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质解答即可； （2）根据作已知角的角平分线的作法解答即可； （3）根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由的平分线为，可得，从而得到，即可求解； （4）证明，可得，再由的周长为6，可得，可得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， 即， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：如图， ∵四边形为正方形， ∴， 由旋转的性质得：，， 由（3）得：， ∵， ∴， ∴，即， ∵的周长为6， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴正方形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $