湖南长沙市玉潭雅德高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 覆盖高二上学期集合、函数、数列、向量、解析几何、立体几何等核心知识，通过分层抽样、椭圆离心率等问题考查数学思维与应用能力，题型梯度适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数定义域、等差数列|基础概念直接考查，如第3题等差数列求值| |多选题|3/18|向量运算、直线与圆位置关系|选项分层设计，如第10题直线过定点与垂直判定| |填空题|3/15|直线倾斜角、圆半径、数列求和|简洁考查运算能力，如第14题数列前n项和| |解答题|5/77|向量运算、直线方程、立体几何、椭圆综合|梯度明显，如第17题立体几何考查空间角与距离，体现空间观念；第19题椭圆综合题结合直线与椭圆位置关系，强化逻辑推理|

2025-2026学年高二上学期期末考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D． 4．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 5．某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 6．已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 7．双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，则下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D．与同方向的单位向量是 10．已知直线和圆，则（    ） A．直线l恒过定点 B．存在k使得直线l与直线垂直 C．直线l与圆O相交 D．若，直线l被圆O截得的弦长为4 11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为 D．最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线的倾斜角为 . 13．圆的半径为 ． 14．数列的前n项和为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知向量，，． (1)求； (2)若，求，的值． 16．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. (1)求AB边所在的直线方程； (2)求中线AM的长 (3)求AB边的高所在直线方程. 17．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．      (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．在三角形中，内角所对的边长分别是，且． (1)求角； (2)若，求三角形的面积的最大值． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为、，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)直线与交于、两点，若，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年高二上学期期末考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D C B B ABC BC 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】通过解方程和不等式将集合具体化，结合交集运算可得. 【详解】由得或，所以， 又，所以. 故选：B 2．D 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域. 【详解】由题可知且，所以函数的定义域为． 故选：D． 3．B 【分析】直接根据等差数列的性质可得结果. 【详解】因为数列是等差数列，由等差的性质可得， 又因为，，所以，解得. 故选：B 4．A 【分析】利用向量的线性运算转化即得. 【详解】由图可得，. 故选：A. 5．D 【分析】根据分层抽样的性质列式求解即可. 【详解】根据分层抽样可得，解得. 故选：D. 6．C 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 7．B 【分析】根据双曲线方程以及焦距可得，可得渐近线方程. 【详解】由焦距为4可得，即，又， 所以，可得，即； 则的渐近线方程为. 故选：B 8．B 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 9．ABC 【分析】利用空间向量的数乘坐标运算，模的坐标运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得，故A正确； 由，可得，故B正确； 由，可得，故C正确； 由，可得与同方向的单位向量是，故D错误； 故选：ABC 10．BC 【分析】利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D. 【详解】解：对于A、C，由，得，令，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 因为直线恒过定点，而，即在圆内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确； 对于D，时，直线，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误. 故选：BC. 11．BCD 【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B， 根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D. 【详解】由椭圆方程可知，，，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得：，所以的面积为，故C正确； 因为，即， 设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】由直线的一般方程可以求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角之间的关系可得答案. 【详解】将直线化为斜截式：， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，且， 则，所以， 故答案为：. 13． 【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 14． 【分析】由及递推关系求结果. 【详解】. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （2）设，得到方程组，求出答案. 【详解】（1）; （2）因为，所以设，即， 故，解得. 16．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程； （2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得； （3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】（1）法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； （2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故， 所以； （3）直线AB的斜率为， 所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为， 故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：. 17．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； （2）由上易知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 所以点到平面的距离为； （3）由上可知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解. 【详解】（1）由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； （2）因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）由题意求出的值，结合的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）由椭圆的定义可得，可得， 又因为，所以，故， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点、，    联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $