精品解析：湖南邵阳市邵东市第四中学2025-2026学年期末质量监测高二数学试题

2026年上学期期末质量监测 高二数学 本试卷满分 150 分，考试时量120分钟，请将答案填写在答题卡上的指定位置 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（ ） A. 13 B. 23 C. 29 D. 198 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为( ) A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 6. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（ ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（     ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 8. 如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ） A. 在处取极大值 B. C. 在上存在最小值 D. 在上至多有3个零点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的二项式系数之和为64 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中第4项的二项式系数最大 10. 下列说法正确的是（ ） A. 经验回归方程为时，变量与变量成正相关 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，则， 11. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数在单调递增，在单调递减 C. 当时，总有恒成立 D. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 14. 甲、乙、丙等位同学都要报名参加学校举办的项不同活动，每人仅报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式种数是_________.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 18. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 19. 已知函数． （1）若是函数的极值点，求m的值； （2）当时，求证：； （3）若有两个不同的零点和，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末质量监测 高二数学 本试卷满分 150 分，考试时量120分钟，请将答案填写在答题卡上的指定位置 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（ ） A. 13 B. 23 C. 29 D. 198 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，而，所以选项A错误. 对于B，，而不是，所以选项B错误. 对于C，，所以选项C正确. 对于D，，而不是，所以选项D错误. 3. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种. 故选：D 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的导数求解即可. 【详解】由已知，又， 所以，解得. 5. 五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为( ) A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】借助捆绑法把相邻的甲乙打包，分单元内部排序、整体全排列两步相乘求解排列总数. 【详解】将甲、乙捆绑合并为1个单元，单元内部的站位排列数为， 剩余3人与该单元构成4个独立元素，4个元素全排列的排列数为. 可得总站法种数. 6. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（ ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：， 因经验回归方程经过样本中心点,故，解得， 所以经验回归方程为， 当时，． 7. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（     ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 8. 如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ） A. 在处取极大值 B. C. 在上存在最小值 D. 在上至多有3个零点 【答案】D 【解析】 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的二项式系数之和为64 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中第4项的二项式系数最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式定理以及性质逐一求出. 【详解】展开式共项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 令，则，则展开式各项的系数之和为1，故C正确； 共项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 经验回归方程为时，变量与变量成正相关 B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，则， 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以变量与变量成负相关，故A错误， 对于B，由残差的定义可知，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，所以B正确， 对于C，因为随机变量，且，则，所以C正确， 对于D，因为，则，所以D正确. 11. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数在单调递增，在单调递减 C. 当时，总有恒成立 D. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导得和，解不等式即可判断选项； 对于：对求导得，令，可分别求出的单调区间； 对于C：求得在上单调递增，且，，，即可比较与的大小关系； 对于D：求导得，令，化简得，再根据函数图象的交点来计算的取值范围. 【详解】由得，，则，，， 对于A：因为，所以等价于，解得，所以选项正确； 对于B：由，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减，所以选项错误； 对于C：当时，，所以， 因为，且在上单调递增，所以此时， 又因为，所以时，总有恒成立，所以选项正确； 对于D：，， 若函数有两个极值点，则有两个不同的零点， 令，化简得：， 所以直线与函数的图象有两个不同的交点； 的图象如图所示： 当直线与函数的图象有两个不同的交点时，，解得，所以选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】的常数项为 . 14. 甲、乙、丙等位同学都要报名参加学校举办的项不同活动，每人仅报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式种数是_________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先将位同学分成三组，再将每组分到项不同活动中，由分步计数原理，即可求解. 【详解】将位同学分成三组，有种分法， 再将每组分到项不同活动中，有种方法， 所以不同的报名方式种数是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则，， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. 16. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与性别有关联； （2）． 【解析】 【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论； （2）根据古典概率或条件概率的计算公式求解即可. 【小问1详解】 零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关． 根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联，此推断错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 方法一：依据题意， 方法二：由条件概率公式得． 17. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 P ，期望为 （2）的分布列为： 0 1 2 3 P ，期望为，方差为【解析】 【分析】由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望； 由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望． 【小问1详解】 由题意知，的值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ； 【小问2详解】 由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P . 18. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 【答案】（1），相关程度很强 （2），残差为百人 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， ， ， ， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. 【小问2详解】 ，， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） 【小问3详解】 记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 19. 已知函数． （1）若是函数的极值点，求m的值； （2）当时，求证：； （3）若有两个不同的零点和，且，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：当时，， 若证，只需证， 所以， 因为，所以在上单调递增， 又因为，，所以存在，使得， 则，即， 当，，当，， 则在单调递减，在单调递增， 所以，即， 所以当时，. （3） 证明：，则（为函数的导函数）， 知在区间内单调递增，所以在区间内存在唯一的零点， 即， 所以，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因为有两个不同的零点和，且， 所以，解得． 所以， 所以，所以， 令， 要证，即证， 即证． 令， 在上单调递增，且， 所以，在上单调递增， 所以．得证． 【解析】 【分析】（1）根据极值点处导数为0，即可求出m的值. （2）先构造函数，找到导数为0的隐零点，进而确定函数的单调性，求出函数的最小值，证明最小值大于0即可. （3）先根据函数的单调性和零点情况得到和的关系，再通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式. 【小问1详解】 ， 因为是函数的极值点，则，得， 经检验，当，，当，， 所以是函数的极小值点，符合题意． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】双零点问题通常先利用零点条件做等式变形，再通过换元将双变量转化为单变量，最后构造函数用单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $