精品解析：四川省成都市四川天府新区第四中学校2025--2026学年七年级下学期期末数学试题

四川省成都市四川天府新区第四中学校2025--2026学年七年级下学期期末数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 唐代诗人白居易有诗曰：“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．”桃花不仅有极高的观赏价值，其花粉也具有重要的研究意义．某品种的桃花花粉直径约为0.0000428米，则数据0.0000428用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 7. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则代数式的值为___________． 10. 如果一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长为___________． 11. 如图，三角形纸片，沿折叠，使点落在边上的点处，已知的周长是8厘米，的周长为26厘米，则___________厘米． 12. 锐角三角形，边的中垂线和的角平分线相交于点，若，，则的度数为___________． 13. 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简：； （3）先化简，再求值：，其中，． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． （1）请作出对称轴及关于直线对称的； （2）如果每一个小正方形的边长为1，求的面积； （3）在直线上找到点，使得． 16. 某超市做促销抽奖活动，设置了一、二、三等奖，在不透明的抽奖箱里放有40个乒乓球，它们除颜色外都相同，其中2个球的颜色是红色，为一等奖；8个球的颜色是黄色，为二等奖；其余球的颜色是白色，为三等奖． （1）顾客从中随机抽出1个球，抽到一等奖的概率是多少？ （2）若向抽奖箱中再放入4个红色乒乓球和若干个黄色乒乓球，从抽奖箱中随机取出1个球是二等奖的概率是，求需再放入多少个黄色乒乓球． 17. 某通讯公司手机月租费是18元，其中每月所交的电话费（元）是随通话时间（分钟）的变化而变化的，试根据表格列出的几组数据回答： 通话时间（分钟） 1 2 3 4 5 6 电话费（元） （1）自变量是___________，因变量是___________；这两个变量之间的关系式为___________； （2）若某月小明通话15分钟，求需付话费多少元； （3）某月小明需要付费30元，则小明该月的通话时间是多少分钟？ 18. 如图，直线直线，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．． （1）如图1，，若与的角平分线交于点，求的度数； （2）如图2，点在的平分线上，连接，且，若，求的度数； （3）如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若9m＝4，27n＝2，则32m﹣3n＝__． 20. 已知等腰三角形两边长分别为和，且满足，则等腰三角形的周长是___________． 21. 对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 22. 两个正方形、，如图摆放．边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为___________． 23. 如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为__． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，… （1）若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； （2）若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； （3）由上面的举例，你能得出什么结论？ 25. 小明从超市A出发，沿笔直道路以60米/分的速度匀速步行回家，妈妈同时骑自行车从家出发，沿相同路线匀速去超市A购物，购物结束后按原路原速返回家中，小明比妈妈到家早5分钟．在此过程中，设妈妈从家出发开始所用时间为（分钟），下图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的关系的图象．请根据以上所给信息解答下列问题： （1）求妈妈购物花了多少时间？ （2）求小明到家时，与妈妈的距离是多少米？ （3）求为何值时，妈妈和小明相距360米． 26. 如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； （3）如图3，若，且的面积为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市四川天府新区第四中学校2025--2026学年七年级下学期期末数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵选项A中的图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合， ∴选项A是轴对称图形； 选项B、C、D中的图形沿任意直线折叠，两旁部分均不能重合， ∴选项B、C、D不是轴对称图形． 2. 唐代诗人白居易有诗曰：“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．”桃花不仅有极高的观赏价值，其花粉也具有重要的研究意义．某品种的桃花花粉直径约为0.0000428米，则数据0.0000428用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，故A错误； 对于选项B：根据单项式除以单项式法则：系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故B错误； 对于选项C：根据合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变， ∴，故C错误； 对于选项D：根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ，故D正确． 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解． 【详解】解：如图，，，则， 当，， 故选：C． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 6. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 从分别标有1，2，4，4，5的5张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数 【答案】C 【解析】 【分析】观察统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在  附近，即概率约为 ，分别计算各选项的概率，找出概率为  的选项即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数增加，频率稳定在  附近，   该事件发生的概率约为 ． A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，不符合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是的概率为，不符合题意； C．从只装有张黑桃和张红桃的扑克牌盒中随机抽取一张，总共有种等可能结果，红桃有种，抽出的牌是红桃的概率为，符合题意； D．从分别标有的张纸条中，随机抽出一张，其中的倍数有共个， 抽到的倍数的概率为，不符合题意． 7. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由尺规作图可知，，利用含角的直角三角形的性质可得，，因此． 【详解】解： 在中，， ∴，， 由尺规作图可知，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 8. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作，利用平行线的性质求出的度数，再结合求出，最后根据利用同旁内角互补求解即可． 【详解】解：过作，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将所给的等式变形成，再代入所求代数式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 10. 如果一个长方形的面积是，宽是，则这个长方形的长为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵长方形的面积为，宽为， ∴长方形的长为． 11. 如图，三角形纸片，沿折叠，使点落在边上的点处，已知的周长是8厘米，的周长为26厘米，则___________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠得，，的周长为，的周长为，代入解得． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， 的周长为 的周长为， 把代入上式：得， 解得． 12. 锐角三角形，边的中垂线和的角平分线相交于点，若，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为点，由角平分线的性质可得，，进而得到，由中垂线的性质可得，则，因此． 【详解】解：如图，设的中点为点， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴． 13. 如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值为___________． 【答案】3或13 【解析】 【分析】根据函数图象可得且，由此求出，再分当点在上，当点在上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，且， ，解得， 四边形是长方形， ，， ①当点在上，时，，即， 解得， ②当点在上，时，，即， 解得， 此时， 综上所述，当时，对应的的值是3或13． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简：； （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【小问1详解】 解：     ； 【小问2详解】 解：      ； 【小问3详解】 解： ， 当，时， 原式． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． （1）请作出对称轴及关于直线对称的； （2）如果每一个小正方形的边长为1，求的面积； （3）在直线上找到点，使得． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称点的连线被对称轴垂直平分作出对称轴，进而画出即可； （2）根据割补法计算即可； （3）构造的垂直平分线交直线于点即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略． 16. 某超市做促销抽奖活动，设置了一、二、三等奖，在不透明的抽奖箱里放有40个乒乓球，它们除颜色外都相同，其中2个球的颜色是红色，为一等奖；8个球的颜色是黄色，为二等奖；其余球的颜色是白色，为三等奖． （1）顾客从中随机抽出1个球，抽到一等奖的概率是多少？ （2）若向抽奖箱中再放入4个红色乒乓球和若干个黄色乒乓球，从抽奖箱中随机取出1个球是二等奖的概率是，求需再放入多少个黄色乒乓球． 【答案】（1） （2）需再放入16个黄色乒乓球 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算抽到一等奖的概率； （2）设需再放入个黄色乒乓球，根据二等奖的概率为列出方程，求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵顾客随机抽出1个球，共有40种等可能的结果，其中抽到一等奖（红色球）的结果有2种， ∴抽到一等奖的概率． 【小问2详解】 解：设需再放入个黄色乒乓球， 由题意得，， 去分母得， 整理得， 移项合并得， 解得， 经检验符合题意， 答：需再放入16个黄色乒乓球． 17. 某通讯公司手机月租费是18元，其中每月所交的电话费（元）是随通话时间（分钟）的变化而变化的，试根据表格列出的几组数据回答： 通话时间（分钟） 1 2 3 4 5 6 电话费（元） （1）自变量是___________，因变量是___________；这两个变量之间的关系式为___________； （2）若某月小明通话15分钟，求需付话费多少元； （3）某月小明需要付费30元，则小明该月的通话时间是多少分钟？ 【答案】（1）通话时间，电话费， （2）24元 （3）小明该月的通话时间为30分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意判断自变量与因变量，由月租费和变化时，的改变量可得关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式即可； （3）将代入（1）中所求的关系式即可． 【小问1详解】 解：∵每月所交的电话费（元）是随时间（分钟）的变化而变化的， ∴自变量为通话时间，因变量为电话费， 由表格可知，每通话1分钟，电话费增加元， 又∵月租费是18元， ∴这两个变量之间的关系式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴需付话费元； 【小问3详解】 解：将代入，得， ∴小明该月的通话时间为30分钟． 18. 如图，直线直线，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．． （1）如图1，，若与的角平分线交于点，求的度数； （2）如图2，点在的平分线上，连接，且，若，求的度数； （3）如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义求和，记与直线交于点M，由的外角性质求； （2）根据平行线的判定和性质得到，设，根据三角形内角和定理求出，根据题意可知，，根据平行线的性质可知，根据三角形外角的性质得到，求解即可； （3）根据比例关系和（2）中思路表示出即可． 【小问1详解】 解：如图，与直线交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与的角平分线交于点I， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设与直线交于点M，作，则， ∴， ∴， 即， 设，， ∵， ∴， ∵点I在的角平分线上，连接，且， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， 同（2）得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若9m＝4，27n＝2，则32m﹣3n＝__． 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数的运算，把32m﹣3n改写成同底数幂除法，再用幂的乘方的逆运算即可． 【详解】解：32m﹣3n， ＝32m÷33n， ＝ ＝9m÷27n， ＝4÷2， ＝2； 故答案为：2. 【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法的逆运算，根据指数的运算特点，把原式改写成对应的幂的运算是解题关键． 20. 已知等腰三角形两边长分别为和，且满足，则等腰三角形的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系判断等腰三角形的腰长与底边长，最后计算可得周长． 【详解】解：， ，， 解得，． 当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，不满足三角形的三边关系，故此情况舍去； 当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，满足三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长是． 21. 对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据新运算规则将转化为整式的运算，根据运算结果与的取值无关，得到关于、的关系式，即，再利用新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 的取值与无关， ， ∴． 22. 两个正方形、，如图摆放．边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形性质和线段和差关系得出，利用三角形面积公式将阴影部分面积表示为.再结合已知，利用完全平方公式的变形求出的值，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形和是正方形，边长分别为，， ，，， ，， ∵， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ∵，为正方形边长，即，， ∴， ∴， ∴ 23. 如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为__． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可解决问题． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长到点，使，连接， ， ，， ， ， ， 延长和交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：4． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，… （1）若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； （2）若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； （3）由上面的举例，你能得出什么结论？ 【答案】（1）999 （2）000；551 （3）结论：任意三位数按照题干规则重复运算，最终都会进入固定状态：要么稳定为同一个数不再变化，要么按固定周期循环往复． 当三位数不含数字0，且三个数字中至少有一个是3、6、9时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为999，之后不再变化． 当三位数不含数字0，且三个数字都不是3、6、9时，最终会进入固定周期的循环，重复出现一组数字． 当三位数中含有数字0时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为000，之后不再变化． 【解析】 【分析】（1）按规则逐步计算123的每次运算结果，发现第3次后恒为999，故2026次运算结果直接取稳定值999； （2）分别对205和788按规则运算：205第2次后恒为000，直接得结果；788经过6次运算回到自身，周期为6，用2026除以6取余数4，对应第4次运算结果551； （3）综合以上例子可归纳：该运算最终会进入固定值或周期循环． 【小问1详解】 解：三位数：123， 第1次：百位，十位，个位，得326， 第2次：百位，十位，个位，得963， 第3次：百位，十位，个位，得999， 第4次及以后：999运算后仍为999，不再变化． 因此第2026次运算结果为999． 【小问2详解】 解：三位数：205， 第1次：百位，十位，个位，得100， 第2次：百位，十位，个位，得000， 第3次及以后：000运算后仍为000，不再变化． 因此第2026次运算结果为000． 三位数：788， 第1次：百位，十位，个位，得221， 第2次：百位，十位，个位，得242， 第3次：百位，十位，个位，得488， 第4次：百位，十位，个位，得551， 第5次：百位，十位，个位，得575， 第6次：百位，十位，个位，得788， 周期为6．，余数4对应第4次结果， 故第2026次运算结果为551． 【小问3详解】 略 25. 小明从超市A出发，沿笔直道路以60米/分的速度匀速步行回家，妈妈同时骑自行车从家出发，沿相同路线匀速去超市A购物，购物结束后按原路原速返回家中，小明比妈妈到家早5分钟．在此过程中，设妈妈从家出发开始所用时间为（分钟），下图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的关系的图象．请根据以上所给信息解答下列问题： （1）求妈妈购物花了多少时间？ （2）求小明到家时，与妈妈的距离是多少米？ （3）求为何值时，妈妈和小明相距360米． 【答案】（1）分钟 （2）600米 （3），，分钟 【解析】 【分析】（1）由图象求出两人速度和为米/分，妈妈速度120米/分．再求出妈妈总用时和路上的时间，进而求出购物时间； （2）小明30分钟到家，妈妈15分钟到超市，购物5分钟，第20分钟开始返回．到第30分钟时，妈妈已返回10分钟，返回路程米，离家距离米，故两人相距600米． （3）分五个时间段讨论：①相遇前相向而行，距离得；②相遇后背向而行，距离得；③妈妈在超市购物，小明离开超市，不符合题意；④妈妈返回同向追及，距离得，超出范围；⑤小明已到家，妈妈继续返回，距离得． 【小问1详解】 解：由图象可知，家与超市A的距离为1800米． 两人10分钟相遇， 速度和为：米/分， 小明速度为60米/分， 妈妈的速度为米/分， 妈妈从家到超市的单程时间分钟， 小明走完全程回家的总时间分钟， 小明比妈妈早到家5分钟， 妈妈全程总用时分钟， 妈妈购物时间为分钟． 【小问2详解】 解：由（1）得小明30分钟到家， 妈妈15分钟到达超市，购物5分钟，第20分钟开始返回； 到第30分钟时，妈妈已返回分钟， 返回的路程为米， 妈妈距离家的距离为米， 此时小明已到家，两人相距600米． 【小问3详解】 解：分阶段讨论： ①：两人相向而行，未相遇， 由题意得，，解得， ②：两人相遇后背向而行， 由题意得，，解得， ③：妈妈在超市购物， 两人距离为小明离开超市的距离，此时距离大于，不符合题意， ④：妈妈返回，同向追及小明， 当时，两人相距米， 由题意得，，解得，不符合题意． ⑤：小明已到家，妈妈继续返回， 此时，两人距离等于妈妈离家的距离， ，解得， 综上，当，，分钟时，妈妈和小明相距360米． 26. 如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； （3）如图3，若，且的面积为，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． （2）解：，理由如下： 如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得， ， ， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果； （2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接， 使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案； （3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 在和中，， ∴，， 如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴或， ∵线段的长度为非负数， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $