精品解析：四川省达州市渠县清溪中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

四川省达州市渠县清溪中学2025-2026学年七年级下学期期末 数学试题 （全卷满分150分 考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点有无数条直线 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 3. 习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上 C. 13人中至少有两个人的生肖相同 D. 打开电视，一定能看到三水新闻 5. 将一根长为的木条折成一边为的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为（ ） A. ， B. ，或， C. ， D. ， 6. 为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，如图所示，水渠从C村沿（ ）方向修建可以保持与的方向一致． A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 7. 从某容器口以均匀的速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图，则对应容器的形状为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若am=2,an=8,则am+n=_________. 10. 铭铭的幸运英文字母是，他在英语单词（数学）中随机抽取一个字母，抽到是的概率是______________． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则其周长为_______． 12. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 13. 如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算题 （1）计算： （2）先化简，再求值：．其中，． 15. 如图是一个材质均匀的转盘，转盘被分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），转动一次转盘． （1）求指针指向绿色扇形的概率； （2）指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形的概率大？为什么？（要求（1）、（2）题写出解答过程） 16. 如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）． （1）请作出关于直线l对称的； （2）求出的面积； （3）试在直线l上找一点P，使最小（不写作图过程，保留作图痕迹）． 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 18. 综合与实践数形结合是一种重要的数学思想方法，借助图形的直观性，可以对很多数学问题进行直观推导．在学习整式乘法运算时，启航小组同学利用图1所示的正方形和长方形卡片拼成了如图2所示的大正方形，发现这个图形可以直观解释完全平方公式：． 【初步体验】 （1）领航小组同学拼出了如图3所示的长方形，这个图形可以解释的等式为____________； （2）护航小组同学要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需要A型卡片____ 张，B型卡片___ 张，C型卡片___ 张； 【实践操作】 （3）从A，B，C三种卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形，请在图4方框中画出你的拼图； 【实践探究】 （4）远航小组同学用5张C类卡片按图5所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝________． 20. 如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_______． 21. 如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__________米． 22. 如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 23. 如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为_______m． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． （1）吗？说明理由； （2）若的周长为，cm，求长． 25. 小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 （2）小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； （3）点A的实际意义是什么？ （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 26. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则 ； ②若，则与之间的数量关系是 ； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ （4）如图4，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县清溪中学2025-2026学年七年级下学期期末 数学试题 （全卷满分150分 考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、单项式乘法及幂的乘方,逐一验证各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：（合并同类项，系数相加，指数不变），但选项结果为，错误； 选项B：（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），但选项结果为，错误； 选项C：（系数相乘为，字母部分），结果正确； 选项D：（幂的乘方，底数不变，指数相乘），但选项结果为，错误； 故选：C 2. 如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点有无数条直线 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答． 【详解】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短， 故选：D． 3. 习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 内错角相等 B. 掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上 C. 13人中至少有两个人的生肖相同 D. 打开电视，一定能看到三水新闻 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．内错角相等，是随机事件，不合题意； B．掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上，是随机事件，不合题意； C．13人中至少有两个人的生肖相同，是必然事件，符合题意；  D．打开电视，一定能看到三水新闻，是随机事件，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键． 5. 将一根长为的木条折成一边为的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为（ ） A. ， B. ，或， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用，分两种情况：当为底边时，当为腰长时，分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当为底边时，此时两腰长度相等，总周长为，故两腰之和为，每腰长为，此时三边分别为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时，此时另一腰也为，底边长为，此时三边分别为、、，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上所述，三角形的另外两边长分别为，， 故选：D． 6. 为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，如图所示，水渠从C村沿（ ）方向修建可以保持与的方向一致． A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方位角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），延长至点G，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据平角的定义可得，最后根据方位角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点G， 由题意得：， ∴，， 要使与的方向一致，则， ∴， ∴， 即水渠从C村沿北偏东方向修建，可以保持的方向一致， 故选A． 7. 从某容器口以均匀的速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图，则对应容器的形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图像，正确提取函数图像的信息是解题关键．根据函数图像得出高度变化的过程即可得答案． 【详解】解：由图象可知，容器大致为底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细， 分析各选项中容器，只有选项C中的容器符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③正确， 如图，过点D作于点F，则， ，， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若am=2,an=8,则am+n=_________. 【答案】16 【解析】 【详解】∵am=2,an=8, ∴am+n= am·an=2×8=16. 点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 10. 铭铭的幸运英文字母是，他在英语单词（数学）中随机抽取一个字母，抽到是的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有11种等可能性，其中抽到是的可能性有2种， 故抽到是的概率是． 故答案为：． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则其周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论腰长的取值，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：①当腰长为时，三角形的三边长为，，， ，不满足三角形三边关系， ∴该情况舍去； ②当腰长为时，三角形的三边长为，，， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 此三角形的周长为． 12. 某市出租车白天的收费起步价为元，即路程不超过公里时收费元，超过部分每公里收费元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为元，那么与之间的关系式为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意找到所求量的等量关系是解决问题的关键．根据乘车费用起步价超过千米的费用，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则________． 【答案】##71度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出，根据折叠的性质得到，，由平行线的性质得到，，推出，然后根据平角的定义得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算题 （1）计算： （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1）5 （2），10 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，整式的混合运算． （1）先算乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再算加减； （2）先算括号里，再算除法，然后把，代入计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当，时， 原式． 15. 如图是一个材质均匀的转盘，转盘被分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），转动一次转盘． （1）求指针指向绿色扇形的概率； （2）指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形的概率大？为什么？（要求（1）、（2）题写出解答过程） 【答案】（1）P（指针指向绿色扇形） （2） 指针指向绿色扇形的概率大． 理由：由题意得指针指向红色扇形的结果有2种， 则P（指针指向红色扇形）． 因为，所以指针指向绿色扇形的概率大． 【解析】 【分析】（1）将所用可能结果和指针指向绿色的结果列举出来，后者除以前者即可； （2）将所用可能结果和指针指向红色的结果列举出来，求出指针指向红色扇形的概率，进而比较即可． 【小问1详解】 解：转盘被等分成8个扇形，其中有2个是红色，3个是绿色，3个是黄色． 因为指针指向绿色扇形的结果有3种， 则P（指针指向绿色扇形）． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了几何概率的求法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16. 如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1，是格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）． （1）请作出关于直线l对称的； （2）求出的面积； （3）试在直线l上找一点P，使最小（不写作图过程，保留作图痕迹）． 【答案】（1）解：如图，为所求； （2）5.5 （3）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于直线对称的； （2）根据割补法即可求出的面积； （3）结合（1），连接交直线于点，根据两点之间线段最短得最小． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略． 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C=36°，求∠BAD的度数． （2）求证：FB=FE． 【答案】（1）； （2）证明：BE平分 又 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题； （2）只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题． 【详解】解：（1） D为BC的中点， （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 综合与实践数形结合是一种重要的数学思想方法，借助图形的直观性，可以对很多数学问题进行直观推导．在学习整式乘法运算时，启航小组同学利用图1所示的正方形和长方形卡片拼成了如图2所示的大正方形，发现这个图形可以直观解释完全平方公式：． 【初步体验】 （1）领航小组同学拼出了如图3所示的长方形，这个图形可以解释的等式为____________； （2）护航小组同学要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需要A型卡片____ 张，B型卡片___ 张，C型卡片___ 张； 【实践操作】 （3）从A，B，C三种卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形，请在图4方框中画出你的拼图； 【实践探究】 （4）远航小组同学用5张C类卡片按图5所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）1，3，4； （3）如图： （4），理由： 由图5可知，，， 则阴影部分的面积与的差为， 由于阴影部分的面积与的差与无关，即与x无关， 所以， 即． 【解析】 【详解】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图3的面积即可； （2）根据多项式乘多项式计算即可； （3）画出长为，宽为的长方形即可； （4）由图5可知，，，则阴影部分的面积与的差为，令即可． 【解答】解：（1）图3整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成图3的六个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）∵， ∴要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需要A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张， 故答案为：1，3，4； （3）∵， ∴它们拼成一个面积为的长方形，即需要A型卡片2张，B型卡片2张，C型卡片5张，拼成的长为，宽为的长方形即可； （4）略 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝________． 【答案】80° 【解析】 【详解】根据等腰三角形的性质，∠B=∠C=50°，然后根据三角形内角和定理就可推出∠A的度数． 解：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=50° ∴∠C=50° ∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80° 故答案为80°． 20. 如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构特征，确定一次项系数的所有可能取值，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． 21. 如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__________米． 【答案】80 【解析】 【详解】解：根据函数图象可知：小明家离儿童公园有800米，回家的时间为（分钟）， ∴小明回家的速度是（米/分钟）． 22. 如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 23. 如图，秋千垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至处，点A距离地面高度，与的水平距离．推动秋千从至处，此时恰好，点C距离的水平距离，则点C距离地面的高度为_______m． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键． 过点A作于M，过点C作于N，证明即可求解． 【详解】解：如图， 过点A作于M，过点C作于N， 由题意得，， 则， ∴，， 同理可得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． （1）吗？说明理由； （2）若的周长为，cm，求长． 【答案】（1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即， 长为． 25. 小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 （2）小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； （3）点A的实际意义是什么？ （4）如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】（1）时间；离家距离 （2）； （3）点A的实际意义是“骑行6分钟时到A处，离家距离为米” （4）分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象、行程问题等知识点，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象，路程的最大值即为小亮家到学校的距离；分开始行解答； （3）根据题意可得点A的实际意义即可解答； （4）利用路程速度时间求解即可． 【小问1详解】 解：图象所表示的两个变量中，自变量是时间，因变量是离家距离． 故答案为：时间，离家距离． 【小问2详解】 解：小亮家到学校的距离是米； 本次上学途中，小亮一共骑行了：（米）． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家距离为米． 【小问4详解】 解：（米/分）， （分钟）， 所以小亮以往常的速度去学校，需要分钟． 26. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则 ； ②若，则与之间的数量关系是 ； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________ （4）如图4，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 【答案】（1）①；②； （2）证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ； （3）或； （4） 【解析】 【分析】（1）①求出，得； ②根据，，得； （2）根据．，得，由，，得； （3）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得； （4）， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得． 【详解】（1）解：①∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ， 故答案为：． ②∵在中，；在中，， 且，， ∴． 故答案为：． （2） 略 （3）设， 则，， ∴， ∴， 情况1：， ∴， 解得． ∴，， ∴． 情况2：， ∴， 解得， ∴，， ∴． ∴的度数为或 ． （4）∵ ∴， 在 上截 ， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了对顶三角形，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $