精品解析：甘肃古浪县第三中学等校2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末考试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版必修第二册第1章～第5章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，复数，则， 因此在复平面内对应的点位于第一象限. 2. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 又， 所以向量在向量上的投影向量为． 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项验证即可. 【详解】选项A，若，则直线与直线位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误； 选项B，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故B错误； 选项C，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可知，若， 则内必存在直线平行于m，设为l，则，则，故C正确； 选项D，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故D错误. 5. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得， 因为为第四象限角，所以，， 所以. 6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图： 取中点，连接，. 因为，所以即为异面直线与所成的角. 不妨设，在中，，， 所以. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】由，结合正弦定理，可得， 又， 因为为三角形内角，所以. 根据余弦定理，，可得， 中，，且，所以为等边三角形. 8. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用同角三角函数的平方关系与两角和与差的正余弦公式计算. 【详解】由，，得， 由，得， ，由，得， 因 而， ， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD. 【详解】对于A,故A错误， 对于B，则，故，故B正确， 对于C，为虚数，故C错误， 对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确， 故选：BD 10. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用相互独立，相互对立事件的概念进行判断，即可得到结果. 【详解】设2个白球为，2个黑球为， 则样本空间为：，共12个基本事件． 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A错误； 对于B，因为， 则，所以事件A与B相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件A与C相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以事件A与D互为对立，即，故D正确． 故选:BCD． 11. 如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体是三棱台 B. 直线与平面相交 C. 二面角的平面角的正切值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，通过判断延长相交于一点即可判断，对于B，连接，通过判断平面平面，即可判断，对于C，作，连接，确定为二面角的平面角，进而可求正切值，对于D，设点在平面上的射影为点，确定即为直线与平面所成的角，得到，再通过为定值，求出的最小值即可判断. 【详解】对于A，因为点分别为的中点，所以， 且，所以四边形是等腰梯形， 所以延长必然相交，设交点为， 又分别在平面内， 则点为平面的公共点， 又平面平面， 所以，即延长后相交于一点， 又平面平面， 所以几何体是三棱台，A正确， 对于B，如图1，连接，由中位线可得， 再取的中点为，连接， 由，得四边形为平行四边形，故， 由，得四边形为平行四边形， 故，所以， 又平面，且平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，B错误； 对于C，如图2，过点作，连接，因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以，即为二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，则， 由，得，则，C正确； 对于D，如图3，设点在平面上的射影为点， 连接，则即为直线与平面所成的角，则， 因为平面，所以点到平面的距离为定值，即为定值， 所以当取最小值时，取最大值， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为，正方体的棱长为2， 则， 所以等腰梯形的高， 由，所以， 解得，即， 在中，， 所以，当时，， 即，所以，即取最小值为， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型，利用列举法找到所有基本事件，从而计算出概率. 【详解】从这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个， 所取2个数之和为9的基本事件有，共2个， 故所求概率. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角的正切公式可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14. 已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知等式转化为角的关系，结合三角形内角和化简可解得角，由面积公式得到，根据中线向量公式结合基本不等式可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得， 因为，所以， 则， 所以， 即，又因为，所以， 即，因为，所以，则，所以； 因为的面积为，所以，即，所以； 因为M为的中点，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，，，．当k为何值时： （1） （2） 【答案】（1）或2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用共线向量定理求解； （2）根据，利用数量积运算求解. 【小问1详解】 解：因为，，，， 所以， ． 因为，所以， 整理为， 解得或2； 【小问2详解】 因为， 所以， 整理为， 解得：. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，化简求出后可得角A； （2）结合已知条件和三角形面积公式求出，再用余弦定理求，进而得周长. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， 即， 因为， 所以，则，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以. 由余弦定理可得， . 故的周长为 17. 已知，，角β的终边过点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知可判断为第三象限角可求得的值，利用两角和的正弦公式求解即可； （2）由（1）可得的值，利用二倍角的正切公式得的值，角β的终边过点，可得，利用两角差的正切公式即可求解. 【小问1详解】 解：∵，∴为第三象限角，故， ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 解：由（1）得，，故，， 又角β的终边过点，故为第一象限角，， ∴. 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， 所以； 【小问2详解】 由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为， 乙队积0分，1分，2分的概率分别为， 记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件， 因为两队得分相互独立，互不影响， 则， 所以两队积分相同的概率为. 19. 如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设. （1）当平面时，求实数的值； （2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，由线面平行的性质定理得，从而可得为的中点，进而得实数的值； （2）过点作于点，可证得平面平面，延长交于点，过点作交于点，过点作于点，则是平面与平面所成锐二面角的平面角，然后在中求解即可. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为平面平面，平面，平面， 所以， 所以为的中点，即实数的值为； 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面平面， 所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于点，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 延长交于点，过点作交于点，过点作于点， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以∽， 所以，所以，得， 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是平面与平面所成锐二面角的平面角， 因为，且，，所以， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以， 因为，所以， 解得， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行，考查面面垂直，考查求二面角，解题的关键是根据题意作出二面角的平面角，也是难点，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末考试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版必修第二册第1章～第5章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 5. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件 “第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（ ） A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. 11. 如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体是三棱台 B. 直线与平面相交 C. 二面角的平面角的正切值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________. 13. 已知，则__________. 14. 已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，，，．当k为何值时： （1） （2） 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 已知，，角β的终边过点. （1）求的值； （2）求的值. 18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立. （1）求甲队总得分为1分的概率； （2）求两队积分相同的概率. 19. 如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设. （1）当平面时，求实数的值； （2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $