甘肃白银市靖远县联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知，则（ ） A. B. C. D. 3.若一个正n棱台共有18条棱，则（ ） A.3 B.4 C.6 D.8 4.从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（ ） A. B. C. D. 5.已知向量，，实数x，y满足，则（ ） A.， B.， C.， D.， 6.已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为（ ） A. B. C. D. 7.如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为a，b，设向量，，则的概率为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若复数，则（ ） A. B. C.的虚部为 D. 10.设事件A，B是互斥事件，，，则（ ） A. B. C. D. 11.如图1，在直角梯形中，，，，，，F在上，E，H均在上，．将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，K在上，则（ ） A.平面平面 B.的最小值为 C.几何体共有8个面 D.几何体外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.某圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为3，则该圆台的侧面积为_________． 13.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________． 14.为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点A在同一水平面的B，C两点作为测量点，测得米，，，在C处测得楼顶D的仰角为，则该大楼的高度约为_________米．（结果精确到整数） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）如图，在平行四边形中，，． （1）用向量，表示，； （2）若，且B，P，E三点共线，求x的值． 16.（15分）如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求异面直线与所成角的大小． 17.（15分）某停车场实行每日按停车时长累计收费，规则如下表所示，其中不足1小时按1小时计费． 已知甲、乙两人每日停车时长均不超过4小时，且两人停车时长相互独立，每人每日停车费用为0元、6元、12元的概率分别为，，． 每日停车时长/小时 合计收费标准/元 0 6 12 18 （1）求某日甲、乙两人至少有一人停车时长超过2小时的概率； （2）求某日甲、乙两人停车费用之和为24元的概率． 18.（17分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，且边上的中线，求的面积； （3）求的最小值，并指出此时的形状． 19.（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 高一数学参考答案 1.B 在复平面内对应的点为，位于第二象限． 2.C ． 3.C 正n棱台共有3n条棱，所以，解得． 4.A 1，2，3，…，20中能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个，所以所求概率为． 5.A ，则解得 6.B 中边长为的边所对的角最大，设其为，由余弦定理得，因为，所以． 7.B 取OA的中点H，连接CH，PH，则．因为平面ABC，平面ABC，所以．又，所以平面PAB，则即为PC与平面PAB所成的角．设，则，，，则． 8.B 由，得．由题意可知将该枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，共有36种情况，其中满足的的情况为，，，，，，，，，，，，共有12种等可能情况，所以所求概率为． 9.AD ，A正确．，B错误．，所以的虚部为3，C错误．，D正确． 10.ABD 因为，所以，，A正确．，B正确．因为事件A，B是互斥事件，所以，所以，C错误．，D正确． 11.ABD 几何体PHMEFNC共有7个面，C错误．因为四边形ABFE为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面FNC，因为平面EFCH，所以平面平面EFCH，A正确．因为，，，所以，所以，则，同理可证，可将几何体PHMEFNC补全为长为、宽为3、高为4的长方体，其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确．连接FM，FH，将平面FMH与平面MPH展开至同一平面，如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值．因为，，，所以平面MNFE，则，在图3中过点F作，与PH的延长线交于点T，则，，所以，B正确． 12. 该圆台的侧面积为． 13. 设与的夹角为，则．因为，所以，，则．因为，所以，． 14.85 ，由正弦定理得，代入数据解得米，因为在C处测得楼顶D的仰角为45°，所以，则米，故该大楼的高度AD约为85米． 15.解：（1）， ． （2）因为B，P，E三点共线，所以可设． 由（1）可得． 因为，所以 解得故x的值为6． 16.（1）证明：连接BD． 因为E，F分别是CD，BC的中点，所以EF是的中位线，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）证明：根据正三棱柱的性质可得平面． 因为平面，所以． 因为为等边三角形，所以． 因为，所以平面． （3）解：由（1）得，所以异面直线EF与所成的角即为（或其补角）． 因为平面，所以由（2）可得． 因为，所以，，， 则，所以是以D为顶点的等腰直角三角形， 所以，即异面直线EF与所成的角为． 17.解：（1）根据题意可得甲、乙当日停车时长未超过2小时的概率均为， 则甲、乙两人当日停车时长均未超过2小时的概率为， 所以甲、乙两人当日至少有一人停车时长超过2小时的概率为． （2）由题意可知，每人每日停车费用为18元的概率为． 设甲、乙两人当日停车费用之和为24元的事件为D， 甲当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为，，，， 乙当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为，，，， 则． 因为两人停车时长是相互独立的，所以 ． 18.解：（1）因为，所以． 因为，所以，所以． 因为为锐角三角形，所以，， 所以，则． （2）因为D为BC的中点，所以， 则． 因为，，所以，整理得．① 因为，且， 所以，即．② 由①②得． 因为，且，，所以，得， 所以的面积为． （3）因为， 且，所以． 因为 ， 所以． 因为为锐角三角形，所以则， 所以，则，所以， 则的最小值为， 此时，又，所以为等边三角形． 19.（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以． 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB． 因为平面PCD，平面平面，所以． （2）解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC，与BD交于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM． 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 所以F为PM的中点，所以． 因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO． 同理可证平面AMO． 因为，所以平面平面AMO． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点． （3）解：过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，则，， 所以，． 因为，，，所以平面PBC，所以． 因为，，所以平面NID，则， 所以为二面角的平面角． 由题意可得． 由等面积法可得． 在中，，则． 令，． 在中，． 令，，则在上单调递增， 所以，， 所以二面角的正弦值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $