甘肃白银市靖远县联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

高一数学参考答案 1.B一1+3i在复平面内对应的点为（一1,3），位于第二象限. 2.C tan 2a- 2tana_-2√2 1-tan2a 1-2 =2√2. 3.C正n棱台共有3n条棱，所以3n=18,解得n=6. 4.A1,2,3,…,20中能被3整除的有3,6,912,15,18，共6个，所以所求概率为，)- x+2y=3, 5.Axa+yb=(x,2x)+(2y,3y)=(x+2y,2x+3y)=(3,4),则{ 解得 2x+3y=4, x=-1, y=2. 6.B△ABC中边长为√31的边所对的角最大，设其为0，由余弦定理得cos0= +5X-日-，两为9∈0,0，所以0=经 2×1×5 10 7.B取OA的中点H,连接CH,PH,则CH⊥OA.因为PO⊥平面 ABC,CHC平面ABC,所以PO⊥CH.又PO∩OA=O,所以CH⊥ 平面PAB,则∠CPH即为PC与平面PAB所成的角.设OH=1,则 HC=√3，PO=2√5，PH=√(25)2+12=√13，则tan∠CPH= -A CH3_√39 PH√1313· 8.B由u·v=a(b一1)一1>9，得a(b一1)>10.由题意可知将该枚质地均匀的正方体骰子先 后抛掷两次，(a,b)共有36种情况，其中满足u·v>9的(a,b)的情况为(6,3)，(4,4)，(5， 4),(6,4),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),共有12种等可能情况，所 以所求薇率为品-子 9.ADz=√9+25=√34<6，A正确.之=3-5i,B错误.zi=(3+5i)i=3i+5i=-5+3i, 所以1的度都为3，C错误普-倍+书-8叶+1十公-3+i=,D正确 10.ABD因为P(A)+P(A)=1,所以P(A)=0.6,P(A)=0.4,A正确.P(B)=1-P(B) =1一0.2=0.8=4P(B),B正确.因为事件A,B是互斥事件，所以A∩B=⑦，所以 P(A∩B)=0,C错误.P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.2=0.8,D正确， 11.ABD几何体PHMEFNC共有7个面，C错误.因为四边形ABFE为矩形，所以EF⊥ FC,EF⊥FB,翻折后EF⊥FC,EF⊥FN,因为FC∩FN=F,所以EF⊥平面FNC,因为 EFC平面EFCH,所以平面FNC⊥平面EFCH,A正确.因为∠MEH=60°，EM=3,EH 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 =6,所以M1=√9+36-2×3×6×号=35，所以M+ME=EH,则M1⊥ME,同 理可证HP⊥PE,可将几何体PHMEFNC补全为长为3√、宽为3、高为4的长方体，其外 接球即为长方体的外接球，外接球的半径为√27士9+西-√B,D正确，连接FM,FH,将 2 平面FMH与平面MPH展开至同一平面，如图3所示，当F,K,P在同一直线上时，FK十 KP取得最小值.因为MH⊥ME,MH⊥EF,ME∩EF=E,所以MH⊥平面MNFE,则 MH⊥MF,在图3中过点F作FT⊥PH,与PH的延长线交于点T,则FT=MH=3W3, PT=PH+HT=PH+MF=3+√32+4=8，所以FK+KP≥>FP=√64+27=√9I,B 正确。 D 图3 12.9π该圆台的侧面积为π×(1十2)×3=9元. 13.3 设a与b的夹角为0，则0∈[0，π].因为(a-5b)⊥b,所以(a-5b)·b=0,a·b=5b2, 则1a1b1c0s0=51b1.因为a=101b1,所以c0s0=2,0=号 -3 AC 14.85∠BAC=180°-（∠ABC+∠BCA)=30,由正弦定理得。nB9ACA8C代人 数据解得AC=60√2米，因为在C处测得楼顶D的仰角为45°，所以∠ACD=45°，则AD= AC=60√2≈84.84米，故该大楼的高度AD约为85米. 15.解：1)B驼-BA+A应-BA+Ad-BA+BC, 3分 A-A+B丽=-BA+BC 6分 (2)因为B,P,E三点共线，所以可设B产=λBE …7分 由可得丽-B酝-i+号d …9分 5 因为B庐=5BC+xBA,所以6入=5， …11分 λ=x, 入=6， 解得 故x的值为6. …13分 x=6, 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 16.(1)证明：连接BD.…1分 因为E,F分别是CD,BC的中点，所以EF是△BCD的中位线，所以A1 C E℉/BD.……3分 B 因为EF中平面ABB1A1,BDC平面ABB1A1,所以EF∥平面 ABB A.................. …4分 (2)证明：根据正三棱柱的性质可得BB1⊥平面A1B1C1.…5分 因为DC1C平面A1B1C1,所以BB1⊥DC1…6分 因为△A1B1C1为等边三角形，所以DC1⊥A1B1.…8分 因为A1B1∩BB1=B1,所以C1D⊥平面ABB1A1·…9分 (3)解：由(1)得EFBD,所以异面直线EF与BC1所成的角即为∠DBC(或其补角).… …10分 因为BDC平面ABB1A1,所以由(2)可得BD⊥C1D.…11分 因为AB=√2BB1=2,所以BB1=√2，DC1=3,BD=√2+I=√3，…12分 则DC1=BD,所以△DBC1是以D为顶点的等腰直角三角形，…14分 所以∠DBC,=牙，即异面直线EF与BC所成的角为平 …15分 +1=1 17,解：(1)根据题意可得甲、乙当日停车时长未超过2小时的概率均为4 +4=2 ，…2分 则甲，乙两人当日停车时长均未超过2小时的概率为×号- 2=4’ …4分 所以甲，乙两人当日至少有-人停车时长超过2小时的概率为1一名-是 …6分 (②)浦超意可知，每人每日停车我用为18元的疑率为1-}分日 ，…8分 设甲、乙两人当日停车费用之和为24元的事件为D, 甲当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为A1,A2,A3,A4, 乙当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为B1,B2,B3,B4, 则D=A2B4十A3B3十A4B2.………10分 因为两人停车时长是相互独立的，所以P(D)=P(A2B4)十P(A3B3)十P(A4B2) =P(A2)P(B4)十P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)…12分 …15分 18.解：(1)因为√3 bsin A+acos B=2a,所以W3 sin Bsin A+sin Acos B=2sinA.…2分 因为sinA≠0，所以W3sinB+cosB=2,所以sin(B+)-1. …4分 因为△ABC为锐角三角形，所以B∈(0，)，B+石∈（晋，），所以B+吾=受 则B=交 3…5分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 (2)因为D为BC的中点，所以Ad=2A店+AC), 则AD12=(b2十c2+2 becos∠BAC). 6分 因为AD=3,b=2,所以3=(4+e2+4ccos∠BAC),整理得c2十4cos∠BAC=8.① 7分 因为a2=b2十c2-2 bccos∠BAC,且b=2,所以a2=4+c2-4ccos∠BAC,即c2- 4ccos∠BAC=a2-4.② 由①②得2c2-a2=4.… 8分 因为62=a2+c2-2acc0sB,且b=2,B=5,所以a2+c2-ac=4,得a=c=2,…9分 △ABC的面积为3X2X2=3, a因为A+c器A+器名-血Co C-.监2.12分 sin Asin C 且A+c=x-B-经所以A十aC2 ininC .1 3 …13分 因为血AinC=如Asn(管-A)-g 2 sin'A=3 ?sin Acos A+号s 4sin 2A-1 0s2A+号 =安in(A-彩)t子所以A广cF2n有am √3 √3 1 .…14分 sim(2A-)+ 0<A<受， 因为△ABC为锐角三角形，所以 则A∈(，2)， …15分 0<B-A<受， 所以2A-晋∈（若，），则im(2A-晋)∈（分，1]，所以sim(2A-)+∈(1，]， 则A+c的最小值为-29 39 …16分 2 此时A=牙，又B=号，所以△ABC为等边三角形.…17分 19.(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以CDBA.…1分 因为CD中平面PAB,ABC平面PAB,所以CD平面PAB.…2分 因为CD平面PCD,平面PAB∩平面PCD=L,所以CD.…4分 (2)解：设平面BEF与PC交于点H,连接FH,BH.连接AC,与BD交于点O,取FD的 中点M,连接OM,MC,AM.…5分 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 所以F为PM的中点，所以EF∥AM! 因为EF中平面AMO,AMC平面AMO,所以EF平面AMO.… …6分 同理可证BF/平面AMO.…7分 E 因为BF∩EF=F,所以平面BEF平面AMO.…8分 M 因为平面BEF∩平面PCD=FH,平面AMO∩平面PCD=MC,所以 FH/MC.…9分 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点.…10分 (3)解：过点D作DN⊥BC,垂足为N,过点N作NI⊥PC,垂足为I,连 C 接DI,则△BDCp△DNC,△CNIp△CPB, 、所MCN=CD216BD,NI=PB·NC8·。BD 4 BC PC 11分 4 PC 因为PB⊥DN,DN⊥BC,PB∩BC=B,所以DN⊥平面PBC,所以DN⊥PC. 因为NI⊥PC,DN∩NI=N,所以PC⊥平面NID,则PC⊥ID, 所以∠NID为二面角B-PC-D的平面角.…12分 由题意可得CD=√BC2-BD=√I6-BD2 由等面积法可得DN=BD·CD_BD·VI6-BD BC 4 在R△PBC中，PC=√PB2+BC-V64+16=4W5,则NI=16-BD 25 令BD=x,x∈[2,22]. x·√16-x2 在Rt△NID中，sin∠DIN=DY 4 5x 。 DI Wx2+64 25 …14分 √5x √5 令f(x) ,x∈[2,22]，则f(x)= 在[2,2√2]上单调递增，…15分 √x2+64 64 /1+ 所以f(x)min=f(2)= 4+64=17,fx)mx=f(22)=2√0 2585 5 …16分 8+64 3 「√85W57 所以二面角B-PCD的正弦值的取值范围为7，行」 17分 ▣城阁▣ 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，则 A． B． C． D． 3．若一个正n棱台共有18条棱，则 A．3 B．4 C．6 D．8 4．从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为 A． B． C． D． 5．已知向量，，实数x，y满足，则 A．， B．， C．， D．， 6．已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为 A． B． C． D． 7．如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为 A． B． C． D． 8．将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为a，b，设向量，，则的概率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则 A． B． C．的虚部为 D． 10．设事件A，B是互斥事件，，，则 A． B． C． D． 11．如图1，在直角梯形中，，，，，，F在上，E，H均在上，．将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，K在上，则 A．平面平面 B．的最小值为 C．几何体共有8个面 D．几何体外接球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线长为3，则该圆台的侧面积为_________． 13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________． 14．为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点A在同一水平面的B，C两点作为测量点，测得米，，，在C处测得楼顶D的仰角为，则该大楼的高度约为_________米．（结果精确到整数） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在平行四边形中，，． （1）用向量，表示，； （2）若，且B，P，E三点共线，求x的值． 16．（15分） 如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求异面直线与所成角的大小． 17．（15分） 某停车场实行每日按停车时长累计收费，规则如下表所示，其中不足1小时按1小时计费． 已知甲、乙两人每日停车时长均不超过4小时，且两人停车时长相互独立，每人每日停车费用为0元、6元、12元的概率分别为，，． 每日停车时长/小时 合计收费标准/元 0 6 12 18 （1）求某日甲、乙两人至少有一人停车时长超过2小时的概率； （2）求某日甲、乙两人停车费用之和为24元的概率． 18．（17分） 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，且边上的中线，求的面积； （3）求的最小值，并指出此时的形状． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． （1）设平面平面，证明：． （2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． （3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $