13.1 三角形的概念四大题型 训练

**基本信息** 以“一例三练”分层设计为核心，覆盖三角形概念、个数、分类及等腰等边三角形四大题型，通过基础辨析到综合应用的梯度设置，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|三角形定义、表示及基本要素|概念填空结合图形辨析（如变式1-1），强化抽象能力与几何直观| |技能应用|三角形个数计数、分类判断|分类计数（如变式2-3）与性质应用（如变式3-2），培养推理意识| |综合拓展|等腰等边三角形动态问题、规律探究|动态动点（如变式4-1）与规律归纳（如变式4-2），发展模型意识与创新意识|

13.1 三角形的概念四大题型 一例三练（学生版） （2026年7月） 【题型1 三角形的有关概念问题】 2 【题型2 三角形的个数问题】 3 【题型3 三角形的分类】 4 【题型4 等腰三角形和等边三角形】 5 知识点1 三角形的有关概念及表示 1.三角形的概念：如图，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形（triangle）. 2.三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边。 3.三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。 4.三角形的内角：相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简 称三角形的角.例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点，∠A，∠B，∠C是三角形的角. 注意：三个字母顺序可以自由排列，也可以写成“△ACB” “△BCA”等. 通常按英文字母顺序写. 5.三角形的表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.△ABC的三边有时也用a，b，c来表示.如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 顶点相对应的小写字母. 也可以说成∠B所对的边. 知识点2 三角形的分类 1. 按角分：锐角三角形， 直角三角形， 钝角三角形 2. 按边分：（1）三边都不相等的三角形， （2）等腰三角形 包括：底边和腰不相等的等腰三角形， 等边三角形 【题型1 三角形的有关概念问题】 【例1】1.定义：由不在 的三条线段首尾 相接所组成的图形叫做三角形． 2.有关概念： （1）边：组成三角形的 .如图，线段 ， ， 是三角形的边，有时也用 ， ， 来表示三角形的三边. （2）顶点：三角形中相邻两边的 .如图点 ， ， 是三角形的顶点. （3）内角：三角形中 两条边所组成的角.如图， ， ， 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 3.表示方法：用表示三角形顶点的三个大写字母来表示，如图，顶点是A，B，C的三角形，记作 ，读作“ ”，也可记作△BAC，△ACB或△CAB等． 【变式1-1】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】观察下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 三角形的个数问题】 【例2】图中共有三角形 　 　 个． 【变式2-1】从大小判断，图中青蛙可以落在n个三角形内，则n＝　 　 ． 【变式2-2】如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，除△ABC外，图中还有几个三角形？并说出CD是哪些三角形的边． 【变式2-3】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【题型3 三角形的分类】 【例3】等腰三角形：有 相等的三角形叫做等腰三角形．等腰三角形ABC中，AB＝AC，它们各边与各角的名称如图所示． 2.等边三角形：三条边都 的三角形叫做等边三角形，它是底边和腰相等的等腰三角形． 3.三角形按边分类如下： 【变式3-1】小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　 　 ．（只需填上一个即可） 【变式3-2】如图，共有　 　 个直角三角形． 【变式3-3】若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为　 　 个． 【题型4 等腰三角形和等边三角形】 【例4】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”，若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为6，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是　 　 cm． 【变式4-2】观察如图的变化规律，在第n个图中，三角形的个数为：　 　 ． 【变式4-3】在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表表示如下，请阅读下表后再回答问题． 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？ 答：　 　 ； （2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？在下表中画出它们的示意图． 火柴数 8 12 示意图 形状 13.1 三角形的概念四大题型 一例三练（教师版） （2026年7月） 【题型1 三角形的有关概念问题】 8 【题型2 三角形的个数问题】 10 【题型3 三角形的分类】 11 【题型4 等腰三角形和等边三角形】 13 知识点1 三角形的有关概念及表示 1.三角形的概念：如图，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形（triangle）. 2.三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边。 3.三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。 4.三角形的内角：相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简 称三角形的角.例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点，∠A，∠B，∠C是三角形的角. 注意：三个字母顺序可以自由排列，也可以写成“△ACB” “△BCA”等. 通常按英文字母顺序写. 5.三角形的表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.△ABC的三边有时也用a，b，c来表示.如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 顶点相对应的小写字母. 也可以说成∠B所对的边. 知识点2 三角形的分类 1. 按角分：锐角三角形， 直角三角形， 钝角三角形 2. 按边分：（1）三边都不相等的三角形， （2）等腰三角形 （有两边相等的三角形叫作等腰三角形） 等腰三角形包括：底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形（三条边都相等的三角形叫作等边三角形） 【题型1 识别数轴】 【例1】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2.有关概念： （1）边：组成三角形的线段.如图，线段AB，AC，BC是三角形的边，有时也用a，b，c来表示三角形的三边. （2）顶点：三角形中相邻两边的公共端点.如图点A，B,C， 是三角形的顶点. （3）内角：三角形中相邻两条边所组成的角.如图，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。 3.表示方法：用表示三角形顶点的三个大写字母来表示，如图，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”，也可记作△BAC，△ACB或△CAB等． 【答案】 【变式1-1】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，判断即可． 【解答】解：观察图形，其中符合三角形概念的图形是D， 故选：D． 【变式1-2】观察下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【解答】解：A、是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意； B、2条线段没有相接，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意； C、3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，说法正确，故符合题意； D、有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，说法错误，故不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的定义进行判断即可． 【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，所以选项C符合题意． 故选：C． 【题型2 数轴的画法】 【例2】图中共有三角形 　 个． 【答案】8 【分析】观察图形先找出图中基本的三角形，△BDO，△ABO，△AOE，再找出复合组成的三角形即可． 【解答】解：①△BDO，△ABO，△AOE，共3个； ②△ABD，△ADC，2个； ③△ABE，△BCE，2个； ④△ABC，1个； 综上，图中共有共8个三角形． 故答案为：8． 【变式2-1】从大小判断，图中青蛙可以落在n个三角形内，则n＝　　 ． 【答案】4 【分析】根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【解答】解：所有三角形为：△ABC、△ABD、△ABE、△AED、△AEC、△ADC共6个． 从大小判断，青蛙不能落在△ABC、△ADE中，其它均可，即4个． 故答案为：4． 【变式2-2】如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，除△ABC外，图中还有几个三角形？并说出CD是哪些三角形的边． 【分析】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【解答】解：根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形可知： 除△ABC外，还有△ACD、△CDE、△ABD、△ADE， ∴除△ABC外，图中还有4个三角形， 其中，CD是△ACD和△CDE的边． 【变式2-3】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【分析】不在同一直线上的三点可以组成一个三角形，那么线段a上取一个点，线段b上取两个点，这三个点可组成一个三角形或线段a上取两个点，线段b上取一个点，这三个点可组成一个三角形，据此可得答案． 【解答】解：∵不在同一直线上的三点可以组成一个三角形， ∴可以组成的三角形有△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△ABC，△ABD，△ABE，共9个三角形． 【题型3 数轴上的点表示有理数】 【例3】等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形．等腰三角形ABC中，AB＝AC，它们各边与各角的名称如图所示． 2.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是底边和腰相等的等腰三角形． 3.三角形按边分类如下： 【变式3-1】小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　 ．（只需填上一个即可） 【分析】根据等边三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：增加一个适当的条件为∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC， 故答案为：∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC． 【变式3-2】如图，共有　 　 个直角三角形． 【答案】如图，共有　12　 个直角三角形． 【分析】分两种情况：由1个三角形组成的；由多个三角形组成的，分别确定它们的个数，再相加即可． 【解答】解：由1个三角形组成的直角三角形的个数：2+2+2＝6（个）， 由多个三角形组成的直角三角形的个数：2+2+2＝6（个）， ∴图中共有6+6＝12（个）直角三角形， 故答案为：12． 【变式3-3】若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为　 　 个． 【答案】若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为　3　 个． 【分析】先根据角的个数判断三角形的个数，再根据三角形内角和定理，由于有4个直角，2个钝角，则有4个直角三角形和2个钝角三角形，则余下的三角形为锐角三角形． 【解答】解：4+2+21＝27（个），即共有27个角，27÷3＝9（个），则共有9个三角形， 而有4个直角，2个钝角， 所以有4个直角三角形和2个钝角三角形， 9﹣4﹣2＝3（个）．所以锐角三角形有3个， 故答案为：3． 【题型4 数轴找原点】 【例4】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”，若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为6，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分6为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【解答】解：当6为腰长时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴△ABC的底边长为：20﹣6﹣6＝8， ∴“和谐比”为当6为底边长时， △ABC的腰长为：， ∴“和谐比”为；故选：C． 【变式4-1】如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是　 　 cm． 【答案】8 【分析】设运动的时间为x秒，由题意可得CM＝CN，CM＝（18﹣2x）cm，CN＝1.6xcm，从而可得一元一次方程18﹣2x＝1.6x，求解即可． 【解答】解：设运动的时间为x秒， ∴CM＝CN，CM＝（18﹣2x）cm，CN＝1.6xcm， ∴18﹣2x＝1.6x， ∴x＝5， 当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长为： ∴CM＝CN＝8cm， 故答案为：8． 【变式4-2】观察如图的变化规律，在第n个图中，三角形的个数为：　 　 ． 【答案】4n﹣3 【分析】结合图形至少数出前三个图形中三角形的个数，然后发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4． 【解答】解：第1个图形中有1个三角形， 第2个图形中有1+4＝5个三角形； 第3个图形中有1+4×2＝9个三角形； 第4个图形中有1+4×3＝13个三角形； … 故在第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3． 故答案为：4n﹣3 【变式4-3】在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表表示如下，请阅读下表后再回答问题． 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？ 答：　 　 ； （2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？在下表中画出它们的示意图． 火柴数 8 12 示意图 形状 【答案】在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表表示如下，请阅读下表后再回答问题． 火柴数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？ 答：　不能　 ； （2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？在下表中画出它们的示意图． 火柴数 8 12 示意图 形状 【分析】（1）把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，再根据三角形的三边关系进行分析； （2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形，进而画出示意图． 【解答】解：（1）4根火柴不能搭成三角形； 故答案为：不能． （2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）； 如图所示： （等腰三角形） 12根火柴能搭成3种不同的三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）． 如图所示： 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $