精品解析：贵州遵义市仁怀市第一中学2025-2026学年第二学期高二期中检测数学试题

2025—2026学年度第二学期高二年级期中检测 数学试题 一、单选题 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的公比为3，若，则为（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 4. 新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，从2024年年初开始，生产电池的某种有色金属的价格一路水涨船高．下表是2024年前5个月我国某电池企业采购的该有色金属价格Y（单位：千元／kg）与月份的统计数据． 1 2 3 4 5 1.7 3.0 6.0 7.4 若与的线性回归方程为，则的值为（ ） A. 4.1 B. 4.0 C. 4.2 D. 4.4 5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 150 B. 160 C. 180 D. 210 7. 已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 C. 经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D. 若事件满足，则 10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 11. 已知点为坐标原点，为曲线上的两点，为其焦点，下列命题正确的是（ ） A. 若直线过点，则的最小值为4 B. 的最小值为3 C. 若为线段的中点，则直线的斜率为4 D. 若直线过点，且是与的等比中项，则=5 三、填空题 12. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_______. 13. 若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则______，其展开式中的常数项为______. 14. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为．已知，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为D，求的长． 16. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知双曲线的实轴长为，且经过点. （1）求的渐近线方程； （2）设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 19. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ （2）现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二年级期中检测 数学试题 一、单选题 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】对化简即可. 【详解】，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 3. 已知等比数列的公比为3，若，则为（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 【答案】B 【解析】 【详解】等比数列的公比为3，因为，所以， 即，又，则，解得， 故选项B正确. 4. 新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，从2024年年初开始，生产电池的某种有色金属的价格一路水涨船高．下表是2024年前5个月我国某电池企业采购的该有色金属价格Y（单位：千元／kg）与月份的统计数据． 1 2 3 4 5 1.7 3.0 6.0 7.4 若与的线性回归方程为，则的值为（ ） A. 4.1 B. 4.0 C. 4.2 D. 4.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中的统计数据，求得样本中心，将其代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由表格中的统计数据，可得， 即数据的样本中心为， 将代入回归直线方程， 可得，解得． 5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 6. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 150 B. 160 C. 180 D. 210 【答案】D 【解析】 【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 7. 已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由球的表面积得到球的半径，由球与圆台内切得到圆台的高，进而求出圆台上下底面半径和母线长，求出表面积. 【详解】已知球的表面积为，设球的半径为，则得，解得， 因为球与圆台上下底面都相切，所以圆台的高. 设圆台上下底面半径分别为、（满足），因为圆台有内切球，则母线长， 即 .又，所以 ， 即 ，整理得 解得，即 ， ，母线. 所以圆台的表面积 . 8. 将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出的所有可能取值为，根据涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方体的个数，计算取每个值时的概率，从而求出的值． 【详解】的所有可能取值为， 涂3面油漆的小正方体有8个；涂2面油漆的小正方体有12个； 涂1面油漆的小正方体有6个；涂0面油漆的小正方体有1个； 则，，，， 所以． 二、多选题 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 C. 经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D. 若事件满足，则 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：根据方差的运算性质，对任意常数，有，本题中，因此，A正确． 选项B：回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1，说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，B正确． 选项C：经验回归直线一定经过样本中心点，但不需要经过任何一个样本数据点，C错误． 选项D：由条件概率性质，，因此，D错误． 10. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 11. 已知点为坐标原点，为曲线上的两点，为其焦点，下列命题正确的是（ ） A. 若直线过点，则的最小值为4 B. 的最小值为3 C. 若为线段的中点，则直线的斜率为4 D. 若直线过点，且是与的等比中项，则=5 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线和抛物线方程得出的最小值，再由弦长公式判断A；由三点共线结合定义判断B；由点差法判断C；由定义结合等比中项的性质判断D. 【详解】对于A，当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设其方程为，由得，则，则，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，垂足为，因为，所以当三点共线时，取最小值，最小值为，故B正确； 对于C，由两式相减得，，即直线的斜率为2，故C错误； 对于D，由定义可知，由，可得，因为，则，即，，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 12. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的坐标，计算其到原点的距离的值，再由正弦函数的定义，求出的值即可. 【详解】因为已知角终边过点， 根据，其中， 可得， 所以. 13. 若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则______，其展开式中的常数项为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第1空，根据二项式展开共有项及二项式系数的对称性，可得到关于的等式，解出即可； 第2空，先写出通项公式，化简，令的指数为，即可求出项数，再代入计算即可求出常数项. 【详解】（1）解：由二项式展开共有项，又展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大， 则为奇数，且这两项为中间两项，所以，即，解得； （2）由（1）知，则二项式为，设其通项公式为， 则当该项为常数项时，，解得， 即第三项为常数项，所以. 14. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 【答案】23 【解析】 【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可. 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 四、解答题 15. 在中，角的对边分别为．已知，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为D，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，结合余弦定理求解即可； （2）由的面积为，可得，从而可得，利用求解即可. 【小问1详解】 由， 则, 结合余弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 又， 所以． 【小问2详解】 因为的面积为，，， 所以， 所以， 又，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以 ， 所以． 16. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，列出方程，求解即可； （2）由错位相减法求和即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得，， ， 由成等比数列得，， 整理得，解得或， 因为是单调递增的等差数列，所以，即， 所以． 【小问2详解】 由题可知，，由（1）得，， 所以， 则， ， 两式相减得，， 整理得． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【小问1详解】 因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接， 在菱形中，，所以是等边三角形，则， 又因为平面平面，且平面平面， 平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知双曲线的实轴长为，且经过点. （1）求的渐近线方程； （2）设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的方程，再求渐近线方程即可； （2）当直线轴时，根据等面积法求得到直线的距离；当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，分别代入双曲线和椭圆的方程，求得，利用等面积法求得到直线的距离，结合点到直线的距离为定值求出． 【小问1详解】 根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 19. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ （2）现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为，第二关答题的前2道题每道题答对的概率均为，第3道题答对的概率为，各题答对与否相互独立. （i）求甲能进入第二关答题的概率； （ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多. 参考公式及参考数据：. 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】（1）能 （2）（i）；（ii）当时，建议挑战第3道题；当时，挑战和不挑战第3道题都可以；当时，建议不挑战第3道题. 【解析】 【分析】（1）求，并与临界值对比分析，结合独立性检验思想分析判断； （2）（i）可知3道题至少答对2道题，结合独立重复事件概率公式运算求解； （ii）分别求不挑战第3道题与挑战第3道题的期望，利用作差法比较大小，即可判断. 【小问1详解】 零假设为：对航天工程的关注情况与学历无关， 因为， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以可以认为对航天工程的关注情况与学历有关. 【小问2详解】 （i）记甲能进入第二关答题为事件，即3道题至少答对2道题， 所以； （ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0，400， 则，， 可知的分布列为： 0 400 所以； 若确定挑战第3道题，获得奖金为，的可能取值为0，200，800， 则，，， 可知的分布列为 0 200 800 所以. 令， 当时，，建议挑战第3道题； 当时，，挑战和不挑战第3道题都可以； 当时，，建议不挑战第3道题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $