精品解析：贵州遵义神州天立高级中学2025-2026学年第二学期高二第一次月考数学试题

遵义天立学校2025-2026第二学期 高二数学月考试题 （满分：150，时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查复数的概念及复数的运算． 解：由题意得： 所以，共轭负数为2+i 故选B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定规则，改换量词、否定结论、保持取值范围不变即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 3. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两组数据的第50百分位数、第80百分位数，求出即可得解. 【详解】依题意，甲组数据的第50百分位数为14，乙组数据的第50百分位数为，则， 由，得甲组数据的第80百分位数为，乙组数据的第80百分位数为， 因此，解得，所以. 故选：C 4. 已知，则下列成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件，利用指数函数，对数函数的单调性以及不等式性质，逐一分析即可. 【详解】对，等价于，因为，显然，不等式不成立； 对，因为是增函数，又因为，故，故不等式不成立； 对，因为是增函数，又因为，故，故不等式不成立； 对，等价于，因为，显然，故不等式成立. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质，以及利用对数和指数函数的单调性比较大小，属基础题. 5. 在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（ ） A. 60 B. 36 C. 729 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】展开式的通项公式为， 令，则， 当时，，， 当时，，，所以， 令，则，所以. 6. 如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可． 【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，由为正三角形，故．故选B． 【点睛】本题考查了异面直线所成角，求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解． 7. 化简计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角恒等变换求解即可. 【详解】 . 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期是2 B. 是奇函数 C. 不一定是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据函数周期性的定义分析判断，对于BC，根据函数奇偶性的定义结合题意分析判断，对于D，根据函数的周期性、偶函数和对称性分析判断即可. 【详解】对于A，因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，所以的一个周期是4，所以A错误， 对于BC，因为，所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称， 所以，所以， 所以是偶函数，不是奇函数，所以BC错误， 对于D，因为为偶函数，的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称， 因为的一个周期是4，所以的图象关于点对称， 即的图象关于点中心对称，所以D正确， 故选：D 二、多选题 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间中的线面、面面关系逐一判断. 【详解】由，得或，A错误； 由，得，B正确； 由，得或相交，C错误； 由，得，D正确. 故选：BD 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量是 D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量模的计算和向量的投影公式对选项逐一计算判断. 【详解】，， 所以，所以不垂直，A错误； ，， 所以，B正确； ，，， 所以向量在向量上的投影向量为，C正确； ， 所以向量在向量上的投影向量为，D错误. 故选：BC. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，则（ ） A. 若的一条渐近线的倾斜角为，则 B. 若的离心率为，则的实轴长为2 C. 若，则 D. 焦点到渐近线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一条渐近线的倾斜角为45°，则，得到，可判定A正确；由双曲线的离心率，求得，可判定B正确；由双曲线定义和，列出方程组，求得，可判定C错误；根据点到直线的距离公式，可判定D正确. 【详解】由双曲线，可得， 对于A，由双曲线的渐近线方程为，因为一条渐近线的倾斜角为45°，则，所以，所以A正确； 对于B，由双曲线的离心率，解得， 所以实轴长，所以B正确； 对于C，由双曲线定义，因为，则，可得， 即，所以，所以C错误； 对于D，由双曲线的渐近线，即， 则焦点到渐近线的距离为，所以D正确. 故选：ABD． 三、填空题 12. 若事件与事件互斥，且，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理的边角互化，化简得，即可求解. 【详解】由根据余弦定理，可得. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟练应用余弦定理的边角互化，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14. 圆在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由点在圆上，求得，结合圆的性质，得到切线斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】将圆化为标准方程，可得圆心坐标为， 由点在圆上，可得圆心与点连线的斜率， 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，可得切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 四、解答题 15. 国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值； （2）求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）； （3）现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率． 【答案】（1） （2）平均数为；中位数约为42.1 （3） 【解析】 【分析】(1)用频率分布直方图的面积和为直接求出； (2)用平均数，中位数的意义可求； (3)古典概率问题，先求出不同年龄段抽取的人数，再用古典概率公式求出结果. 【小问1详解】 由图可知， 解得． 【小问2详解】 平均数为． 设中位数为x，由已知可得． 且， 解得，即中位数约为42.1． 【小问3详解】 年龄在和这两组的人数分别为30，20， 则年龄在的应抽取3人，年龄在的应抽取2人， 设“从这5人中任选3人，年龄在内的至少有2人”为事件A， 则． 16. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【小问1详解】 由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. 【小问2详解】 由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 17. 如图所示，四棱锥的底面为一直角梯形，，，，底面，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可证得，由线面平行的判断定理即可求证； （2）根据已知条件可证明面，可得，再由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可证明面，再结合即可求证. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为四边形是直角梯形，，，所以，且， 因为为的中点，点为的中点，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； （2）因为底面，面，所以， 又因为，，所以面， 因为平面，可得， 因为，点为的中点，所以， 因为，所以面， 因为，所以平面. 18. 在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表： 参加志愿服务礼仪培训 未参加志愿服务礼仪培训 参加赛会应急救援培训 6 10 未参加赛会应急救援培训 6 28 （1）从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率； （2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据查数据可知至少参加上述一个培训的共有22人，即可计算出相应的概率； （2）列出所有的基本事件，再选出符合题意的基本事件数，即可计算出结果. 【小问1详解】 由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有28人， 故至少参加上述一个培训的共有（人）. 因此从50名志愿者中随机选1名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为； 【小问2详解】 从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人， 其一切可能的结果组成的基本事件有，共8个， 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的， 事件“未被选中且被选中”所包含的基本事件有，共3个， 所以可得未被选中且被选中的概率为. 19. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程. （2）设直线，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程. （3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 倾斜角为，可得斜率. 设直线方程为：，与椭圆联立： 代入得：， 满足，即. 则，. 设，， 则中点横坐标： ，纵坐标：. 消去参数得：， 所以中点轨迹方程为：. 【小问3详解】 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程：，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：，即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立.，则，得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义天立学校2025-2026第二学期 高二数学月考试题 （满分：150，时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是 A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 4. 已知，则下列成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（ ） A. 60 B. 36 C. 729 D. 6 6. 如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 0 7. 化简计算的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期是2 B. 是奇函数 C. 不一定是偶函数 D. 的图象关于点中心对称 二、多选题 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量是 D. 向量在向量上的投影向量是 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，则（ ） A. 若的一条渐近线的倾斜角为，则 B. 若的离心率为，则的实轴长为2 C. 若，则 D. 焦点到渐近线的距离为 三、填空题 12. 若事件与事件互斥，且，，则______. 13. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为______. 14. 圆在点处的切线方程为______. 四、解答题 15. 国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值； （2）求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）； （3）现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率． 16. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 17. 如图所示，四棱锥的底面为一直角梯形，，，，底面，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，证明：平面. 18. 在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表： 参加志愿服务礼仪培训 未参加志愿服务礼仪培训 参加赛会应急救援培训 6 10 未参加赛会应急救援培训 6 28 （1）从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率； （2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率. 19. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为． （1）求C的方程； （2）若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线：与交于，两点，设直线，的斜率分别为，且，求t． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $