西藏自治区昌都市高中联考2025-2026学年高二下学期期末质量监测考试数学试题

2026年春季学期高二年级质量监测考试 数学 本试卷共2页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.复数z满足，则（ ） A. B. C. D.2 3.设直线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（ ） A.3 B. C.5 D. 4.现有4名志愿者在五一放假三天里，到公园去服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务的安排方案有（ ）种 A.36 B.48 C.60 D.72 5.已知向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7.若正四棱台的侧棱长为，上，下底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积是（ ） A.28 B.32 C.48 D.84 8.设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆和圆，则下列说法正确的是（ ） A.圆O与圆C有四条公切线 B.点P为圆O上一动点，的最大值为 C.圆O与圆C的公共弦所在直线方程为 D.圆O与圆C的公共弦长为 10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B.为钝角三角形 C.的面积为4 D.外接圆的面积为 11.已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（ ） A. B.准线方程 C.点或 D.以为直径的圆与抛物线的准线相切 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12.的展开式中常数项为_________________． 13.长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，，则球的表面积为__________． 14.已知函数有两个零点，则m的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分） 某地区随机抽取5家超市，得到其某1年的广告支出与销售额数据如下表： 超市i 1 2 3 4 5 广告支出/万元 3 5 4 6 2 销售额/万元 22 27 24 28 19 （1）求y关于x的经验回归方程；若该地区的A超市在同一年的广告支出4.5万元，推断A超市该年的销售额约为多少万元？ （2）若从统计表中的5家超市中随机抽取2家，记销售额不低于24万元的超市家数为X，求X的分布列与均值． 参考公式与数据：在经验回归方程中，，，，． 16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小． 17.（本小题满分15分）已知等比数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）已知是等差数列的首项，和的等差中项是，求数列的通项公式及数列前n项和． 18.（本小题满分17分）已知椭圆的右焦点，短轴长为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记O为坐标原点，直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线恒过定点； （ii）求面积的最大值． 19.（本小题满分17分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 2026年春季学期高二年级质量监测考试数学答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A D B A C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD ABD AC 9.BCD 【分析】根据圆心距和两圆半径的比较，即可得出两圆相交，判断选项A，由对称性判断B，联立两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，判断C，利用点到直线的距离公式和勾股定理即可求解公共弦长判断选项D． 【详解】对于A：由题知，，，，，则， 又，即， 所以圆O与圆C相交，有两条公切线，A错； 对于B：点P为圆O上一动点，则的最大值为，故B正确； 对于C：联立得， 故圆O与圆C的公共弦所在直线l方程为，C正确； 对于D：点O到l的距离为， 所以圆O与圆C的公共弦长为，D正确． 故选：BCD． 10.ABD 【分析】由余弦定理计算判断A；根据大边对大角结合余弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；根据正弦定理计算判断D． 【详解】对于A，由余弦定理知， 因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以B最大， 由余弦定理知， 所以，故为钝角三角形，B正确； 对于C，的面积，C错误； 对于D，因为， 所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D正确． 11.AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确，B错误； 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确； 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以AF为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以AF为直径的圆与y轴相切，故D错误． 三、填空题 12.240 【详解】的展开式的通项为，， 令，得，所以的展开式中常数项为． 13. 【分析】利用长方体的体对角线就是外接球直径，从而可求球的表面积． 【详解】由题可得：， 因为长方体的外接球的一条直径是，所以外接球的半径为， 由球的表面积公式可得：． 14. 【分析】将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解． 【详解】，令， 求导得， 而，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则m的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15.【详解】（1）计算样本均值：，， 由最小二乘法公式计算回归系数：， ， 因此线性回归方程为， 将代入方程得：， 即A超市该年销售额约为25.15万元； （2）由题意得，5家超市中销售额不低于24万元的共3家，低于24万元的共2家， X的所有可能取值为0，1，2，X服从参数，，的超几何分布， 则，，， 则X的分布列是： X 0 1 2 P 均值：． 16.【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又底面ABCD为正方形，，，平面PBD，平面PBD， 所以平面PBD，平面PBD，所以， 平面ABCD，平面ABCD，所以， 在中，，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角的夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． 17.（Ⅰ）设的公比为q，依题意得， 解得，所以． （Ⅱ）设的公差为d由（1）得，，， 所以，，解得， 所以，， ∴…① …② ①－②： ， ． 18.【详解】（1）依题意可知， 解得，，椭圆C的标准方程为． （2）（i）设，，，依题意， 得，， ，（*）， 所以，即得直线DB的方程为：①． 由图形的对称性可知，若动直线DB过定点，则定点一定在x轴上， 所以令代入①，可得， 由（*）得， 所以得， 所以直线DB恒过定点． （ii）由（i）可知直线DB恒过定点， 所以， 将（*）代入得， 设，则． 因为，所以， 所以，当且仅当时取面积的最大值． 19.【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，，所以． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为当时，，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数有两个零点． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 学科网（北京）股份有限公司 $