第十章 二元一次方程组 暑假提升训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以二元一次方程组为核心，通过基础巩固、方法迁移与实际建模，系统培养运算能力、推理意识与模型意识，形成“概念-解法-应用-拓展”的完整逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|单选2/17题|代入/加减消元法|从方程解的定义到方程组基本解法，夯实运算基础| |参数与同解|填空12/19题|整体代换/消参法|连接方程解与参数关系，提升推理能力| |实际应用|单选7/25题|建模法（行程/购物）|将实际问题抽象为方程组，强化模型意识| |新定义拓展|22/23题|阅读迁移/定义应用|通过共轭方程等新情境，培养创新思维|

暑假提升训练：二元一次方程组 一、单选题 1．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．用代入消元法解二元一次方程组，将①代入②消去，可得方程为（    ） A． B． C． D． 3．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 4．若，则的值是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（     ）. A．， B．， C．， D．， 7．我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有四人共车，二车空；三人共车，七人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每4人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每3人坐一辆车，那么有7人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为（     ） A．B．C．D． 8．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，8个大小完全相同的长方形摆成如图所示的图案．若点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知方程是关于，的二元一次方程，的值为__________． 12．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则的值为_________． 13．某班准备举办一场智力竞赛，购买奖品一共花了300元，已知一件甲种奖品的价格为30元，一件乙种奖品的价格为20元，若两种奖品都买，则共有________种不同的买法． 14．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 15．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则根据题意可列出关于，的方程组为________． 16．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是________． 三、解答题 17．解方程组： (1) (2) 18．已知关于x，y的方程组，当x与y互为相反数时，求a的值及方程组的解． 19．已知关于，的二元一次方程组和的解相同，求的算术平方根． 20．小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求的值； (2)求出原方程组的正确解． 21．如图，3支塑料凳子叠放在一起的高度为，5支塑料凳子叠放在一起的高度为．求10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度． 22．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以③， ③，得④， ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是． (1)运用上述方法解方程组； (2)解方程组． 23．规定：关于的方程与互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．如与互为共轭二元一次方程，是共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于的方程组为共轭方程组，求的值． 24．已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 25．某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 (1)若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B A B A B D 1．B 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 2．A 【分析】将方程②中的替换为①中的表达式，即可得到对应方程． 【详解】解：， 将①代入②得． 3．D 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 4．C 【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性求解，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此列出方程组，再计算得到的值． 【详解】解：∵，，且 ∴，整理得 得： 化简得 故选：C． 5．B 【分析】根据题意，原方程组的解同时满足，可先联立不含的两个方程求出的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】解：由题意可得方程组， 将两个方程相加，得， 解得， 把代入，得， 把代入，得 ． 6．A 【分析】把两组解分别代入二元一次方程得到关于与的二元一次方程组，解方程组即可得到结果. 【详解】解：和都是二元一次方程的解， 将两组解分别代入方程，得：. 解得. 7．B 【详解】解：由题意可得方程组为． 8．A 【分析】先将方程变形，根据均为正整数的条件确定未知数的取值范围，列举所有符合条件的解，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ，y是正整数， ∴为2的正整数倍， ∴或或或， ∴方程共有个正整数解． 9．B 【分析】根据规定列得关于，的二元一次方程组为，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则． 10．D 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据点的坐标列出方程组求出、，再结合图形确定点的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，点的纵坐标为，横坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点的纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 11． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴未知数的次数满足，且的系数， ∴，且， ∴． 12．1 【分析】将代入方程组得，将代入得，由①②③解得，代入所求式子即可得出结果． 【详解】解：∵甲同学正确地解出， ∴将代入方程组得， ∵乙同学因把c抄错了解得， ∴将代入得， 由①②③解得， ∴． 13． 【分析】先设购买件甲种奖品，件乙种奖品，再根据总花费列出二元一次方程，求出方程的正整数解的个数，即可得到不同买法的数量． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据题意可得： 整理得，变形得． 均为正整数， ， 可得，且为偶数． 为偶数，因此为偶数，即为偶数， 因此该二元一次方程的正整数解共有组： ，，，， 故共有种不同的买法． 14．3 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 15．或 【分析】根据甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，得到，根据形成长为65的纸条，可得或，即可得到方程组. 【详解】解：由题意，重叠部分的长可表示为或，故， 形成长为65的纸条，故可得或； 故可得方程组或. 16． 【分析】观察两个方程组可得，满足，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴关于，的二元一次方程组的解满足， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解是． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， 即， 解得， 将代入①，得． ∴方程组的解为． （2）解：， ，得， 解得， 将代入①，得， 即， 解得， ∴方程组的解为． 18．， 【分析】先根据，得出，根据x、y的值互为相反数，即可求出a的值，再将a的值代入方程组，利用加减消元法求出方程组的解． 【详解】解：， 得：， ， 的值互为相反数， ， ， ， ， 得： ， 解得：， 将代入④得：， 解得：， 方程组的解为． 19． 【分析】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组，利用加减消元的方法求出结果，再代入求出a，b的值，代入求出结果再求算术平方根． 【详解】解：由题可知，两个二元一次方程组的解也是方程组的解， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 则方程组的解为， 把分别代入，， 得， 解得 ，         的算术平方根为． 20．(1)， (2) 【分析】利用看错系数的解仍满足未看错的方程，代入计算即可求出和的值； 把的值代入原方程组，再利用加减法解答即可． 【详解】（1）解： 小马看错方程①中的，得到的解满足方程②， 将代入②，得 ， 解得， 小虎看错方程②中的，得到的解满足方程①， 将代入①，得 ， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得 ， ①②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的正确解为． 21．支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为 【分析】设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加，根据题干图求出x、y的值，再计算10支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度即可． 【详解】解：设1支塑料凳子的高度为，每叠放1支塑料凳子高度增加， 依题意得， 解得， ， 答：支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为． 22．(1) (2) 【分析】（1）先将方程组中的第二个方程减去第一个方程，得到一个新的方程，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先将方程组中的第二个方程减去第一个方程，得到一个新的方程，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ②①，得，即③， ③，得④， ①④，得， 将代入③，得， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：， ②①，得③， ③，得④， ④①，得， 将代入③，得， 解得， 所以方程组的解为． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据定义交换x和y的系数即可得到结果； （2）根据共轭方程组的定义，得到对应系数与常数项相等，列出方程组求解即可，用到的知识点是二元一次方程组的解法． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，交换原方程x和y的系数，可得方程的共轭二元一次方程是； （2）解：∵为共轭方程组， ∴， 将代入得， 化简得， 解得， 将代入得，满足，符合题意， 因此． 24．(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 25．(1)班委购买了书签50个、卡通笔30个 (2)共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个 【分析】（1）设班委购买了书签个、卡通笔个，根据班委购买了书签和卡通笔共80个，共花费244元建立方程组求解即可； （2）设购买书签（）个，卡通笔（）个，根据购买费用为266元建立方程，求出方程的解即可得到答案． 【详解】（1）解：设班委购买了书签个、卡通笔个， 由题意得： 解得， 答：班委购买了书签50个、卡通笔30个． （2）解：设购买书签（）个，卡通笔（）个， 由题意得， ∴． ∵，是正整数，且，， ∴或或， 答：共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个． 答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $