第十章 二元一次方程组 能力提升卷(Word版)-【千里马·单元测试卷】2025-2026学年七年级下册数学(人教版·新教材)

**基本信息** 第十章二元一次方程组单元复习卷，全面覆盖方程解、解法及应用，融合《孙子算经》《九章算术》等传统文化与冬奥会、污水处理等现实情境，适配数学眼光、思维与语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|二元一次方程解、方程组关系、格点问题|基础巩固，结合几何情境（第6题）| |填空题|8题|消元思路、传统文化应用（第18题）、三元方程组|能力提升，含跨学科情境（第17题行程问题）| |解答题|7题|实际应用（第23题服装店、25题污水处理）、创新定义（第24题精优点）|综合应用，体现模型意识与推理能力|

第十章 能力提升卷 【考查范围：二元一次方程组】 一、选择题 1. 二元一次方程有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（ ） A. B. C. D. 2. 由方程组可得出x与y之间的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. （江西九江期末） 4. 方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（ ） A. 9， B. 9，1 C. 7， D. 5，1 5. 某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母．则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝150°．∠EOB比∠COE大90°，设∠COE＝x°，∠EOB＝y°，则可得到的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 在直角坐标系中，坐标是整数的点称作格点，第一象限的格点满足，则满足条件的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）． A. 不论k取什么实数，的值始终不变 B. 存在实数k，使得 C. 当时， D. 当，方程组的解也是方程的解 10. 为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 二、填空题 11. 解方程组小红思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路：________________． （湖北武汉期末） 12. 关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为______． 13. 如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x=__________，y=__________． 14. 三元一次方程组的解是______． 15. 对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________. 16. 小明周末在操场上散步，并用运动软件监测自己的步数，第一次查看，发现自己的步数是一个两位数，第二次查看，发现步数依然是两位数，但十位与个位上的数字与第一次的正好互换，第三次查看，发现步数比第一次看到的两位数中间多了个0，且比第二次的步数多出135，则第一次查看时，步数为________． 17. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设上坡有，平路有，已经列出一个方程，则另一个方程是_______． （传统文化） 18. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______． 三、解答题 （教材母题变式） 19. （教材母题变式）用加减法解下列方程组： （1） （2）． 20. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 （1）请你仿上面的解法解方程组 （2）猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 21. 分别用8个大小一样的长方形拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1 mm的小正方形．你能求出小长方形的长和宽吗？ （河南安阳期未） 22. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 23. 某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） （1）请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； （2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 24. 定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． （1）若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） （2），为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； （3），，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． （核心素养） 25. 为建设美丽郑州，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有，两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： 型 型 价格（万元/台） 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台型设备比购买3台型设备少6万元． （1）求，的值； （2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案； （3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案． 第十章 能力提升卷 【考查范围：二元一次方程组】 一、选择题 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】将选项中的的值代入方程中，若方程等号两边相等则是方程的解，否则就不是方程的解. 【详解】解：选项A，将代入，方程左边右边，故不是方程的解； 选项B，将代入，方程左边右边，故不是方程的解； 选项C，将代入，方程左边右边，故不是方程的解； 选项D，将代入，方程左边右边，是方程的解； 故选：D. 【点睛】本题考查二元一次方程的解，是方程的解就是将未知数代入方程中，等号左边等于等号右边. 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接把方程组两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：把方程组两个方程相加得到， ∴， 故选：B． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，算术平方根的求解以及倒数的概念，解题的关键是灵活运用相关基本知识进行求解． 根据绝对值和算术平方根的非负性，得到关于的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，化简可得， ①+②得：，解得， 将代入①得，，解得， ∴， ∴的倒数是， 故选：C （江西九江期末） 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．把代入求出值，将，代入即可得出答案． 【详解】解：由题意得：将代入得：， 将，代入得：， ∴，． 故选：C． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据车间有26名工人，可得，根据1个螺钉需要配两个螺母，可得到，然后即可列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据“∠AOD＝150°，∠EOB比∠COE大90°”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：∵∠AOD＝150°， ∴∠COE+∠EOB＝∠BOC＝∠AOD＝150°， 由题意可得：． 故选：A． 【点睛】本题考查对顶角相等和由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组． 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设木长尺，绳子长为尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设木长尺，绳子长为尺. ∵ 引绳度之，余绳尺， ∴. ∵ 屈绳量之，不足一尺，即对折后量木，木剩余尺， ∴ 对折绳子长度比木长小尺， ∴． 因此，方程组为， 故选：B． 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】解方程2x+3y=7，求得整数解x=2，y=1即为第一象限的格点P（x，y）． 【详解】解：∵2x+3y=7， ∴x=2，y=1， 满足条件的点有1个． 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及坐标与象限，熟练解二元一次不定方程是解题的关键． 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可． 【详解】解：，解得：，然后根据选项分析： A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立； B选项，，解得，存在这样的实数k，成立； C选项，，解得，成立； D选项，当时，，则，不成立； 故选D． 【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得，进而求解即可． 【详解】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得： ， ∴， ∵，且x、y都为正整数， ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； ∴购买方案有5种； 故选A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键． 二、填空题 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． （湖北武汉期末） 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，换元法求方程组的解，将转化为：，进而，得到方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为， 解得：； 故答案为：． 【13题答案】 【答案】 ①. 4 ②. 5 【解析】 【详解】解：根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2， 依两个等量关系列出方程组， 解得． 故答案为：4和5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解． 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：，即④， 由①④得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 将，代入②得：， 解得， 则方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 【15题答案】 【答案】60 【解析】 【详解】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案． 详解：由题意可知：， 解得：． ∵x＜y，∴原式=5×12=60． 故答案为60． 点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 【16题答案】 【答案】27 【解析】 【分析】设第一次查看时，步数的十位数字为x，个位数字为y，则第二次查看时，步数的十位数字为y，个位数字为x，由题意：第三次查看，发现步数比第一次看到的两位数中间多了个0，且比第二次的步数多出135，列出二元一次方程，求出满足条件的正整数解即可． 【详解】解：设第一次查看时，步数的十位数字为x，个位数字为y，则第二次查看时，步数的十位数字为y，个位数字为x， 由题意得：100x+y-（10y+x）=135， 整理得：y=11x-15， ∵x、y为正整数，且x＜10，y＜10， ∴， 即第一次查看时，步数为27， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【17题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组知识，掌握以上知识是解题关键；根据二元一次方程组知识，找到题目中等量关系，列出方程即可求解，注意题目中上坡和下坡的区别； 【详解】解：∵从乙地到甲地需， ∴乙地到甲地需， ∵下坡有，下坡每小时走， ∴下坡时间为， ∵平路有，平路每小时走， ∴平坡时间为， ∴列方程为：， 故答案为：； （传统文化） 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设：甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，正确找出数量关系，列出二元一次方程组是解答本题的关键． 三、解答题 （教材母题变式） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组． （1）整理方程组，再用加减消元法解方程组即可； （2）两个方程相加得到得，解得．再求出即可． 【小问1详解】 解： 整理，得 ①-②，得，解得． 把代入②，得，解得， 所以原方程组解是 【小问2详解】 ①+②，得，解得． ②-①，得，解得， 所以原方程组的解是 【20题答案】 【答案】（1） （2），验证见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． （1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可； （2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可． 【小问1详解】 解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； 【小问2详解】 解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 【21题答案】 【答案】小长方形的长为，宽为． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，观察图①、图②，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为． （河南安阳期未） 【22题答案】 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 【23题答案】 【答案】（1）A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件 （2）服装店比按标价出售少收入1210元 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用． （1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件， 根据题意，得 解得 答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件． 【小问2详解】 （元）． 答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元． 【24题答案】 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解三元一方程组，求二元一次方程组的整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，然后解方程即可； （）由题意得，整理得，根据，为正整数，即可求解； （）由题意得：，然后得到关于的方程，然后求解即可． 【小问1详解】 由题意得：， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得：， ， ， ∵，为正整数， 或； 【小问3详解】 由题意得： ， 得：， 得：， ， ， ， 把代入得：， 解得， ∴的值为． （核心素养） 【25题答案】 【答案】（1） （2）三种购买方案：型设备0台，型设备10台；型设备1台，型设备9台；型设备2台，型设备8台； （3）购买型设备1台，型设备9台最省钱 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，然后解方程即可； （2）设购买型设备a台，则购买型设备台，根据题意列出关于a的不等式，然后解不等式，根据a为整数可求解； （3）根据题意和（2）中所求得到或2，然后分别求得购买费用，比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意，， ∴； 【小问2详解】 解：设购买型设备a台，则购买型设备台， 根据题意，得且， 解得，又a为整数， ∴该治污公司有三种购买方案：型设备0台，型设备10台；型设备1台，型设备9台；型设备2台，型设备8台； 【小问3详解】 解：由题意得，解得， ∴或2， 当时，买设备的费用为（元）， 当时，买设备的费用为（元）， ∵， ∴购买型设备1台，型设备9台最省钱． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，理解题意，找到题中等量和不等量关系并正确求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $