专题提优：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版暑假复习专项

**基本信息** 聚焦二元一次方程组全体系，以概念辨析为基础，通过消元法、整体思想等方法提炼，构建从定义到含参应用的逻辑链条，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1,11题|二元一次方程三要素判断法|从定义本质到形式辨析| |解法应用|17,21题|代入/加减消元法、整体加减法|运算技巧与步骤优化| |实际应用|3,4,9,19题|等量关系建模法|生活情境到数学表达| |含参问题|7,8,12,13题|参数分类讨论与解的存在性分析|方程解的性质拓展| |数学思想|10,14,20题|换元法、转化思想|问题形式转化与方法迁移|

专题提优：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）暑假复习专项 一、单选题 1．下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 3．劳动课上，老师给每组同学一根长的竹竿，要求全部用完，且截成长和长两种规格均有的竹段．设某种截法中长的竹段有a根，则a的值可能有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．10种 4．北京冬（残）奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到广大网友的喜爱．王老师想要购买这两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需元．若已列出一个方程为，则另一个方程可以为（   ） A． B． C． D． 5．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 6．已知点，，将线段平移后得到线段，其中点A平移到点C，点B平移到点D，平移后点C、点D恰好都落在坐标轴上，则点C的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 7．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 8．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9．甲、乙两人在相距千米的两地，若同时出发相向而行，经小时相遇，若同向而行，且甲比乙先出发小时去追乙，在乙出发后小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度，设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 10．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．当______时，是二元一次方程． 12．已知是关于x，y的二元一次方程组的一个解，则的值是______（用含k的式子表示）． 13．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 14．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 15．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 16．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 三、解答题 17．解下列方程组： (1)； (2)． 18．甲、乙两同学同时解方程，甲看错了，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程的解为，计算的值． 19．开学季，某文具店热销两款学生用品——笔记本和中性笔．已知购买2本笔记本和3支中性笔共需28元，购买4本笔记本和1支中性笔共需26元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的售价各是多少元？（列二元一次方程组解决问题） (2)已知笔记本每本进价为3元，中性笔每支进价为4元．为迎接新学期，文具店开展促销活动：中性笔按原售价降价1元销售，笔记本售价不变．本次活动中售出了30本笔记本，若干支中性笔，两款商品共获利润130元．求本次促销活动中售出了多少支中性笔？ 20．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 21．解方程组时，有时可根据方程的未知数的系数特征，将几个方程直接进行整体加减．例如解方程组： ， 解：由得，即③，得④， 则得，从而可得，∴． 上述这种方法我们称之为“整体加减法”，你若留心观察，有很多方程组都可采用此方法解．请你用整体加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)请你猜测关于x、y的方程组的解是什么，并加以验证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题提优：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）暑假复习专项》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D D C D A B D 1．B 【详解】解：二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，逐个判断如下： ①，项的次数为，不是二元一次方程； ②，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ③，是分式，该式不是整式方程，不是二元一次方程； ④，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ⑤，未知数项的次数为，不是二元一次方程； ⑥，不是等式，不属于方程，不是二元一次方程； ⑦，含有三个未知数，不是二元一次方程； 综上，符合条件的二元一次方程共个． 2．D 【分析】把x、y的值代入，得出关于m、n的方程组，即可求解． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴ ，得， ∴ 3．A 【分析】先根据竹竿总长度列出等式，再结合两种规格均有的要求，得到a、b均为正整数，据此列举出a的所有可能值，统计个数即可． 【详解】解：设长的竹段有根，根据题意得： ， ∴， ∵两种规格均要有， ∴，均为正整数， ∴，，，， ∴a的值可能有种． 4．D 【分析】先设两种吉祥物的单价，根据题意得到两个基础关系式，结合已知方程的由来，对两个基础关系式作差即可得到另一个方程． 【详解】解：设购买1件“冰墩墩”的价格为元，购买1件“雪容融”的价格为元， 根据题意可得， 已知给出的方程是得到的结果，对两个方程做减法运算， ，左边，右边为， ，即另一个方程为． 5．D 【分析】在正方形框内填入数字，由题中幻方规律列出关于的二元一次方程组，对每一个方程恒等变形得出关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：设正方形框内所填数字为，如图所示： 则由题意得， 由①得， 由②得， ， 解得， 将代入得． 6．C 【分析】平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同，结合C，D都落在坐标轴上的条件，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设平移时横坐标变化量为，纵坐标变化量为， ∵平移后得到点，平移后得到点， ∴， ∵，都落在坐标轴上，分两种情况讨论： 情况1：在轴，在轴 可得 解得， ∴ 情况2：在轴，在轴 可得， 解得， ∴ 综上，点的坐标为或． 7．D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及含参方程组的解与参数的关系，解题的关键是先用加减消元法求出．将代 入各选项的条件中，转化为关于的方程或判断是 否与的值有关，逐一验证即可得出结论． 【详解】解：解方程组， ①②得， 把代入①得：， 方程组的解为， ①当时，方程组的解为， 代入得，满足方程，故①正确； ②若则， 整理得，解得，存在实数满足条件，故②正确； ③计算， 结果为常数，与无 关，故不论取何值，的值始终不变，故③正确； ④若，则, 整理得，解得，故④错误； 综上，正确结论为①②③. 9．B 【分析】分别找出相向而行和同向而行两种情况下的等量关系，据此列出方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时。 ∵甲乙同时出发相向而行，小时相遇，总路程为千米，两人路程和等于两地距离， ∴， ∵同向而行时，甲比乙先出发小时，乙出发后小时甲追上乙，甲一共行驶小时，乙一共行驶小时，甲追上乙时甲的路程比乙多千米， ∴， ∴可列方程组． 10．D 【分析】利用二元一次方程组解的定义，通过对已知方程组变形，对比待解方程组的对应项即可求出解． 【详解】解：∵ 方程组的解是， ∴ 将代入方程组得    ， 将方程组两边同时除以，整理得，对比待解方程组， 可得． 11． 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的最高次数为，且方程含有两个未知数，因此得到关于的条件，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是二元一次方程 ∴，且 ∴，且 解得， ∴． 12． 【分析】把代入可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一个解， ∴， 由得：， ∴， ∴． 13． 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 14． 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． 15．14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 16． 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于常数、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 17．(1) (2) 【分析】（1）通过观察两个方程中的系数相同，采用减法消元，先求出，再代回求计算即可； （2）通过乘法统一的系数后相加消元，先求出，再代回求计算即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）， 得， 得， 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 18． 【分析】分别将两组解代入原方程求出a，b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入得， 解得； 把代入得， 解得， 所以． 19．(1)每本笔记本的售价为5元，每支中性笔的售价为6元 (2)本次促销活动中售出了70支中性笔 【分析】（1）设每本笔记本的售价为x，每支中性笔的售价为y，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设本次促销活动中售出了m支中性笔，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x，每支中性笔的售价为y， 根据题意得， 解得 ∴每本笔记本的售价为5元，每支中性笔的售价为6元； （2）解：设本次促销活动中售出了m支中性笔， 根据题意得， 解得 ∴本次促销活动中售出了70支中性笔． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义运算，得出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）根据定义运算得出，然后将（1）中得出的a，b的值代入即可得出答案． （3）令，， 则方程组变形成，结合已知条件得出，进而即可得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：， 解得∶ ． （2）解：∵，， ∴，即， 把，代入， 得：， ∴． （3）解：令，， 则方程组变形成， ∵关于x，y的方程组解为， ∴的解为， 即， 解得． 21．(1) (2) (3) ，验证如下： 把分别代入方程组， 得， 故是原方程组的解． 【分析】（1）仿照题干的方法求解即可； （2）仿照题干的方法求解即可； （3）根据题干和（1），（2）中的结果直接猜测，分别代入方程组进行验证即可． 【详解】（1）解：由得，即③， 得④， 则得， 从而可得， ∴； （2）解：由得，即③， 得④， 则得， 从而可得， ∴； （3）解：由题干及（1）、（2），关于x，y的方程组的解是． 验证略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $