12.4.3 角平分线 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 12.4 逆命题和逆定理 角平分线 数学华东师大版八年级上册 1.熟练掌握角平分线的性质定理及逆定理； 2.能运用角平分线的性质定理及逆定理进行证明或计算； 3.体会直观猜想需严谨证明，培养严谨细致的数学态度； 4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力. 学习目标 1.角平分线的定义是什么？ 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. A B D C 如图，射线AD平分∠BAC， 所以AD就是∠BAC的角平分线. 复习回顾 2.角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 思考：角的平分线有哪些性质呢？ A O B M N Q C 角是轴对称图形，角的平分线是角的对称轴. 对称轴：角平分线 复习回顾 活动一：角平分线的性质定理 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. M 思考：(1)将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？ P1 P1M=P1N PD与PE完全重合. (2)换个点试试，作P1M⊥OA，P1N⊥OB，量一量P1M、P1N的长，你又发现了什么？ A O B C P D E N 探究新知 M P1 N 思考：(3)通过刚才的探究与测量，你有什么猜想？ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等． 活动一：角平分线的性质定理 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. A O B C P D E 如何验证这个猜想呢？ 探究新知 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE. 分析：要得到PD=PE. Rt△PDO≌Rt△PEO ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP=OP 活动一：角平分线的性质定理 A O B C P D E 请写出完整的证明过程. 探究新知 活动一：角平分线的性质定理 证明：∵OC平分∠AOB，P是OC上一点， ∴∠DOP =∠EOP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP =∠OEP=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP=OP， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (AAS). ∴PD=PE. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证：PD=PE. A O B C P D E 探究新知 总结 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 活动一：角平分线的性质定理 A O B C P D E 应用所具备的条件： ①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离. 探究新知 活动二：性质定理的逆定理 探索：这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条件 结论 性质定理 逆命题 思考：这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 探究新知 活动二：性质定理的逆定理 逆命题：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 分析：作射线OQ，然后证明∠AOQ和∠BOQ所在的Rt△QDO和Rt△QEO全等. A O B Q D E 探究新知 活动二：性质定理的逆定理 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. 证明：如图，过点O、Q作射线OQ. ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°. 在Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵OQ=OQ，QD=QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL). ∴∠DOQ=∠EOQ，∴点Q在∠AOB的平分线上. A O B Q D E 探究新知 总结 角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 活动二：性质定理的逆定理 作用：判断一个点是否在角平分线上. A O B Q D E 探究新知 探究：利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 思考：怎样证明这个结论呢？ 分析：只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了. 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 A B C F D E O 探究新知 A B C F D E O I G H AO是∠BAC的平分线 BO是∠ABC的平分线 OI＝OH OG＝OI OG＝OH 点O在∠BCA的平分线上 试试看，现在你会证明了吗？ 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 探究新知 证明：过点O作OI⊥AB，OH⊥AC， OG⊥BC，垂足分别为点I、H、G. ∵AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OI⊥AB，OH⊥AC， ∴OI=OH，同理OI=OG，∴OH=OG. ∴点O在∠BAC的平分线上. A B C F D E O I G H 结论：三角形三条角平分线交于一点． 活动三：性质定理与性质定理的逆定理的应用 探究新知 分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市应建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知，超市应建在线段AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可. 经典例题 某地区要在区域S内(即∠COD内部)建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？(要求：尺规作图，保留作图痕迹) 应用新知 经典例题 某地区要在区域S内(即∠COD内部)建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？(要求：尺规作图，保留作图痕迹) 解：①作∠COD的角平分线OP； ②连接AB，作线段AB的垂直平分线EF； ③直线OP与EF交于点M. 所以点M就是所要求作的建立超市的位置. 此类题只需作角平分线和线段垂直平分线，交点即为所求. 注意 E F M P 应用新知 如图，AB//CD，PB，PC分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直. 求证：PA=PD. 经典例题 分析：由AB//CD，AD⊥AB，可得AD⊥CD，则PA，PD的长分别是点P到AB，CD的距离.根据角平分线的性质定理可知，它们与点P到BC的距离相等.因此，可先作出点P到BC的垂线段. C D B A P 应用新知 C D B A E P 证明：如图，作PE⊥BC于点E， ∵AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA=180°， 由AD⊥AB(已知)，知∠BAD=90°， ∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90°，即AD⊥CD. ∵PB平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC， ∴PA=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等) 同理，PD=PE，所以PA=PE=PD. 如图，AB//CD，PB，PC分别平分∠ABC，∠DCB，AD过点P，且与AB垂直. 求证：PA=PD. 经典例题 应用新知 教材 练习 1.如图，在∠AOB的内部找出一点P，使得点P在直线l上，且点P到该角两边(即射线OA与OB)的距离相等. 作法： ①作∠AOB的角平分线与直线l交于点P； ②过点P分别作两边OA，OB的垂线. 所以点P就是所作的点. A B O l P 课堂练习 2.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上. A B C D E F 证明：过点F作FG⊥AE，FH⊥BC， FI⊥AD，垂足分别为点G、H、I. ∵点F在∠BCE的平分线上(已知)，FG⊥AE，FH⊥BC， ∴FG=FH(角平分线上的点到角两边的距离相等). 同理FI=FH，∴FG=FI(等量代换). ∴点F在∠DAE的平分线上 (角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上). 教材 练习 G H I 课堂练习 3.如图，∠ABD=∠CBD，DA⊥BA，DC⊥BC. 求证：∠DAC=∠DCA. 证明：∵DA⊥BA，DC⊥BC，∴∠BAD=∠BCD=90°. 在△BAD和△BCD中， ∵∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠CBD，BD=BD， ∴△BAD≌△BCD(AAS). ∴AD=CD(全等三角形的对应边相等). ∴∠DAC=∠DCA(等边对等角). 教材 练习 课堂练习 4.已知：如图，AB平分∠CAD，∠C=∠D=90°.求证：BC=BD. A B C D 证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB =∠DAB 在△ABC和△ABD中， ∴△ABC≌△ABD(AAS). ∴BC=BD. ∠C=∠D ∠CAB =∠DAB AB=AB 课堂练习 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线 BD平分∠ABC，则△BCD的面积为______. 7.5 6.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D. 若QC=QD，则∠AOQ的度数为 　35°.  35°　 应用新知 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=9，DE=2，AB=5.求AC的长. ∴AC=4. A E B C D F 课堂练习 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 角平分线 性质的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上 总结归纳 $