12.4.2 线段垂直平分线（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦“线段垂直平分线”，以弩箭发射情境导入，衔接全等三角形判定知识，通过动手画图测量、逻辑证明构建性质认知，结合尺规作图与逆命题探究，搭建“性质-判定-应用”的学习支架，关联最短路径、三角形外心等实际问题。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，导入环节以生活情境培养几何直观，证明过程强化推理能力，尺规作图与水泵站选址等实例发展模型意识与应用意识。典例变式结合，练习梯度分明，助力学生提升探究与解决问题能力，也为教师提供结构化教学方案，高效备课。

12.4.2 线段垂直平分线 第12章 全等三角形 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 能准确表述垂直平分线特征 能运用"垂直平分线上点距离相等"证明线段相等 会利用对称性解决最短路径问题 掌握垂直平分线的判定 能通过定义法（垂直+平分）、距离法（点到两端距离相等）判定垂直平分线。 实际应用能力 运用性质解决几何问题（如证明线段相等、确定三角形外心）； 结合尺规作图或坐标系实际绘制垂直平分线。 课堂导入 思考：弩箭发射的过程中，两段弓弦 AB，AC 有什么关系？若箭所在的直线为AD，则AD与BC有什么关系？ 同桌讨论一下，能得出什么样的结论？ 新知探究 同学们在草稿纸上分别画出线段AB、MN的垂直平分线，取点C、点E，分别连接AC、BC和ME、EN，测量一下AC与BC是否相等，ME与EN是否相等。 分别在垂直平分线取异于点C和点E的点试试，结论是否成立 新知探究 已知：如图所示，直线l⊥AB于点O，且OA＝OB。C是直线l上的任意 一点。求证：CA＝CB。 证明：∵CO⊥AB，∴∠COA=∠COB 在△ACO和△BCO中 ∴△ACO≌△BCO（SAS） ∴AC=BC 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 典例分析 例1 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE，若CE=5，AC=12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（　 　） D A．5 B. 10 C. 12 D. 13 变式训练 如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为22cm，则AE的长度为（ ） A．12cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm B 新知探究 尺规作图作线段垂直平分线 已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。 作法：如图所示。 1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长 为半径作弧，两段弧相交于点C，D。 2.作直线CD。 直线CD就是线段AB的垂直平分线。 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，AB=AC．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若，则∠CBD的度数为（ ） A．47° B. 45° C. 43° D. 41° C 变式训练 如图，在某河道的同侧有两个村庄A、B，现要在河道上建一个水泵站P．使两个村庄到水泵站的距离相等．请你使用尺规作图法作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹） 新知探究 原命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 题设： 。 结论： 。 逆命题： 。 一个点在线段垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上 对于逆命题，你能尝试自己证明一下吗？ 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 典例分析 例3 .如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF、MN交于点P．求证：点P在线段BC的垂直平分线上． 证明：如图所示，连接BP、AP、PC ∵PE垂直平分AB，PM ∴PA=PB，PA=PC ∴PB=PC ∴点P在线段BC的垂直平分线上 变式训练 已知：如图，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，BE、CD相交于点O．求证：点O在线段BC的垂直平分线上． 证明：在△ADC和△AEB中 ∴△ADC≌△AEB（SAS） ∴∠ACD=∠ABE ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠OBC=∠OCB，∴OB=OC ∴点O在线段BC的垂直平分线上 合作学习 同学们利用尺规作图分别作出三角形三边的垂直平分线，观察三条垂直平分线是否交于一点，这个点有什么性质？ 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三顶点的距离相等 课堂练习 1.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A、B、C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A、B、C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A、B、C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　 　） D A．三条高的交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条垂直平分线的交点 课堂练习 2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE，若CE=5，AC=12，且的周长为30，则BE的长是（　 　） D A．5 B. 10 C. 12 D. 13 课堂练习 3．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，且分别交BC于点D，E．若∠DAE=20°，则∠BAC的度数为（ ） A．90° B. 100° C. 105° D. 110° B 课堂练习 4. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，作直MN线交AB于点E，连接DE．若AB=7，AC=5，则△ADE的周长为________． 12 课堂练习 5. 如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE． (1)若∠BAE=40°，求∠C的度数； 解：∵AD⊥BC，BD=DE ∴AD垂直平分线BE，∠ADE=90° ∴AB=AE，∴∠DAE=∠BAE=20° ∵EF垂直平分AC ∴AE=CE，∵∠C+∠EAC+∠DAE+∠ADC=180° ∴2∠C+20°+90°=180°，∴∠C=35° 课堂练习 5. 如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE． (2)若△ABC周长为14cm，求DC长； 解：∵△ABC周长为14cm，AC=6cm ∴AB+BC=14-6=8cm 由（1）可知：AB=AE=CE 又∵BD=DE ∴AB+BC=AB+BD+DE+CE=2(DE+CE) =2DC=8 ∴DC=4cm 课堂小结 垂直平分线的性质 垂直性：垂直平分线与线段成90°角 平分性：将线段分成两个等长的部分 对称性：垂直平分线是线段的对称轴 距离特性：垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等 课堂小结 垂直平分线的判定 定义法：证明直线同时满足： 通过线段中点 与线段垂直 距离法：证明直线上所有点到线段两端距离相等 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $