1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时）导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量应用，核心内容为用向量语言判定空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行及垂直关系。课堂导入结合教室灯管与地面、墙角竖边与地面等现实情境，引导学生关联直线方向向量和平面法向量知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料通过知识梳理明确判定方法，例题与变式题（如长方体、正方体、四棱锥模型）强化逻辑推理，巩固加练分层设计。注重引导学生用数学思维分析空间关系，用数学语言表达判定过程，培养空间观念与应用意识，助力学生深化对空间向量工具性的理解。

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时　空间中直线、平面的平行与垂直 学习目标 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 以及垂直与平行关系。 问题观察教室里的灯管与地面的关系，墙角竖边和地面的关系，这些关系用直线的方向向量和平面的法向量如何表达呢？ 一、空间中平行的判定 知识梳理 （1）线线平行：若，分别为直线的方向向量，则使得 （2）线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. （3）面面平行：设分别是平面的法向量，则 【例1】如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS. 【变式1-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【例2】如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： （1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D． 【变式2-1】已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°, 2AB=2AD=CD,侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中点. 在PB上是否存在一点F,使AF∥平面BDE? 2、 空间中垂直的判定 知识梳理 （1）线线垂直：若，分别为直线的方向向量，则. （2）线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量， 则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，，若.则. （3）面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 【例3】如图，在正方体中，E，F分别是，的中点．求证：． 【变式3-1】斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,∠A1AB=60°,点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O. 在棱BB1(含端点)上是否存在一点D,使A1D⊥AC1 【例4】如图，已知立方体的棱长为，点是棱上一动点．当为中点时，为线段上一点，，求证：面 【变式4-1】如图所示在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：平面． 【例5】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD； 易错点提示（1）在做证明问题中向量法和几何法并不冲突。(2)在平面问题证明中，不是一定要求平面的法向量。 巩固加练 1.若平面的一个法向量分别为，，则（    ） A． B．与相交但不垂直 C．或与重合 D． 2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k＝（    ） A．4 B． C．5 D． 3.已知，，若，，且平面，则实数、、分别为（    ） A． B． C． D． 4.已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线平面 D．若，则直线平面 5.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点,,，向量是平面的法向量，则 6.已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________ 7.已知正四棱柱中，.求证： 8.如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 9.如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面为等边三角形，且垂直于底面，E是的中点，在棱上是否存在一点M，使得？若存在，请求出的值． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时　空间中直线、平面的平行与垂直 学习目标 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 以及垂直与平行关系。 问题观察教室里的灯管与地面的关系，墙角竖边和地面的关系，这些关系用直线的方向向量和平面的法向量如何表达呢？ 参考答案 灯管平行地面，灯管方向向量与地面法向量也垂直，二者互相垂直。墙角竖边垂直地面，竖边方向向量与地面法向量共线。 一、空间中平行的判定 知识梳理 （1）线线平行：若，分别为直线的方向向量，则使得 . （2）线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则 . 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. （3）面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 【例1】如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS. 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)．∵|AP|＝2|PA1|，∴.即＝ (0,0,2)＝(0,0，)． ∴P点坐标为(3,0，)．同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4，)． ∴.∴∥.又∵R∉PQ，∴PQ∥RS. 【变式1-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【解析】以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，，，，， ∴，， 设， 则即取. 易知， ∴， ∴，即PQ∥BD1. 【例2】如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： （1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1). 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于＝(0，1，－1)， 则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0， 所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D. （2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量， 由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)， 则， 即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量， 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 【变式2-1】已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°, 2AB=2AD=CD,侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中点. 在PB上是否存在一点F,使AF∥平面BDE? 【答案】存在，详解见解析 【解析】 依题意,取AD的中点O,连接PO,因为△PAD为等边三角形,所以PO⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,以AD的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=AD=2,则B(1,2,0),C(-1,4,0),D(-1,0,0),P(0,0,),E(-,2,). 所以=(-,0,),=(,2,)， 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 所以 令y=-1,则x=1,z=, 所以平面BDE的一个法向量为n=(1,-1,). 取PB的中点F,则F(,1,).又A(1,0,0),所以=(-,1,). 因为n=(-,1,)·(1,-1,)=0,所以n. 又AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE. 故存在PB的中点F,使AF∥平面BDE 2、 空间中垂直的判定 知识梳理 （1）线线垂直：若，分别为直线的方向向量，则. （2）线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量， 则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，，若.则. （3）面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 【例3】如图，在正方体中，E，F分别是，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，所以． 又，，所以． 所以． 所以，即． 【变式3-1】斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,∠A1AB=60°,点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O. 在棱BB1(含端点)上是否存在一点D,使A1D⊥AC1 【答案】存在，详解见解析 【解析】连接OC,因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB, 由题意知A1O⊥平面ABC,又AA1=2,∠A1AO=60°,所以A1O= 以点O为原点,OA,OC,OA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,),A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,,0),由=(-2,0,0),得B1(-2,0,),由=(-1,,0),得C1(-1,),设=t=t(-1,0,)=(-t,0,t),t∈[0,1],得D(-1-t,0,t),又=(-2,),=(-1-t,0,t-),若A1D⊥AC1,即=0,得-2(-1-t)+t-)=0,解得t=,又BB1=2,所以BD=,故存在点D,且BD= 【例4】如图，已知立方体的棱长为，点是棱上一动点．当为中点时，为线段上一点，，求证：面 【答案】证明见解析 【解析】证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的坐标系， ，，，，， ，，， 所以，即， ，即， 因为，平面，所以面 【变式4-1】如图所示在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析. 【解析】∵底面，， ∴，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， ∵， ∴为正三角形． ∴，． ∴，， ∴设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，∴． ∵，显然， ∴， ∴平面，即平面． 【例5】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD； 【答案】证明见解析 【解析】∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直， 如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系， 可得，，，，，, ∴，， 设是平面MND的一个法向量， 可得， 取y＝﹣1，得x＝﹣2，z＝1， ∴是平面MND的一个法向量， 同理可得是平面PCD的一个法向量， ∵，∴， 即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直， 可得平面MND⊥平面PCD. 易错点提示（1）在做证明问题中向量法和几何法并不冲突。(2)在平面问题证明中，不是一定要求平面的法向量。 巩固加练 1.若平面的一个法向量分别为，，则（    ） A． B．与相交但不垂直 C．或与重合 D． 【答案】C 【解析】由题意，向量平面的一个法向量分别为，， 可得，所以，所以或与重合. 故选：C 2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k＝（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，解得. 故选：D 3.已知，，若，，且平面，则实数、、分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵⊥，∴，解得．∴ ． ∵ 平面， ∴ ，，∴， 化为，解得，∴． 故选：B 4.已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线平面 D．若，则直线平面 【答案】A 【解析】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，,，，，，， 则，，， ，，, 当时，， 设平面的法向量为， 则取，则，， 则为平面的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面，所以直线平面，故A正确，B不正确． 当时， ， 设平面的一个法向量为， 则，取则，， 则为平面的一个法向量， 因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确； 当时 ， 因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确． 故选：A． 5.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B．若直线的方向向量，平面的法向量，则 C．若平面，的法向量分别为，，则 D．若平面经过三点,,，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【解析】对于A，， 则，所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是假命题； 对于C，，所以不成立，故C是假命题； 对于D，易得，， 因为向量是平面的法向量， 所以，即，得，故D是真命题． 故选：AD. 6.已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________ 【答案】 【解析】∵l⊥α，则∥，则，解得. 故答案为： 7.已知正四棱柱中，.求证： 【答案】证明见解析 【解析】易得两两垂直，以为原点， 为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， ，则 8.如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面， 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系. 则， 因为是的中点， 所以， 所以， 所以，且. 所以，，且. 所以⊥面. （2）假设在线段上存在点，使得//平面. 设， 则. 因为//平面，⊥平面， 所以.所以. 所以，在线段上存在点，使得//平面.其中. 9.如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面为等边三角形，且垂直于底面，E是的中点，在棱上是否存在一点M，使得？若存在，请求出的值． 【答案】在棱上不存在点M，使得.证明见解析. 【解析】连结PE. 侧面为等边三角形，则有. 侧面⊥底面，所以面ABCD. 底面是直角梯形，，所以. 设AD的中点为O，以O为原点，分别为x、y、z轴正方向 建立空间直角坐标系.则，，， ，，，. 所以，， 假设棱上存在一点M，使得. 设，则， 所以. 因为，所以，即，解得：， 故在棱上不存在点M，使得. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $