1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究直线与平面位置关系，系统梳理直线的向量表示、平面的向量表示、法向量定义及确定方法、向量法判定线面关系等核心知识点，从基础概念到判定应用层层递进，构建完整学习支架。 资料通过基础计算、综合证明及探索性问题等梯度题型设计，结合空间坐标系培养空间观念（数学眼光），逻辑推理训练提升推理能力（数学思维），向量表达式运用强化数学语言。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 【基础回顾】 知识点1：直线的向量表示 点A是直线1上的一个点，ā是直线1的方向向量，在直线1上取AB=ā，取定空间中的任意一点O,则 点P在直线1上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+tà或OP=OA+tAB,这就是空间直线的向量 表达式。 注意： 在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 知识点2：平面的向量表示 如图，设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为ā和b,P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理 可知，存在唯一的有序实数对x,y,使得OP=xa+yb 进一步地，如图，取定空间任意一点O,可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y川， 使OP=OA+xAB+yAC.我们把该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由 空间一点及两个不共线向量唯一确定 知识点3：平面的法向量定义 直线I⊥Q,取直线1的方向向量ā，我们称向量ā为平面Q的法向量.给定一个点A和一个向量ā，那么 过点A,且以向量à为法向量的平面完全确定，可以表示为集合P|a·AP=0 1 注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方 向向量，可求出该平面的一个法向量 知识点4：平面的法向量确定通常有两种方法 (1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量： (2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解， 一般步骤如下： ①设平面法向量为n=x,y,z: ②找出平面内的两个不共线向量a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3 ③根据法向量的定义建立方程组 na=0, nb=0; ④解方程组，取其中一个解，得到（因为有无数个，常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的 一个法向量，一般令X=±1，y=±1，z=±1)】 知识点5：向量法判定线面关系 设直线1，m的方向向量分别为a,b,平面c,B的法向量分别为，V,则有： 线线平行 l/maa/b=a=kbk∈R 线面平行 l//a-a⊥uaa:u=0 面面平行 a//B=u//V-u=kvk∈R 线线垂直 1Lm÷aLb台a:b=0 线面垂直 l⊥aaa//ia=kik∈R 面面垂直 ⊥B台u⊥v÷uv=0 题型一 求直线的方向向量 求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量该向量就是直线的 一个方向向量。 1.己知直线经过点A(2,3,2),B(-1,0,5),下列向量不是该直线的方向向量的为() A.a=(1,1,1)B.a=(-1,-1,1)c.a=(-3,-3,3D.a=(1,1,-1 2.如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF=2FA.设AB=a,AC=b,AD=c ,则直线BF的一个方向向量为() 2 B ----D E ca6+ 3.若P0,1,1,Q2,3,5在直线l上，则直线的一个方向向量的坐标为() A.1,1,2 B.1,2,1 C.1,2,2 D.2,2,2 4.在空间直角坐标系中，直线过点A1,0,-1且以=3,2,4为方向向量，Mx,y,z为直线上的任意一 点，则点M的坐标满足的关系式是() X-1=y=z+1 月 234 ®智- C. X-1=y=2+1 324 n2-￥ 5.阅读材料：空间直角坐标系O-yz中，过点Pxo,yo,zo且一个法向量为n=a,b,c的平面@的方程为 ax-xo+by-yo+cz-zo=0,阅读上面材料，解决下面问题：直线！是两平面x-y+2=0与 2x+z+1=0的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是() A.3,1,2 B.1,1,-2 C.2,1,3 D.2,1,-4 6.如图，在空间直角坐标系D-yz中，正四棱柱ABCD-ABCD的底面边长为4，高为2，O为上底面中 心，E,F,G分别为棱AD、AB、CD的中点若平面OEF与平面OBG的交线为1，则1的方向向量可以是 () D G B E.D B A.2,1,-1 B.2,-1,1 C.2,1,-2 D.2,-1,2 3 7.已知直线1的一个方向向量m=3,-2,1,且直线1经过Aa,2,-1和B-2,3,b两点，则a+b=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 8.(多选)已知1,2分别为直线l1,12的方向向量（山1,12不重合），1，分别为平面c,β的法向量(Q, β不重合)，则下列说法中，正确的是() A.可‖2-ll2 B.可1i,=l1Bc.i‖，a‖BD. 11元2-l‖β 9.(多选)下列结论错误的是() A.任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B.若ā是平面c的法向量，则λa入∈R也是平面a的法向量 C.设点Aa,00,B0,b,0,C0,0,cabc≠0，则平面ABC的一个法向量为m=日，，1 a'b'c D.若向量AB·CD<0,则AB与CD的夹角为钝角 10.(多选)给出下列命题，其中正确的命题是() A.若a·b<0,则a,b是钝角 B.若为直线1的方向向量，则入a入∈R也是直线1的方向向量 c.若空间向量a、i、c为非零向量，且a‖b,b‖c,则a‖c D.若AD=号AC+号A峦，则可知C亦=2DB 题型二求平面的法向量 1.△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=1,OB=4,OC=2.则平面ABC的一个法向量 是() B A.4,2,1 B.1,2,4 c.1,-2,4 D.-1,2,-4 4 2.在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，所有棱长都为2，且∠A1AB=∠A,AD=∠DAB=号，E为线段 AB的中点，设AB=à，AD=b,AA1=C,则平面B1D1E的一个法向量方为() Aa+6- D.avbga ca-6+星 D.a-B-Zc 3.点A1,0,1,B1,2,0,C0,1,1,平面ABC的一个法向量为() A.1,2,1 B.1,1,2 c.2,1,1 D.1,1,1 4.△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中OA=1,OB=4,OC=2.则平面ABC的一个法向量是 () ZA B A.4,2,1 B32c21 D.-1,2,-4 5.已知正方体ABCD-A1B,CD1中，以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA1为x轴，y轴和z轴，则平面 A1BD的法向量可以是() A.0,1,1 B.-1,1,1 C.1,1,1 D.0,1,0 6.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，P为其内一点，A1,1,2,B-2,1,0,平面PAB⊥平面OAB,则平 面PAB的一个法向量可以为：()· A.-5,24,21B.-6,10,9 C.-7,11,13 D.-8,13,12 7.在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一 点，若A1P平行于平面AEF,则线段A1P长度的最小值是() D C B D C E B 33 3V2 3V3 A. 4 B. 4 C.2 3V2 D. 2 8.(多选)已知A-2,3,1,B0,-1,4,C1,3,-5,下列说法正确的是() A.AB+AC=52 22V292 B.与BC平行的一个单位向量是 14’7’14 C.AB L3 AB-2BC D.平面ABC的一个法向量是8,7,4 9.(多选)在正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F,G,H分别是DD1,AB1,CD,BC的中点，则 () A.FG∥平面A1BD B.E,F,G,H四点共面 C.在线段BD上存在一点M,使得MC1⊥平面EFG D.在线段AB上存在一点N,使得B成在BD上的投影向量为BD 10.(多选)已知空间三点A0,1,0、B2,2,0、C-1,3,1,则下列结论正确的是（) A.AB在AC方向上的投影向量为0 B.与AB同向的单位向量是 55 c.AB和BC夹角的余弦值为 D.面ABC的一个法向量是1，-2,5) 题型三利用空间向量证明平行关系 证明线线平行 (2)证明线面平行(3)证明面面平行 1.如图，长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2 D B D 6 (1)求证：平面ACB/平面ACD: (2)线段BC上，是否存在点P,使得A1P/平面ACD1. 2.己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,点E、F分别是CD 、PA的中点，点G为线段PD上一点.确定点G的位置，使平面GEF/平面PBC,并证明. D B 3.如图，在四面体ABCD中，AD1平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22,M是AD的中点，P是BM的 中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.证明：PQ∥平面BCD. 4.如图，在正方体ABCD-A1B,C1D1中，其棱长为2： D A B D B (1)求三棱锥D1-ACB外接球的体积： (2)M,N分别是A1D1,A1B的中点，过BD的平面a/平面AMN,求平面Q截正方体所得截面的面积： ③)若C京=CD,G是线段BD,上的-点，若AG1/平面BDH,试判断点G在线段BD,上的位置，并说明 理由 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2. D B B 1)求证：平面A1C1B∥平面ACD.(使用向量方法) (2)线段BC上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1?若存在，求出点P的位置：若不存在，请说明理由 6.如图，在直三棱柱ABC-AB:C1中，ABLAC,四边形ABB1A1,ACC1A均为正方形，点E是线段 AF CC1的中点在线段A1B(不含端点)上是否存在点F,使得EF1/平面A1BC?若存在，求出B,F的值：若 不存在，请说明理由. A B 7.如图，已知正方体ABCD-A1B,C1D1,动点E和F分别在线段DB和线段D1C上（不包括端点），且 D1F=DE,求证：EF/平面BBC1C. D A B Di1------- C B 8. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面 体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点 有3个面角，每个面角是2，所以正方体在各顶点的曲率为2m-3×52,已知四枝锥P-ABCD在点A的曲率 为3且PB=PD,CB=CD,PA=AB=AD= 2BD=2. 3 8 B C 3π ()若点B的曲率为4，∠PBC=∠ABC,求四棱锥P-ABCD的表面积： (2)若点E在PD上，且PE:ED=2:1.试探究：在棱PC上是否存在点F,使BF/平面AEC?证明你的结论 9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H,P,Q分别是BC,AB,AC1的中点，B1H⊥平面ABC,且 B1H=23,AC⊥BC,CA=CB=4.求证：PQ/平面BCC1B1. 10.如图所示，ABCD为矩形，A⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求 证： M N B (1)MN//平面PAD: (2)平面QMN//平面PAD. 题型四利用空间向量证明垂直关系 (1)证明线线垂直(2)证明线面垂直(3)证明面面垂直 【例题精讲】 9 1.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2,∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60° D A B B 1)用AB,AD,AA表示AC1,并求AC的长： (2)求证：A1C⊥平面BDD1B1. 2.如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD=2,DD1=4,O为BD的中点，E在线段CC1上， CC,=4CE,M为AA1的中点. D A M (1)证明：MC1/1OE: (2)证明：MO⊥平面DEB 3.如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PC,DP=6,BP=6V3,底面ABCD是边长为6的正方形 D (1)证明：PD⊥平面ABCD: (2)若E是AP的中点，G是PC的中点，点F满足P=2F范，平面EFG与棱PD交于点H,求PH的长度！ 4.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC=5,PB=PD=25,AC=6,点F为PD的中 点，点E为PB上的点，PE=λPB,入∈(O,1,平面AFE与棱PC交于点G.求证：异面直线EF与AC垂直. 10 G E B 5.如图，在空间直角坐标系O-xyZ中，正四棱锥P-4BCD的侧棱长与底边长都为3V2,点M,N分别在PA, PM_BN_1 BD上，且 PABD3·试用向量法证明。 ZA M ○ B (1)求证：MN⊥AD: (2)取PC的中点E,求证：OE平面PAD 6.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC =2CD,侧面PBC⊥底面ABCD D A (1)证明：PA⊥BD: (2)证明：平面PAD⊥平面PAB M X 11 不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=3 所以A1,-2,0,B1,0,0,D-1,-1,01,P0,0,3. 所以BD=-2,-1,0,A=1,-2,-3. 因为BD·PA=-2×1+-1×-2+0×-3=0, 所以A⊥BD,所以PA⊥BD 7.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD,点E是线段BC的中点， AB=2,PA=BC=4,∠ABC=60°.求证：平面PAE⊥平面PED 8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AB=1,PA=AC=2,D是棱AC上一点，且 AC=3AD,M为棱PC的中点.证明：PC⊥平面ABM; M B 9.在正方体ABCD-AB,C1D1中，E,F,M分别是BB1,D1B1,AA1的中点，求证： 1)A1D⊥BD. (2)EF⊥平面B1AC (3)平面MBD⊥平面BC1D 10.已知正三棱柱ABC-A1B,C1的底面边长为2，D为AA1中点. 12 A B D (1)若AA1=2,证明：BC1⊥平面BDC: (2)若A,C与CD交于点M,BD与AB交于点N,直线MN与平面ABC夹角的余弦值为：求三棱柱 ABC-A1B,C1的体积. 题型五平行垂直关系中的探索性问题 （1)设点坐标求位置关系(2)设向量比例求位置关系 直线（线段）AB上的点P,可设为P=入AB,表示出点P的坐标，或直接利用向量运算。 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,ABICD,且CD=2,PA=AB=BC=1,AB1BC. A (1)求证：AD1PC: (2)求平面PCD与平面PAB的夹角： (3)在线段PB上是否存在一点M,使得直线PC与平面ADM垂直，如果垂直，求此时点M到平面PCD的距 离，如果不垂直，说明理由 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为矩形，PD⊥底面ABCD,DA=DP=4,AB=2,E为线段AD的 中点 13 - B (1)求平面PBE与平面ABE夹角的正弦值： (2)线段PB上是否存在一点M,使得CM⊥BE？若存在，请求出PM;若不存在，请说明理由. 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=3,AB=AP,CD=2, ∠CDA=45. B D (1)证明：平面PAB⊥平面PAD: (2)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长； (3)是否存在线段AD上一点E,使得E到点P,B,C,D的距离都相等？说明理由 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC,PB⊥AD,AD=2BC=6, AB=PA=PB=4,CD=5,点E、F分别为棱PD、AD的中点， E D B (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD: (2)请作出四棱锥P-ABCD过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点M,使其到点C的距离为3？若存在，求点M在运动过程中所围成的 图形的面积；若不存在，请说明理由 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PDC⊥平面ABCD,PD⊥DC,E,F分别为 AB,PD的中点. 14 D E B (1)求证：EF∥平面PBC: (2)若AD=2V3,PD=4,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知： (i)求二面角E-FC-P的大小： (ⅱ)线段PB上是否存在一点M,使得DM⊥平面EFC？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明理由， 条件①：DE⊥PC: 条件②：PB=PC. 6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2,AA1=3,M是AB的中点，N是 BC1的中点。 B M B 1)求MN与CC1所成角的余弦值： AQ (2)记P是BC1与B,C的交点，在线段A,N上是否存在点Q,使得PQ1/平面A,CM?若存在，求出A,N的 值：若不存在，请说明理由 7.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,D为PB的中点，E为AD上靠近D点的三等分 点，PA=AB=3,BC=2. D E 15 (1)求证：AD⊥平面PBC: (2)求PE与平面ACD所成角的正弦值： (3)在线段PC上是否存在点F,使得EF‖平面ABC,若存在，请说明点F的位置，若不存在，请说明理由. 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB‖ CD,AB⊥AD,AB=V2,CD=22,PD=AD=2,E,F分别为PA,PC的中点. E (1)证明：BF‖平面PAD: (2)在线段EF上是否存在点G,使得DG⊥平面PBC,若存在，求EG的长；若不存在，请说明理由. 9.如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，AB/ICD,AD⊥CD, DE L AD,AB=AD=DE=1,CD=2. (1)求三棱锥E-BCD的外接球球心的位置. (2)线段CD上是否存在一点M,使得二面角A-BE-M为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在， 请说明理由 10,如图，在四棱维P-ABCD中，ABCD,AB⊥BC,AB=BC=CD,G是CD的中点 E G D (1)已知E,F分别为PB,PG的中点，求证：EF1/平面PAD: (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,则： 16 (i)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值： )在线段PD上是否存在一点M,使得GM上平面PBC?若存在，求P的值；若不存在，说明理由 17 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【基础回顾】 知识点 1: 直线的向量表示 点 是直线 上的一个点, 是直线 的方向向量,在直线 上取 , 取定空间中的任意一点 ,则点 在直线 上的充要条件是存在实数 , 使 或 ,这就是空间直线的向量表达式。 注意： 在直线上取有向线段表示的向量, 或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 知识点 2: 平面的向量表示 如图,设两条直线相交于点 ,它们的方向向量分别为 和 为平面 内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 , 使得 . 进一步地,如图,取定空间任意一点 ,可以得到,空间一点 位于平面 内的充要条件是存在实数 ,使 . 我们把该式称为空间平面 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 知识点 3: 平面的法向量定义 直线 ,取直线 的方向向量 ,我们称向量 为平面 的法向量. 给定一个点 和一个向量 ,那么过点 ,且以向量 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 注意: 一个平面的法向量不是唯一的, 在应用时, 可适当取平面的一个法向量. 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 知识点 4: 平面的法向量确定通常有两种方法 （1）几何体中有具体的直线与平面垂直， 只需证明线面垂直， 取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解， 一般步骤如下： ①设平面法向量为 ； ②找出平面内的两个不共线向量 ③ 根据法向量的定义建立方程组 ; ④解方程组，取其中一个解，得到 （因为 有无数个，常在方程组的解中取一个比较简单的解作为平面的一个法向量，一般令 , 知识点 5: 向量法判定线面关系 设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则有： 线线平行 l// 线面平行 l// 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 题型一 求直线的方向向量 求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量该向量就是直线的一个方向向量。 1．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 2．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 3．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 4．在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得. 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. 5．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 6．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 7．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 8．（多选）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 9．（多选）下列结论错误的是（    ） A．任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B．若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．设点，则平面的一个法向量为 D．若向量，则与的夹角为钝角 【答案】ABD 【分析】对A和B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对C，利用法向量的求法，求出平面的一个法向量，即可求解；对D，结合选项条件，取，即可求解. 【详解】对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误， 对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误， 对于C，因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为，故选项C结论正确， 对于D，若，则有， 但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误， 故选：ABD. 10．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若，则可知 【答案】CD 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据向量平行的判定定理分析判断；对于D：根据向量的线性运算分析判断. 【详解】A：若，则，夹角可能为，故A错误； B：当时，，不是直线l的方向向量，所以B错误； C：若空间向量，，为非零向量，且， 则存在非零实数，，使得，， 所以，所以，故C正确； D：因为，即， 可得，即，所以D正确； 故选：CD 题型二 求平面的法向量 1．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 2．在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【详解】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 3．点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 4．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 5．已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    6．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解. 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 7．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由已知条件求出点坐标间的关系，进而求出线段长度的最小值. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，取，得， 设，，，则， 由平行于平面，得，整理得， 所以线段长度， 当且仅当时，线段长度取最小值． 故选：D 8．（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A． B．与平行的一个单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算、模、数量积的坐标表示求解判断ABC；根据法向量的求法求解判断D. 【详解】对于A，，，则， 所以，故A正确； 对于B，由于， 则与平行的单位向量是，故B正确； 对于C，因为， 所以， 则与不垂直，故C错误； 对于D，设平面的一个法向量是， 则，得， 令，得平面的一个法向量是，故D正确. 故选：ABD 9．（多选）在正方体中，，，，分别是，，，的中点，则（   ） A．平面 B．，，，四点共面 C．在线段上存在一点，使得平面 D．在线段上存在一点，使得在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，再利用线面平行的判定定理得到线面平行判断A，利用向量的共面定理可判断B，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直判断C，举特例判断D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，连接，    由题意得所求结论与正方体边长无关，不妨设正方体边长为， 则，，，，， ，，，，，， 对于A，由题意得，， 则，因为平面，平面， 所以平面，故A正确， 对于B，设， 则， 所以，解得， 故，即，，，四点共面，故B正确； 对于C，假设在线段上存在点，符合题意， 设（），则， 若平面，则，, 因为，， 所以，此方程组无解， 所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，由投影向量公式得在上的投影向量为， 若在上的投影向量为，则， 令，可得，， 由模长公式得， 由空间向量数量积的运算法则可得， 满足，故D正确. 故选：ABD 10．（多选）已知空间三点、、，则下列结论正确的是（   ） A．在方向上的投影向量为 B．与同向的单位向量是 C．和夹角的余弦值为 D．面的一个法向量是 【答案】ABD 【分析】利用投影向量的定义可判断A；求出与同向的单位向量可判断B；求出和夹角的余弦值可判断C；求出平面的一个法向量可判断D. 【详解】对于A选项，，，则，所以， 所以在方向上的投影向量为，A对； 对于B选项，，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，，，则， 所以和夹角的余弦值是，C错； 对于D选项，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得，， 所以平面的一个法向量是，D对. 故选：ABD. 题型三 利用空间向量证明平行关系 证明线线平行 （2）证明线面平行 （3）证明面面平行 1．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直于平面的法向量时 平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为 ，所以平面 平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时， 平面. 2．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 3．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】以为原点建系，设，计算的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. 【详解】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. 4．如图，在正方体中，其棱长为2；    (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 【答案】(1) (2) (3)点是线段上靠近B的三等分点 【分析】（1）将锥体的外接球问题转化为正方体的外接球问题，求出球的半径，代入球的体积公式即可求解； （2）先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积即可； （3）建立空间直角坐标系，设得，求出平面的法向量，进而利用求出，即可判断点的位置. 【详解】（1）因为三棱锥的顶点也是正方体的顶点，所以正方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，由题意，正方体的棱长为2，则，所以三棱锥外接球的体积为. （2）根据题意，取的中点E，的中点F，连接，    则，所以，且， 故在同一平面内， 连接，因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中， ， 即平面截该正方体所得截面为等腰梯形，又， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即平面截正方体所得截面的面积为. （3）如图，建立空间直角坐标系，    则， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设，则，所以， 所以， 若平面，则， 化简得，解得，所以， 所以点是线段上靠近B的三等分点时，满足平面. 5．如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 6．如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【答案】存在，1，理由见解析. 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，看是否有解，若有解求出点坐标. 【详解】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， ，，，， ，. 假设在线段上存在点（），使得平面， 则. 设平面的法向量为，则令，得，， 是平面的一个法向量. ，解得，，为线段的中点. 综上可知，在线段上存在点，满足，使得平面. 7．如图，已知正方体，动点和分别在线段和线段上（不包括端点），且，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】法一：设，，应用向量加法的几何意义用表示出，结合向量共面的推论即可证；法二：构建合适的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，，标注相关点坐标，应用向量法计算证明线面关系. 【详解】法一（向量法）：设，则，， 因为， ①②得 ， 所以，则，，共面， 又平面，，平面，即平面； 法二（坐标法）：以为原点，，，分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，， ，则，， ， 平面的法向量可以是， 因为，平面，所以平面． 8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且. (1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积； (2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使 平面？证明你的结论. 【答案】(1) (2)存在，证明见解析. 【分析】(1)利用曲率可求出相应的角，从而可计算各表面面积； (2)利用中位线来证明线线平行，再证明线面平行和面面平行，最后问题得证. 【详解】（1） 由，利用余弦定理可得：， 由可得：，利用内角和定理可得， 此时， 又因为，所以， 即， 根据四棱锥在点的曲率为， 可得，利用内角和定理可得， 此时， 再由点的曲率为， 可得， 因为，所以，又因为所以三角形是等边三角形， 此时，由于， 所以，利用， 可知， 所以四棱锥的表面积为； （2） 取分别为的中点，，连接， 利用中位线可知， 又由，可得，即， 又可证得，即，又因为为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，同理由，可证明平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 此时为的中点. 9．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 10．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 题型四 利用空间向量证明垂直关系 （1） 证明线线垂直 （2）证明线面垂直 （3）证明面面垂直 【例题精讲】 1．如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法可得，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可. （2）结合向量的数量积得到，，可得，，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2），，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 2．如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明： ； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出 ，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以 . （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得： ， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 3．如图，四棱锥中，，底面是边长为6的正方形. (1)证明：平面； (2)若是的中点，是的中点，点满足，平面与棱交于点，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，设与交于点，证得和，进而证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，根据点在平面内，得到，列出方程，求得的值，进而得到的值. 【详解】（1）证明：因为底面为边长为的正方形，可得， 又因为，则满足，所以， 设与交于点，则点为的中点，因为，所以， 因为底面为正方形，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）由（1）知：平面，且， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 因为分别为的中点，可得， 又因为，即，且， 所以，可得， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为点在平面内，则，可得， 解得，所以. 4．在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点为的中点，点为上的点，，，平面与棱交于点．求证：异面直线与垂直． 【答案】证明见解析. 【分析】建立空间直角坐标系，求出，计算求出，从而证明结论. 【详解】已知四边形是菱形，则，设，则是的中点， ，， ，. ，且平面， 平面. 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系： ，. 则，. 可知. F为的中点，. 点E为上的点，，， . 则，. ， ，即. 因此异面直线与垂直． 5．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 6．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，， ，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 7．如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 8．如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 9．在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则 . ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 10．已知正三棱柱的底面边长为为中点． (1)若，证明：平面； (2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正方形和等腰三角形性质证明垂直于平面内两条相交直线，. （2）法一：通过几何平行关系，将所求线面角转化为棱与底面夹角，再在三角形中解出侧棱长，进一步求解体积；法二：通过建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦公式列方程求侧棱长，进一步求解体积. 【详解】（1）连接，，且，连接， 因为在正三棱柱中， 底面边长为2，， 所以侧面都是边长为2的正方形， 所以在正方形中，， 又因为，为中点， 所以为等腰三角形，是底边中线， 所以， 又因为，面，且， 所以面. （2）法一：几何法 连接，由可得：， 记与平面所成角为，由于平面， 是在平面上的投影，则， 根据线面角的定义，， 在中，由且，则， 由勾股定理得：， 所以. 法二．向量法 以为坐标原点，为轴，为轴，过作轴垂直，建立空间直角坐标系， 设，结合图形对称性可知：，， 则，由题可知平面的法向量， 记与平面所成角为， 则， 由题意可知， 即，解得：（取正）， 所以. 题型五 平行垂直关系中的探索性问题 （1）设点坐标求位置关系 （ 2）设向量比例求位置关系 直线 （线段） 上的点 ，可设为 ，表示出点 的坐标，或直接利用向量运算。 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，PA＝AB＝BC＝1，AB⊥BC． (1)求证：AD⊥PC； (2)求平面PCD与平面PAB的夹角； (3)在线段PB上是否存在一点M，使得直线PC与平面ADM垂直，如果垂直，求此时点M到平面PCD的距离，如果不垂直，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在， 【详解】（1）取为中点，则，，. 故四边形为矩形，则. 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. ，. 则，故，即. （2）由题意可知，平面的一个法向量. 因为，. 设平面的一个法向量为. 则 令，得. . 由题意可得，平面与平面所成二面角的平面角为锐角. 所以平面与平面所成角为. （3）存在，理由如下： 设，则. 所以. 由平面，可得，则. 所以，. 则到平面的距离. 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点． (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，2 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再由面面角的向量法公式求出面面角余弦值即可求解两平面的夹角； （2）先假设存在满足题意的点，，利用即可求解. 【详解】（1）由平面且四边形为矩形可得两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令得，则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以，， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． （2）假设存在满足题意的点， 因为在线段上，有，即， 所以，则， 因为，所以 ， 解得， 即存在满足题意的点． 3．如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成的角为，求线段的长； (3)是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再结合得到平面，最后根据面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，作交于点，设，根据已知条件写出的坐标，再运用线面角的向量求法列出方程，可得即的长； （3）先假设存在点满足条件，得到即为（2）中的，写出长度的表达式，根据根分布可得存在满足条件的点. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，以为轴正半轴方向，建立空间直角坐标系， 在平面内，作交于点，则， 在中，，， 设，则，由得， 所以， ，设平面的法向量为， 由，得，取， 得平面的一个法向量为，又， 由直线与平面所成的角为可得， 即，解得或（舍去，因为）， 所以. （3）假设在线段上存在一点到的距离都相等，由， 得，从而，即为（2）中的点， 有，而在中， ， 所以，其中， 设，则， 此时，在有两个不同的解， 即在线段上存在一点，使得到的距离都相等. 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中 ，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. (1)求证：平面平面ABCD； (2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)，截面周长为12 (3)存在， 【分析】（1）运用直角梯形垂直关系，再结合已知得到线面垂直，再证明面面垂直； （2）利用平面平行相交的性质作出截面，再通过直角三角形，平行四边形性质求得周长； （3）先计算出点C到平面的距离，如果距离大于3，则不存在；如果距离小于3，则存在；最后如果存在，那么点在运动过程中所围成的图形是：以点为球心半径为的球面被平面所截的面，计算出半径求得圆面积. 【详解】（1）证明： 又平面 平面 又平面 平面平面 （2） 连接交于点，连接，取中点，连接,， 四边形 为平行四边形 点为中点， ，四边形为平行四边形,则 ， 点G平面，故四边形即为所求截面， 平面 ,为直角三角形， ,故四边形为平行四边形， 所以，四边形周长为：; （3）假设平面内存在动点，使其到点的距离为3， 方法一（等体积法）： 设点到平面距离为h，那么 取中点，由可知为正三角形， 所以， 由可得 , 即， 由于， 所以，, , 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截得的截面，截面形状为圆， 半径,. 方法二（建坐标系）： 取中点，由可知为正三角形， 所以， 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 那么, 设平面法向量为，那么 取，则为平面一个法向量， 那么点到平面距离， 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截，截面形状为圆， 半径,. 5．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，E，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知： （i）求二面角的大小； （ⅱ）线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 【答案】(1)证明见解析 (2)任选一条件，（i）；（ii）不存在，理由见解析． 【分析】（1）利用四棱锥的性质，结合线面平行定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标并求出法向量，结合向量夹角余弦公式求出二面角的大小；假设存在点使得线面垂直，则对应向量与平面法向量平行，利用向量平行关系构造方程判断结论． 【详解】（1）证明：取中点G，连接、， F，G分别为，的中点， 且， 为的中点，底面为菱形， 且， 则且， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面； （2）选条件①：，连接， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面， 平面， ， ，，，平面， 平面，则， 以D为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， （i）设平面EFC的法向量为，由 ，， 得，令，则 ， 平面， 为平面的一个法向量， 可得，，， ， 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为； （ii）设且，则， ， 平面，，则，无解， 故不存在M，使得平面． 选条件②：，连接，， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面， 平面， ， ，则， ，则， E为中点， ，由菱形得， ， 以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， （i）设平面EFC的法向量为，由 ，， 得，令，则 ， 平面， 为平面的一个法向量， 可得，，， ， 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为； （ii）设且，则， ， 平面，，则，无解， 故不存在M，使得平面． 6．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求与所成角的余弦值： (2)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； （2）求平面的法向量为，设，由求出即可. 【详解】（1）由题意得：以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由，，所以， 所以， 所以； （2）由题意得四边形为矩形，所以点为的中点， 所以，所以， 设，所以， 所以， 设平面的法向量为， 由， 所以，令，得， 由平面，所以， 解得， 所以当时，平面. 7．如图，在三棱锥中，平面为的中点，为上靠近点的三等分点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得 平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点是线段上靠近点的三等分点 【分析】（1）先证明平面，得到，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，利用 平面列方程求解得即可求解. 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为为的中点，， 所以. 又因为，平面， 所以平面. （2）由题意，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ，所以 故. 设平面的法向量为， 则， 取.设与平面 设直线与平面所成角为， 则 所以与平面所成角的正弦值为. （3）假设在线段上存在点， 使得 平面.设， 则. 由（2）知，所以， 因为 平面，平面的法向量为， 故，解得. 所以当点是线段上靠近点的三等分点时， 平面. 8．如图，在四棱锥中，平面 分别为的中点.    (1)证明： 平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)详见解析； (2)存在， 【分析】（1）取PD的中点H，易证，得到是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，根据平面，由求解. 【详解】（1）如图：取PD的中点H，连接FH，AH， 因为，又， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以 平面 （2）建立如图所示空间直角坐标系：    则， 所以，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设，则， 若平面，则， 所以，解得， 所以， 则， 所以在线段上是否存在点，使得平面，的长为. 9．如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． (1)求三棱锥的外接球球心的位置． (2)线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的中点 (2)存在，M为上靠近点的四等分点 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定定理证明，取的中点，结合和可得到，，，的距离相等，即得三棱锥的外接球球心； （2）建系后设点，分别求平面和的法向量，由两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为，，，平面ABCD， ，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 由题可得，，则，，又， 在中，由余弦定理可得， 由，可得，因为，平面，， 所以平面，又平面，所以， 取的中点，由和是直角三角形， 知到，，，四点的距离相等， 所以三棱锥的外接球球心为的中点. （2）由题可得，，两两垂直，故以为坐标原点， 分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 假设存在点M满足题意，设，，则， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 设平面的法向量， 则，故可取. 因为二面角为直二面角，所以， 即，解得，所以M为上靠近点的四等分点. 故存在一点M，使得二面角为直二面角， 此时M为上靠近点的四等分点. 10．如图，在四棱锥中，，，，是的中点.    (1)已知，分别为，的中点，求证：平面； (2)若平面，，则： （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析 【分析】(1) 取的中点为，的中点，连接，，，证明四边形为平行四边形，得，由线面平行的判定定理进行证明； (2) （i）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可； （ii）假设在线段上存在一点，使得平面，设，，由向量与法向量共线进行求解， 【详解】（1）取的中点为，的中点，连接，，，    则为的中位线，为的中位线，得 且，且， 而，，得且， 得四边形为平行四边形， 则，由平面，平面， 得平面. （2）（i）由，，，可得， 连接，可得四边形是正方形，即可得，所以， 所以，即， 又平面，平面，得， ，平面，，得平面， 如图建立空间直角坐标系，    令，则， 即，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，所以， 由于面，所以平面的法向量可以取， 设平面与面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. （ii）假设在线段上存在一点，使得平面，设，，则， 得， 而平面的法向量为， 由平面，得向量与法向量为共线， 即得，故无解， 故不存在线段上的一点，使得平面. 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