27.3实际问题与反比例函数（第1课时）（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，核心是从实际情境中抽象反比例函数模型并解决问题。课堂导入通过回顾反比例函数的一般形式、图象及性质搭建旧知支架，自然过渡到实际应用，形成理论到实践的学习脉络。 其亮点是以港口卸货、智能机器人等生活实例和杠杆原理跨学科案例为载体，发展模型观念与应用意识。通过“审建定解验答”步骤培养推理能力，例题结合函数性质分析最值，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源。

27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十七章 反比例函数 1.能从实际问题中抽象出反比例函数模型，综合函数的概念和性质分析问题、解决问题，发展运算能力、推理能力、几何直观. 2.在解决实际问题的过程中，能够运用多领域知识，选择合适的方法解决问题，提高应用意识和模型观念. 2 新课引入 回顾 1.反比例函数的一般形式是什么？ 2. 当时，图象在二、四象限，在每个象限内随的增大而增大 一般形式 ,为常数， 图象形状 双曲线 性质 当时，图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小； 今天我们就一起运用反比例函数的知识，解决生活中常见的实际问题。 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度  (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间  (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 例1 分析：根据“平均装载速度×装载总时间 = 货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量； 再根据“平均卸载速度 = 货物总量 ÷ 卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9=6 300 (t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕.那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 例1 解：(2)把 t=6 代入，得 1 050 (t/h). 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6 h卸载完，那么平均每小时卸载1 050 t. 对于函数，当t >0时，t越小，v越大. 因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1 050 t货物. 典型例题 例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9＝6 300 (t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 典型例题 例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 又因为要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，所以 t≤6，所以 所以 v≥1050.因此起重机平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物. 小于或等于 大于或等于 解：(2) 因为 ，所以 . 你还有其他的方法吗？ 知识点1 利用反比例函数解实际问题 1. 甲、乙两地相距 ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则 汽车行驶时间单位：关于行驶速度单位： 的函 数解析式是( ) B A. B. C. D. 8 2. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已 融入人们的日常生活中.如图，是某酒店的智能送餐 机器人，其最快移动速度 是载重后总质量 的反比例函数.已知此款智能送餐机器人载重 1 前的质量时，它的最快移动速度 ，当 其载重后总质量时，它的最快移动速度是___ . 9 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并厘清常量与变量之间的关系. 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. 列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数. 写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. 解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题. 检：检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 答：写出实际问题的答案，保证解题的完整性. 实际问题 建立反比例函数模型求解 实际问题的解 自变量的取值范围一般有两个方面的限制： 一是解析式本身的限制， 二是实际问题的具体要求. 探索新知 古希腊科学家阿基米德（公元前 287一前 212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）. 给我一个支点，我可以撬动地球！ ——阿基米德 阻力 动力 支点 动力臂 阻力臂 新知巩固 工程中的反比例函数 仓库有一批货物，用传送带卸货，每小时可卸120吨，8小时可以全部卸完。 （1）求卸货速度（单位：吨/小时）与卸货时间（单位：小时）的函数解析式； （2）如果要在5小时内卸完所有货物，平均每小时至少要卸货多少吨？ 【分析】先计算货物总重量，根据“速度×时间 = 总重量”建立反比例函数；结合时间上限，利用反比例函数增减性求出速度的最小值。 解： （1）货物总重量为：（吨） 由，得函数解析式： 12 新知巩固 工程中的反比例函数 （2）如果要在5小时内卸完所有货物，平均每小时至少要卸货多少吨？ （2）由题意得，对于函数 时随的增大而减小 因此当取最大值5时，取得最小值 将代入，得： 答：平均每小时至少要卸货192吨。 A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． （1）写出v关于t的函数解析式. （2）若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A 地匀速行驶到B 地至少要多长时间？ 跟踪训练 解：（1）v关于t的函数解析式为v=. （2）把v=80代入v=，得80=， 解得t=5. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴若此人开车的速度不超过80 km/h，那么他从A地匀速行驶到B地至少要5 h. A、B两地相距400 km，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t h，行驶速度为v km/h，且全程限速，速度不超过100 km/h． （3）若此人上午7点开车从A 地出发，他能否在上午10点40分之前到达B 地？请说明理由． 跟踪训练 解：（3）把v=100代入v=，得100=， 解得t=4. ∵当t＞0时，v随t的增大而减小， ∴速度不超过100 km/h的条件下，此人从A地出发至少用4 h才能到达B地. 又∵从上午7点到上午10点40分，间隔3 h，3 h＜4 h， ∴他不能在上午10点40分之前到达B地． 典型例题 例 2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (1) 动力  (单位：N) 与动力臂  (单位：m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 解：(1) 根据“杠杆原理”，得 Fl＝1 200×0.5， 所以 F 关于 l 的函数解析式 . 当 l＝1.5 m 时， (N). 对于函数  ，当 l＝1.5 m 时，F＝400 N，此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力. 典型例题 例 2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (2) 若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 解：(2) 对于函数   ，当 l＞0 时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F＝200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F＝400 ＝200 代入  ，得 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长 3－1.5＝1.5(m). 新知探究 探究2 力学中的反比例函数 生活中我们常说“杠杆省力”，用撬棍撬石头时，动力臂越长越省力，这就是杠杆平衡原理：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂 (). 根据杠杆原理得： 例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m。 （1）动力 （单位：N）与动力臂 （单位：m）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 整理得 ()。 当 m 时， (N)。 当动力为 400 N 时，杠杆恰好平衡；要撬动石头，动力至少需要 400 N。 新知探究 （2）若想使动力不超过（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ （1）中用力的一半为，“不超过 ”即。 对于函数，当时，随的增大而减小。 因此要求，只需求出时对应的动力臂长度。 将代入，得，解得 动力臂需要加长： 。 结论：动力臂至少要加长 1.5 m。 古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂（如图）. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (1) 动力  (单位：N) 与动力臂  (单位：m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 例2 解： (1) 根据“杠杆原理”，得 1 200×0.5. 所以 F 关于 l 的函数解析式为 当 l=1.5 m 时，400 (N). 对于函数 ，当 l=1.5 m 时，F=400 N，此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力. 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (2) 若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 例2 解： (2) 对于函数 F，当 l >0 时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F=200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F200 代入 ，得 200 l3(m). 因此，若想用力不超过400 N的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5（m）. 探索新知 用反比例函数的知识解释： 在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 根据杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂，所以动力， 这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂＞0”. 根据反比例函数的性质：当 k＞0 且 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 探索新知 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 找定值：从题意中找出乘积为定值的两个量 (如货物总量、杠杆“阻力×阻力臂”、容积、余额). 代值计算：代入已知自变量或因变量，求对应值. 分析 y 随 x 的变化情况：利用反比例函数的性质解决“至少或最多”的最值问题. 列函数：设自变量和因变量，根据“定值＝自变量×因变量”，整理成 (k 为定值，k≠0) 的形式. 知识小结 思考 你能总结反比例函数在实际问题中的解题步骤吗？ 解题一般步骤： 1.审：审清题意，识别常量与变量，提取等量关系； 2.建：根据 “乘积为定值” 的等量关系，建立反比例函数解析式； 3.定：结合实际意义，确定自变量的取值范围； 4.解：代入求值或结合增减性，求解变量的值或范围； 5.验答：检验结果是否符合实际，规范作答。 注：涉及 至少最多类问题时，必须结合反比例函数的增减性判断变量的最值对应关系，避免范围写反。 巩固训练2 工程工作类 变式题 修路队修建一段乡村公路，原计划每天修 120 米，25 天可以完工。 （1）求每天修路长度 （单位：米 / 天）与完工所需天数 （单位：天）的函数解析式； （2）为了赶工期，需要提前 5 天完工，每天至少需要多修多少米？ 由 ，得函数解析式： （2）提前 5 天后，完工天数为 将 代入 ，得： 每天需多修：（米） 答：每天至少需要多修 30 米。 解： （1）公路总长度为： （米） 根据杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，所以动力，这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂 > 0”. 根据反比例函数 y 的性质：当 k>0 且 x>0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 思考 用反比例函数的知识解释： 在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 本节课学习了哪些知识点呢？ 转化 回归 明确数学问题 分析实际情境 建立函数模型 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同. 课堂总结 本节课你学到了什么？ 29 $