27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，通过拉面制作中体积与面条长度、横截面积关系导入，衔接反比例函数概念，再以港口卸货、杠杆原理等实例构建从具体情境到数学模型的学习支架。 其亮点是结合生活（拉面、卸货）和物理（杠杆、电阻）案例，培养学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维分析函数增减性解决“至少”问题，用数学语言表达模型。学生提升应用意识，教师可依托结构化案例高效教学。

27.3 实际问题与反比例函数 (第1课时) 人教版 数学 九年级 上册 你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？ （1）体积为20cm3的面团做成拉面，面条的总长度 y（单位：cm）与面条粗细（横截面积）s（单位：cm2）有怎样的函数关系？ （2）某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗1mm2，面条总长是多少？ 导入新知 （s>0） 1. 灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 2. 能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，解决实际问题. 学习目标 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围. 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位:h)之间有怎样的函数关系? 解：轮船上的货物总量为 700×9=6300(t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为. 探究新知 分析：根据“平均装货速度×装货总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物总量÷卸货总时间”，得到v 关于t 的函数解析式. 知识点1 反比例函数在实际生活中的应用 (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t.对于函数，当t>0时，t越小，v越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 解：把t=6代入，得 探究新知 【讨论】题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对应于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？ 方法点拨：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．第（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值． 探究新知 h 解：（1） （2）把S=50代入，得解得h=2.4cm. 对于函数，当h>0时，h越小，S越大. 因此，如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至少为2.4cm. 巩固练习 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3 (不计直玻璃管部分)的圆锥形漏斗. (1)漏斗口的面积S(单位:cm2)与漏斗的深h(单位:cm)有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至少为多少? 阻力 动力 阻力臂 动力臂 古希腊科学家阿基米德(公元前287-前212)发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为: 阻力×阻力臂 = 动力×动力臂 探究新知 支点 知识点2 反比例函数在物理学中的应用 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N 和0.5m. （1） 动力 F （单位：N）与动力臂l （单位：m）有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， 所以 F 关于l 的函数解析式为 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. 探究新知 当 l=1.5m 时， (N). （2） 若想使动力 F 不超过题 （1） 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 分析：对于函数，当l>0时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m). 探究新知 解：将 代入，得, 【讨论】1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？ 2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 探究新知 下表是小冀做物理实验时,记录下的电阻R(单位:Ω)与电流I(单位:A)的几组对应值. 巩固练习 R/Ω 1 2 3 4 I/A 12 6 4 3 (1)求I关于R的函数解析式; (2)若电流不超过10A,求电阻至少为多少Ω. 解：（1）∵IR=1×12=2×6=3×4=4×3=12， ∴I关于R的函数解析式为. （2）将I=10代入，得，解得R=1.2Ω. 对于函数，当R>0时，I随R的增大而减小. 因此，若电流不超过10A，则电阻至少为1.2Ω. （吉林中考）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 链接中考 频率f(MHz) 10 15 50 波长(m) 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式； (2)当f=75MHz时，求此电磁波的波长． 解：（1） f=30×10=20×15=50×6=300， ∴波长关于频率f的函数解析式为. （2）将f=75代入，得. ∴电磁波的波长为4m. A 课堂检测 基础巩固题 1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（　　） A． B．v+t=480 C． D． 2. 体积为 20 cm3 的圆柱体，圆柱体的高为 y (单位：cm） 与圆柱的底面积 S (单位：cm2） 的函数关系 ，若圆柱的底面积为 10 mm2，则圆柱的高是 cm. 200 课堂检测 课堂检测 反比例 3. 有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个/人）与x（个）之间的函数是________函数，其函数关系式是_______________ ．当人数增多时，每人分得的苹果就会减少，这正符合函数 （k＞0），当x＞0时，y随x的增大而_______的性质. 减少 1.如图所示，重为8N的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，且OB=20cm． （1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式； （2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少N的力？ 能力提升题 课堂检测 A B F O G 解：（1）F•h=8×20=160， ∴ . （2）当h=80cm时， ∴在A端需要施加2N的力. 课堂检测 A B F O G 2.刘东家离工作单位的距离为7200 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若刘东到单位用 30 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ 课堂检测 解： . 解：把 t =30代入函数的解析式，得 答：他骑车的平均速度是 240 米/分. . (3) 如果刘东骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位? 解：把 v =300 代入函数解析式得 解得t =24． 答：他至少需要 24 分钟到达单位． 课堂检测 课堂检测 拓广探索题 某商场分批购进电视机，预计全年购进的电视机台数为3600台，每批购进的电视机台数均为x（台），且每批均需付运费400元． (1)写出该商场全年购进电视机支付的总运费y（单位：元）关于每批购进的电视机台数x的函数解析式 (2)如果要求全年支付的总运费不超过5万元，那么每批至少需要购进多少台电视机？ 解：（1）由题意得. （2）将y=50000代入得， 解得x=28.8. 对于函数，当x>0时，y随x的增大而减少， ∵x，为正整数， ∴每批至少需要购进30台电视机. 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值 课堂小结 实际问题中的反比例函数 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 谢谢观看 $