精品解析：甘肃省天水市秦州区2025-2026学年七年级下学期7月期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期期末质量检测卷 七年级 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）     A. 轴对称，平移，旋转 B. 旋转，轴对称，平移 C. 轴对称，旋转，平移 D. 平移，旋转，轴对称 3. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ） A. 正六边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正六边形和正三角形 D. 正十边形和正三角形 8. 若关于的不等式组只有2个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在三角形外的点处，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，．给出下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，得________． 12. 如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是___． 13. 在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______． 14. 近日，多国元首接连访华，展现出我国在国际上的重要地位．检阅三军仪仗队是接待外宾的重要步骤．如图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化的示意图，，．若要使臂部与腿部平行（即），则应绕点B逆时针旋转______． 15. 如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 16. 若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是_______ 三、解答题（本大题共5小题，共46分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 解方程组，不等式组． （1）解方程组：； （2）解不等式组：并把解集表示在数轴上 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线的对称图形； （2）在网格中画出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在直线上画出点，使的值最小． 20. 尺规作图的历史背景可追溯至古希腊数学，其核心规则由伊诺皮迪斯在公元前5世纪首次明确提出，后经欧几里得在《几何原本》中系统化，成为古希腊几何学的金科玉律． 如图，在中，点为边上一点，连接． （1）请用尺规作图法作的垂直平分线，使得直线交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，则的度数为________°． 21. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为的角平分线时，若，，求的度数． （2）当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． 四、解答题（本大题共5小题，共50分） 22. 如图所示，在直角三角形中，，，，将沿方向向右平移得到，若，． （1）求向右平移的距离的长； （2）求四边形的周长． 23. 已知关于、的方程组． （1）求方程组的解（用含的代数式表示）； （2）若，，试化简． 24. 先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： （1）通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． （2）明明求的是几边形的内角和 25. 2026年4月23日是第31个“世界读书日”．某图书馆原计划购买20个书架，现有A，B两种型号可选 素材一：A型书架比B型书架的单价高 素材二：购买4个A型书架5个B型书架共用4900元 素材三：图书馆购买书架的预算是11000元，且A型书架的数量不大于8个 请回答下列问题： （1）A，B两种书架的单价各是多少元？ （2）在满足素材三的条件下，请问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？并求出最低费用． 26. 材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”． 解决问题： （1）观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ． Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末质量检测卷 七年级 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，理解定义“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元一次方程．”是解题的关键． 【详解】解：A.符合一元二次方程的定义，故符合题意； B.是代数式不是方程，故不符合题意； C.是分式方程，故不符合题意； D.未知数的最高次数是，故不符合题意； 故选：A． 2. 电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）     A. 轴对称，平移，旋转 B. 旋转，轴对称，平移 C. 轴对称，旋转，平移 D. 平移，旋转，轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 3. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 4. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：由，两边减得，故不成立，排除A； 由，两边加2得，而，因此，故不成立，排除B； 由，两边乘以（负数），不等式方向改变，得，故C正确； 当时，，不等式不成立，因此D不一定成立，排除D． 故选：C． 5. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．由全等的性质可知，，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设总人数为，根据车的总数不变建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：设共有人，总车数不变， ∵每3人共乘一车，最终剩余2辆车空，可得总车数为；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，可得总车数为， ∴由总车数相等，可得方程． 7. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ） A. 正六边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正六边形和正三角形 D. 正十边形和正三角形 【答案】C 【解析】 【分析】能够铺满地面的图形，即是能够凑成360°的图形组合． 【详解】解：A.正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满； B.正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满； C.正六边形的每个内角为120°，正三角形的每个内角为60°，一个正六边形和一个正三角形刚好能铺满地面； D.正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m+144n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满． 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和.掌握好平铺的条件，算出每个图形内角和即可． 8. 若关于的不等式组只有2个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先正确求解不等式组得到解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵原不等式组有整数解，即原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为， ∵原不等式组只有2个整数解， ∴原不等式组的整数解为0，1， ∴． 9. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在三角形外的点处，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形内角和求出，再根据折叠性质得到，结合三角形外角和内角关系建立角度等式，求出． 【详解】解：在中， ， ， 由折叠性质可知：，， ∴， ， ， ． 10. 如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，．给出下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角线的三线，根据中线的定义，判断①，根据角平分线的定义以及同角的余角相等，判断③，根据等角的余角相等，对顶角相等，判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵，分别是的高和角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；故④正确； 条件不足，无法得到；故②错误； 故选A． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，得________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是___． 【答案】55° 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：如图所示， ∵这是一张长方形纸片， ∴ABCD， ∴， ∵， ∴， 又∵折叠纸片， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质． 13. 在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设小长方形的长为、宽为，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 由题意得，， 解得：， ∴每个小长方形的面积为． 14. 近日，多国元首接连访华，展现出我国在国际上的重要地位．检阅三军仪仗队是接待外宾的重要步骤．如图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化的示意图，，．若要使臂部与腿部平行（即），则应绕点B逆时针旋转______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，同位角相等两直线平行，若要，则需等于，结合已知角度计算差值即可得出旋转角度． 【详解】解：设绕点逆时针旋转后的位置为， 若要，根据同位角相等，两直线平行， 则需， ∵， ∴， ∵ ∴旋转角． 15. 如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 16. 若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是_______ 【答案】 【解析】 【分析】对比两个二元一次方程组的结构，可得新方程组中对应原方程组的，对应原方程组的，利用原方程组的解得到关于，的方程组，再求解即可． 【详解】解：由题意可得 ， 解得， 因此关于，的二元一次方程组的解为． 三、解答题（本大题共5小题，共46分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得． 18. 解方程组，不等式组． （1）解方程组：； （2）解不等式组：并把解集表示在数轴上 【答案】（1） （2），表示不等式解集如图， 【解析】 【分析】（1）使用代入消元法，将一个方程变形后代入另一个方程，即可依次求出两个未知数的值； （2）先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：原方程组为， 由②变形得③， 将③代入①得， ， 解得， 将代入③得， ， 因此原方程组的解为． 【小问2详解】 解：原不等式组为 ， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此，不等式组的解集为， 数轴略 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出关于直线的对称图形； （2）在网格中画出绕点逆时针旋转后的图形； （3）在直线上画出点，使的值最小． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）分别作出关于直线对称的点，即可画出图形； （2）分别作出点绕点逆时针旋转得到的点，即可画出图形； （3）作出点关于直线对称的点，连接，与的交点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 尺规作图的历史背景可追溯至古希腊数学，其核心规则由伊诺皮迪斯在公元前5世纪首次明确提出，后经欧几里得在《几何原本》中系统化，成为古希腊几何学的金科玉律． 如图，在中，点为边上一点，连接． （1）请用尺规作图法作的垂直平分线，使得直线交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，则的度数为________°． 【答案】（1）见详解 （2）75 【解析】 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，正确掌握相关相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的垂直平分线，即可作答． （2）垂直平分线的性质，可得直角，则即可作答． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线，如图所示： 【小问2详解】 解：∵，． ∴． 故答案为：75 21. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为的角平分线时，若，，求的度数． （2）当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． 【答案】（1）15° （2）8 【解析】 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定的数量关系，继而可以求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 又∵为的角平分线， ∴． ∵为边上的高， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵为边上的中线， ∴． 又∵的周长比的周长少2，， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共5小题，共50分） 22. 如图所示，在直角三角形中，，，，将沿方向向右平移得到，若，． （1）求向右平移的距离的长； （2）求四边形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，进而根据，即可求解； （2）根据平移的性质可得，，进而根据四边形的周长公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿方向向右平移得到， ∴， ∵，． ∴ 【小问2详解】 ∵将沿方向向右平移得到， ∴， ∴四边形的周长为． 23. 已知关于、的方程组． （1）求方程组的解（用含的代数式表示）； （2）若，，试化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用加减消元法即可求解； （2）根据，，求得的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解： ，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 【小问2详解】 解：，， ∴， ∴， ， ． 24. 先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： （1）通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． （2）明明求的是几边形的内角和 【答案】（1） （2）八边形 【解析】 【分析】（1）设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，，根据题意，得，求解即可； （2）由（1）即可解答． 【小问1详解】 解：设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，， 根据题意，得， ∴， ∵x，n为正整数， ∴，， ∴这个多边形是八边形，这个“少加的锐角”的度数是． 【小问2详解】 解：由（1）可得，明明求的是八边形的内角和． 25. 2026年4月23日是第31个“世界读书日”．某图书馆原计划购买20个书架，现有A，B两种型号可选 素材一：A型书架比B型书架的单价高 素材二：购买4个A型书架5个B型书架共用4900元 素材三：图书馆购买书架的预算是11000元，且A型书架的数量不大于8个 请回答下列问题： （1）A，B两种书架的单价各是多少元？ （2）在满足素材三的条件下，请问有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1）A型书架的单价为600元，B型书架的单价为500元． （2）共有9种购买方案，购买0个A型书架、20个B型书架费用最低，最低费用为10000元． 【解析】 【分析】（1）根据素材给出的单价关系和总购买花费列方程组求解两种书架的单价； （2）设A型书架的购买数量，根据预算和A型书架的数量要求列出不等式，求出符合条件的整数解得到所有购买方案，再根据总费用的变化规律求出最低费用． 【小问1详解】 解：设A型书架的单价为元，B型书架的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：A型书架的单价为600元，B型书架的单价为500元； 【小问2详解】 解：设购买A型书架个，则购买B型书架个，为非负整数， 根据题意，得， 解得， ， ，且为整数， 因此，共有9种购买方案， A型书架单价600元高于B型书架单价500元， 在总数固定为20个时，A型书架买得越少总费用越低， 当时总费用最低，此时购买B型书架个， 最低费用为元． 答：共有9种购买方案，当购买0个A型书架、20个B型书架时费用最低，最低费用为10000元． 26. 材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”． 解决问题： （1）观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ． Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图 连接并延长至点 F， 根据外角的性质，可得 ， ， 又∵， ∴； （2）Ⅰ．50；Ⅱ． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义得运用． 根据题意连接并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案． Ⅰ．由（1）可知，因为，，所以； Ⅱ．由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：Ⅰ． 由（1）可得，； 又∵， ∴， 故答案为：50； Ⅱ．由（1），可得， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $