甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 平凉一中高一数学期末试卷涵盖复数、立体几何、概率统计等核心知识，以消防竞赛统计分析（解答题17）、直四棱柱截面计算（单选题8）等问题设计，融合空间观念与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数纯虚数、圆锥侧面积、面面关系|结合空间几何（如第5题面面平行判定）考查直观想象| |多选题|3/18|向量平行垂直、解三角形最值|第11题正方体动点轨迹问题，渗透逻辑推理| |填空题|3/15|长方体外接球、向量共线|第13题向量共线求参数，强化数学抽象| |解答题|5/77|立体几何证明（15题）、概率统计应用（17题）|17题以消防竞赛频率分布直方图为情境，体现数据意识与应用能力|

平凉一中2025-2026学年度第二学期期期末考试试题（卷） 高一数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B D B D AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据纯虚数的概念列出方程组，解之即得. 【详解】复数为纯虚数．所以，解得. 故选：B． 2．D 【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可求得答案. 【详解】因为圆锥的底面半径是1，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 3．C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 4. A 5．B 【分析】应用面面平行性质判断A，应用线面平行性质定理判断B，应用面面平行判断C，D. 【详解】若，则或异面，故A错误； 若，由线面平行性质定理可知，故B正确； 若，当时，可以相交，故C错误； 若，当时，可以相交，故D错误. 故选：B. 6．D 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用古典概型求概率方法判断C、D即可. 【详解】对于A，事件“该家庭个小孩中至少有个女孩” 和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件“该家庭3个孩子都是男孩” 和事件“该家庭个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故B错误； 对于C，有个小孩的家庭包含的样本点有个，分别为： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）， （男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）， 该家庭3个小孩中只有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中只有个男孩的概率为，故C错误； 对于D，该家庭个小孩中至少有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中至少有个男孩的概率为，故D正确． 故选：D． 7．B 【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B 8．D 【分析】先作出过点D₁，M，E的平面截四棱柱的截面多边形，然后分别求截面多边形的边长，即得截面多边形的周长. 【详解】连接并延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接，，， 所以过点，，的平面截直四棱柱的截面为五边形． 因为为的中点，， 由平行线分线段成比例可知：，， 故点为中点，故，又， 故，． 因为四棱柱为直棱柱， 故， ， ，， ，所以五边形的周长为． 9．AC 【详解】选项 A：若，则，而，所以，A正确. 选项 B：若，则，即且， 此时，不只是，B 错误. 选项 C：若，则， ，所以，C 正确. 选项 D：若，则， 此时，不只是，D 错误. 10．ACD 【分析】根据余弦定理将等式中的角转化为边化简即可求出边的值，根据正弦定理即可判断B选项，利用已知角列出面积公式，根据基本不等式求解面积的最大值，根据等面积法利用内切圆半径列出面积公式，根据半径表达式计算最大值． 【详解】由余弦定理可得，整理得，解得，故A正确； 由正弦定理可得，则（为三角形外接圆的半径）； ， 由余弦定理可知， 因为，当且仅当时，等号成立； 故，故，则面积的最大值为； 设为的内切圆半径，则， 则，因为，当且仅当时，时，等号成立； 则， 令，则，则， 当时，即，取最大值，的内切圆半径的最大值为． 11．ACD 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B选项，根据找到异面直线所成角为与所成的角，即可判断；C选项，找到的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，计算即可；D选项，利用中点得线线平行，即可找到的轨迹，计算即可． 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，在平面内运动时，又到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，由于，故与所成的角即为与所成的角， 当在端点时，为等边三角形，此时所成的角最小，最小为， 当在的中点时，所成的角最大，最大为，故与所成角的取值范围为，故B错误；    对于C，由于在正方体表面上，若直线与平面所成的角为60°，则，故以为圆心，以为半径作球，与棱相交于点，则的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，如图①，故的轨迹长度为，故C正确；    分别取、、、、的中点、、、、， 由正方体的性质可知、、、、，六点共面，且为正六边形，如图②， 由中位线定理，，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，平面， 所以平面平面， 在底面内运动，所以轨迹为线段， 取中点，连接，则平面， 故 故当最小时，最小，由于故，故当为时，的长最小，此时，故最小为，D正确．    故选：ACD． 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 12． 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 13． 【解析】先求出，再由A，B，D三点共线，必存在一个实数，使得 ，由此可得，即可求出结果. 【详解】因为，，， 所以 ， 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得. 所以， 又因为与不共线， 所以解得. 故答案为： . 【点睛】本题考查平面向量共线定理和平面向量基本定理的应用，本题属于基础题. 14． / 【分析】第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 15．(1)证明：连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）只需说明是异面直线与所成的角或其补角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角． 由题知，， 在中由余弦定理，得. 16．(1) (2)． 【分析】（1）由三角恒等变换得，根据三角函数的性质求解即可； （2）由，可得，由同角的平方关系可得，进而求得，由两角的正切公式可得，结合的范围，即可得答案. 【详解】（1） ， 因为，所以的最小值为， 故函数的最小值为． 又因为的最小值为， 所以 解得． （2）因为， 所以，从而． 又因为α为锐角， 所以， 故， ． 又α，β均为锐角，所以， 从而． 17．(1) (2) (3)． 【分析】（1）先根据矩形面积之和为计算，再利用频率分布直方图均值公式计算； （2）先根据比例得出两个区间内各抽取人数，再列出样本空间以及事件“这人成绩都在内”所包含的样本点，最后按照古典概型计算其概率即可； （3）先计算甲、乙在两轮比赛中答对题，题的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【详解】（1）由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． （2）因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. （3）设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用三角形面积公式即可求解； （3）又平分，可知，求出，代入后即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，． 又，所以．代入，，得． 即． 化简得，因此． （2）由，得． 所以． （3）因为平分，则， 即， 即得， 又为锐角，所以， 则. 19．(1)（i）；（ii） (2)2026 【分析】（1）（ⅰ）利用和差角的正余弦公式化简，再利用定义求出及模； （ii）设，利用向量垂直的坐标表示及给定定义，结合三角恒等变换求解. （2）设出的坐标并求出，利用二倍角公式及辅助角公式化简并求出函数最大值，再利用数量积的性质求出最大值. 【详解】（1）（ⅰ）依题意，， 所以的相伴向量，. （ⅱ）设，由，得，即，解得， 则，其中， 依题意，，即，由在处取到最大值，得， 即，因此， 而，所以. （2）设，则，， ， 因此的最大值为， 而， 则，又， 因此，即， 取，则， 且的最大值为2026，符合题意， 所以的最大值为2026. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2025-2026学年度第二学期期期末考试试题（卷） 高一数学 命题教师：高瑞宁 审题教师：刘小强 一、单选题（本题8小题，共40分，每小题5分） 1．已知复数为纯虚数，则实数（    ） A． B．4 C．0 D．4或 2．已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 3．已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.58 D．0.7 4.已知tanαtanβ=2，cos（α+β）=，则cos（α—β）=（） A. B. C. D. 5．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 6．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8，点M是棱AA₁的中点，E是棱AB上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题3小题，共18分，每小题6分） 9．已知向量，，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．若，则 10．中，角所对的边分别为，，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．面积的最大值为 D．的内切圆半径的最大值为 11．如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（    ）    A．当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值 B．当在直线上运动时，与所成角的取值范围为 C．使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为 D．若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 13．设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则k的值为________． 14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题12分）如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 16．（本题12分）设为实数，已知函数的最小值为． (1)求的值； (2)若，，，均为锐角，求． 17．（本题17分）某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 18．（本题17分）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)求的面积； 19．（本题19分）已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数.已知 分别为函数的相伴向量， (1)若， （i）求 （ii）若，且在处取到最大值，求的值. (2)若的最大值为2026，求 的最大值. 平凉一中2025-2026学年度第二学期期期末考试·高一数学 第1页，共2页 平凉一中2025-2026学年度第二学期期期末考试·高一数学 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $