1.4.2 用空间向量研究距离问题专项训练【5大考点】-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量为工具，系统覆盖5类距离问题，通过分层题型构建从基础到综合的求解逻辑，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到平面距离|8题|选择+解答，涉及正三棱柱、四棱锥等几何体|以法向量为核心，构建点面距离公式应用基础| |平行平面距离|6题|填空+解答，含正方体、直四棱柱模型|转化为点面距离，体现化归思想| |点到直线距离|9题|选择+填空+解答，含动点与最值问题|基于向量投影，拓展空间距离计算维度| |异面直线距离|8题|选择+填空+解答，结合长方体、正方体|引入公垂向量，深化异面关系量化表达| |存在性问题|9题|解答题，综合二面角、体积等考点|融合距离公式与参数方程，提升推理能力|

1.4.2 用空间向量研究距离问题 5大考点汇总 考点01 点到平面距离的向量求法 考点02 平行平面距离的向量求法 考点03 点到直线距离的向量求法 考点04 异面直线距离的向量求法 考点05 空间线段点的存在性问题 题型专练 考点01 点到平面距离的向量求法 1．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建龙岩·期末）如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 4．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 5．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 6．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 7．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 考点02 平行平面距离的向量求法 9．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 11．（25-26高二上·全国·课后作业）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 12．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 13．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 14．（25-26高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 考点03 点到直线距离的向量求法 15．（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 16．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 17．（2026·重庆·一模）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 18．（25-26高二下·河北衡水·开学考试）（多选）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 19．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 20．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 22．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 考点04 异面直线距离的向量求法 23．（25-26高二上·辽宁大连·期末）空间直角坐标系中过点的直线的一个方向向量为，则直线与轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·北京·期末）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 25．（25-26高二上·天津·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 30．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.    (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 考点05 空间线段点的存在性问题 31．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 32．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 33．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 34．（25-26高二上·广东河源·期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 35．（25-26高二上·江苏南通·期末）如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值. 36．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 37．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面ABCD； (2)若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 38．（25-26高二上·江西南昌·期末）某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离问题 5大考点汇总 考点01 点到平面距离的向量求法 考点02 平行平面距离的向量求法 考点03 点到直线距离的向量求法 考点04 异面直线距离的向量求法 考点05 空间线段点的存在性问题 题型专练 考点01 点到平面距离的向量求法 1．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高二下·福建龙岩·期末）如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． (1)求证：； (2)若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，   又因为M为的中点，所以．   又因为平面，平面，所以   又因为，，平面， 所以平面．   又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）连接，则由等边三角形的性可得，再由正三棱柱的性质得，然后由线面垂直的判定可得平面，最后由线面垂直的性质可证得结论； （2）如图建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 化简得，解得，， 因为，所以， 所以平面的一个法向量为，， 又，所以， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 3．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 4．（25-26高二下·广东湛江·期末）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形．    (1)若是的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接.    因为四边形为矩形，所以点为中点. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量即可求二面角的余弦值. （3）设，利用点到面的向量公式即可求的值，进而可求的长. 【详解】（1）略 （2）平面， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    则 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，所以. 所以. 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. （3）设 因为，所以. 点到平面的距离为，解得. 所以.则. 所以的长为 5．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，以及向量，得到，结合，得到点到平面的距离； （2）由（1）得是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）以D为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体  A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1  的棱长为4， 分别为，中点，且． 则， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，可得，所以， 则，所以，即向量和为共线向量， 所以也是平面的一个法向量，所以平面， 又由，所以点到平面的距离. （2）由（1）知：向量是平面的一个法向量， 且，， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 6．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）利用向量法求得平面的法向量，进而求得结果. 【详解】（1）如图，在平面内，过与垂直的直线为轴，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为． 则有，即 所以平面的一个法向量，且， 所以与平面所成角的正弦值为． （2）又，设平面的法向量为， 则  ，故可取． 因为，所以到平面的距离为． 7．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【答案】(1)由，得，则， 又，平面，则平面，平面，故， 由，为中点，得，而平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式确定点位置，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）略 （2）作，由（1）得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当时，；当时，， 当且仅当时取等号，此时最大， 平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】(1)取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． 考点02 平行平面距离的向量求法 9．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 【答案】 【分析】先证明平面平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面 的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案. 【详解】正方体中，,故四边形, 所以 ，同理 ， 所以平面 平面 ， 以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令 ，则 ， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 11．（25-26高二上·全国·课后作业）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【详解】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 12．（25-26高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 13．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 14．（25-26高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 考点03 点到直线距离的向量求法 15．（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意，所以点到直线的距离为： . 16．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 【答案】/ 【详解】因为点，，， 所以， 于是有， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 17．（2026·重庆·一模）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离为 C．直线与直线所成角的余弦值为 D．直线与直线是异面直线 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用向量法求出点到直线距离判断B；利用线线角的向量法求解判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 点， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，点到直线的距离为，B正确； 对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确； 对于D，，即，又直线， 因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误. 18．（25-26高二下·河北衡水·开学考试）（多选）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到其范围. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，则. 19．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)证明：，又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 【分析】（1）建立空间直角坐标系如下，使用空间中点到直线距离公式即可求得点到直线的距离； （2）由且A，E，F，四点不共线，所以，由线面平行的判定即可求证直线平面，再使用空间中点到平面距离公式即可求得到平面的距离. 【详解】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2）略 20．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线的距离计算即可. 【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 因为，分别是棱，的中点，所以，. 因为点是线段的中点，所以. 所以，， 所以点到直线的距离为 . 故选：D. 21．（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量公式即可求解． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，如图建系， 则， 设，则， 在方向上投影向量长度为， 故到直线的距离， 当时，， 故答案为：． 22．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D    考点04 异面直线距离的向量求法 23．（25-26高二上·辽宁大连·期末）空间直角坐标系中过点的直线的一个方向向量为，则直线与轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明直线与轴异面，设为上一动点，且，，由关系，求点，的坐标，由此可求结论. 【详解】设为轴上的动点，设点为， 设 若点在直线上，则， 又，所以，矛盾， 所以点不在直线上， 又直线的一个方向向量为，轴的一个方向向量为， 所以直线与轴不平行，所以直线与轴异面， 设为上一动点，且， 所以点的坐标为，所以， 当，时，取最小值， 所以当，时，取最小值， 所以，时，取最小值， 所以，时，取最小值， 此时，的最小值为， 所以直线与轴之间的距离为. 故选：B. 24．（25-26高二上·北京·期末）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析. 【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系： 则： ， ， 设 ， 则有： ， 又 ， 解得 ， ， ， ， 同理可得 ； 对于A， ， ， ，故A正确； 对于B， ， ， 即，又， 故是异面直线与的公垂线段，故B正确； 对于C，设 与 所成的角为 ，则 ， ，，故C错误； 对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，故D正确； 故选：C. 25．（25-26高二上·天津·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， .    故选：D. 26．（25-26高二上·四川眉山·阶段检测）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 27．（25-26高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与的公垂线的方向向量为， 则，取，则，， ，又， 异面直线与的距离是. 故选：A. 28．（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 29．（25-26高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 【答案】/ 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 30．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.    (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 【答案】(1)存在， (2) (3) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用，及即可求出点坐标； （2）由（1）知，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解； （3）取中点为，则点轨迹为线段，所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，利用向量法求出异面直线与的距离即可. 【详解】（1）    如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，， 设平面的法向量为， 则，可取， 设， 所以， 又，所以， 即，所以， 设存在点，使得平面， 则，解得，则， 则， 所以存在点，使得平面 （2）由（1）知， 所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. （3）    由（1）知点满足， 取中点为，则点轨迹为线段， 所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离， ，，，，， 设，， 则，可取， 又， 点到直线的距离的最小值. 考点05 空间线段点的存在性问题 31．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点位于线段的延长线上，且满足. 理由如下： 设，则， 设平面的法向量为，，由（1）知， 由，故可取. 因为平面，， 由，可得，解得，即. 因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角，进而可得二面角的大小； （2）先假设存在点，先求平面的法向量为，再由平面可得，从而可得，进而可得点的位置. 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 又因为平面，平面，平面， 所以， ． 故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图： 由题意可得，， ， ，． 因为，即， 所以， 即． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 因 ，． 由，故可取故可取 ． 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则． 所以，即二面角的大小为． （2）略 32．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在点， 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 33．（25-26高二上·河南南阳·期末）如图所示的几何体中，平面为正方形，四边形为等腰梯形，，． (1)求证：平面； (2)求与平面夹角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 由题知， 由余弦定理得， ∴，∴，∴， 又，平面，， ∴平面； (2) (3)存在； 【分析】（1）由余弦定理求得，由勾股定理证明，由线面垂直的判定定理可得证； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量即可求解；（3）设，求出平面的法向量，根据两个平面的法向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，过作的垂线，垂足为，则， ∵四边形为等腰梯形，∴. 由（1）知，平面， ∴，又，平面，， ∴平面，∴，∴两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 故与平面夹角的正弦值为； （3）存在. 假设存在，设， 则， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 由题知，解得. 综上，存在点符合，且． 34．（25-26高二上·广东河源·期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图，设，连接，由圆锥的性质可知⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为为底面圆的内接正三角形，由，可得， ，， 又，所以，即，⊥， 故， 在中，， 所以，故⊥， 因为⊥平面，平面，所以平面⊥平面， 又平面，平面平面，⊥，故⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； (2)存在，点为的中点 【分析】（1）作出辅助线，由线面垂直得到⊥，求出各边长，得到⊥，由面面垂直的性质得到⊥平面，又平面，所以平面⊥平面； （2）建立空间直角坐标系，设，求出两平面的法向量，由面面角的余弦值得到方程，求出，故线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【详解】（1）略 （2）易知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，可得， 设平面与平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 则， 令，则，，故， 设平面与平面夹角为， 则， 整理得，解得，则，， 故线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，且. 35．（25-26高二上·江苏南通·期末）如图，已知直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设点在直线上，直线与平面交于点，若点为的中点，求的值. 【答案】(1) 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，进而可得，结合已知可证结论； （2）取的中点，连接，可证两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得两平面夹角的余弦值； （3）设，利用向量的线性运算求得，利用，求解即可. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为三角形是等腰直角三角形，且，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以，又，， 所以四边形为矩形，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面与平面所成的夹角的余弦值为. （3）设，又，则， 由（2）可得，所以， 因为点为的中点，所以， 所以， 因为直线与平面交于点，所以， 解得，所以. 36．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，且. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，，是靠近的三等分点. 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求角即可； （2）假设存在，分别求出平面与平面的法向量，根据法向量的夹角列方程求解即可. 【详解】（1）由得，， 在正方形中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，，， 故，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . （2）存在. 假设存在，设， 又，则，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 由(1)知平面，则， 又，，，平面， 所以平面，故为平面的一个法向量，且， 所以， 解得或（舍去）， 所以在棱上存在一点，满足题意，此时是靠近的三等分点. 37．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面ABCD； (2)若点都在半径为的球的表面上， （i）求PD的长度； （ii）棱PB上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 连接BD，过点作于点， 则. 在Rt中，. 在Rt中，.      .     ，即，且平面平面BDP， 平面BDP.     ， 又，且AD与BC相交，平面平面ABCD. 平面 (2)（i）（ii）棱PB上存在满足题意的点，此时. 【分析】（1）连接BD，过点作于点，通过勾股定理得到，进而得到平面BDP，得到，再结合即可求证； （2）（i）以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴，在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，设，得到球心为.结合半径列出等式求解即可；（ii），求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）如图，以点为原点，DC，DP所在直线分别为轴，轴， 在平面ABCD上作过点且垂直于CD的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 为等腰梯形，且 的外接圆圆心为CD的中点，记为.     根据球心的性质可知，球心在过点且垂直于底面的垂线上.     设，则球心为. 由球的半径，得， 解得，故.     从而.     （ii）由（i）可知，.     设， 则.     设平面的一个法向量， 则 令，则. 故可取.     设平面的一个法向量， 则 令，则. 故可取.     ∵二面角的余弦值为， ， 即， 解得或（负值舍去）.     ∴棱上存在满足题意的点，此时 38．（25-26高二上·江西南昌·期末）某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点． 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面平面， 所以平面； (2) (3)不存在，理由如下： 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取, 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 解得，因为，故不满足题意， 所以不存在点使得平面与平面所成的二面角的正切值为 【分析】（1）找平面外直线与平面内一条直线平行来证明线面平行，利用中点得到中位线从而构造平行四边形． （2）根据二面角的平面角确定点的空间坐标，建立空间直角坐标系，用向量法求平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角的余弦绝对值即得线面角的正弦值． （3）假设存在点并设参数表示坐标，分别求出两个平面的法向量，用法向量夹角余弦的平方等于二面角平面角余弦的平方建立方程，解出参数不在范围内判断不存在． 【详解】（1）略 （2）因为在图1中，且，在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 又因为平面，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则，则有，取 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $