预习第08讲 用空间向量研究空间所成角 -2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019）

第08讲 用空间向量研究空间所成角 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 向量法求异面直线所成角 【题型二】 向量法求线面角 【题型三】 向量法求面面角 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握向量法求解异面直线所成角的方法； 2.掌握向量法求解线面角的方法； 3.掌握向量法求解面面角的方法. 【题型一】 向量法求异面直线所成角 相关知识点讲解 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 解释 ①向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ②与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 【典题1】（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2（湖南省天壹T8联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题）如图，在四面体中，与为等边三角形，且分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型二】 向量法求线面角 相关知识点讲解 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 解释 如下图，当时，；当时，； 在求直线和平面所成的角实际过程中，较难判断平面的法向量的方向，但不管如何均有. 【典题1】（24-25高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【典题2】（山东省齐鲁名校教研共同体2024-2025学年高三下学期考前质量检测数学试题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，，平面，点，在棱上，且. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 变式练习 1（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 2（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得 ，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·安徽·开学考试）如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）如图，在四棱锥中， ，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【题型三】 向量法求面面角 相关知识点讲解 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. (与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现) 【典题1】（22-23高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 【典题2】（2025·河南信阳·三模）如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为. (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)若，的中点为， （i）求正四棱锥的高h； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 变式练习 1 （23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 3（2025·海南·模拟预测）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 4（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. (1)证明：； (2)若M为中点，求二面角的正弦值； (3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·山东·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，已知在长方体中，，点E在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5（多选）（2025·山西·三模）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（   ） A． B．平面与侧面的交线长为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的余弦值为 6（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 7（2025·浙江·模拟预测）如图，棱长为2的正四面体中，为直线上的动点，满足. (1)若，证明：平面平面； (2)若直线与平面所成夹角为，求线段的长度. 8（2025·陕西西安·模拟预测）如图，三棱柱中，，，，，平面平面. (1)若，求三棱锥外接球的半径； (2)若平面与平面夹角的正弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【B组---提高题】 1（2023·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（    ）    A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 2（多选）（24-25高二上·山东临沂·期末）如图，该几何体是四分之一圆柱体（点，分别是上、下底面圆的圆心），四边形是正方形，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得直线∥平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 3（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)若平面与直线交于点，求的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 用空间向量研究空间所成角 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 向量法求异面直线所成角 【题型二】 向量法求线面角 【题型三】 向量法求面面角 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握向量法求解异面直线所成角的方法； 2.掌握向量法求解线面角的方法； 3.掌握向量法求解面面角的方法. 【题型一】 向量法求异面直线所成角 相关知识点讲解 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 解释 ①向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ②与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 【典题1】（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 变式练习 1（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以． 所以和夹角的余弦值为． 故选：C 2（湖南省天壹T8联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题）如图，在四面体中，与为等边三角形，且分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，证明直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦. 【详解】取中点，连接，由与为等边三角形， 得，则，而， 于是，，则， 直线两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， 于是， ，设所成的角为， ， 所以异面直线所成角的余弦值为. 故选：A 【题型二】 向量法求线面角 相关知识点讲解 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 解释 如下图，当时，；当时，； 在求直线和平面所成的角实际过程中，较难判断平面的法向量的方向，但不管如何均有. 【典题1】（24-25高二上·天津和平·期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可得，而平面的一个法向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 结合线面角范围为，可知直线与平面所成角的大小为， 故选：D 【典题2】（山东省齐鲁名校教研共同体2024-2025学年高三下学期考前质量检测数学试题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，，平面，点，在棱上，且. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件，借助直角三角形面积公式可得，再利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）由平面，平面，得. 而，平面，则平面. 而平面，于是. 由，且，得是斜边上的高，即. 又平面， 因此平面. 又平面，所以. （2）依题意，，，， ，，则是棱的中点， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 故， 设为平面的法向量，则，取，得， 记直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 变式练习 1（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案. 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为. 故选：B. 2（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得 ，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 3（24-25高二下·安徽·开学考试）如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 故选：B. 4（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）如图，在四棱锥中， ，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）作于E，由面面垂直的性质定理结合线面垂直的判定定理证明可得； （2）在平面内作交BC于F，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角公式可得. 【详解】（1）证明：作于E， ∵，∴CE与AD必相交， 又∵平面平面ABCD，平面平面 ∴平面， ∵平面，∴ 又 平面平面，与相交， ∴平面. （2）在平面内作交BC于F， 则AF，AD，AP两两垂直， 以A为原点，以AF，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 则， ∴， ∵平面， ∴为平面的一个法向量， ∴， ∴直线PB与平面PAD所成角的正弦值为. 【题型三】 向量法求面面角 相关知识点讲解 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. (与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现) 【典题1】（22-23高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案. 【详解】，因为向量夹角范围为， 故两向量夹角为，故两平面夹角为，即， 故选：B. 【典题2】（2025·河南信阳·三模）如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为. (1)设平面与平面的交线为，求证：； (2)若，的中点为， （i）求正四棱锥的高h； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）首先作辅助线，利用线面垂直的性质证明 ，然后利用线面平行的性质证明，从而可证明. （2）（i）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标求出来，然后根据线段之间的关系求出正四棱锥的高；（ii）利用坐标法将平面和平面的法向量求出来，进而利用向量的数量积可求出平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又因平面，所以， 因为平面，平面， 所以 平面， 又因平面与平面的交线为，平面， 所以， 因为，所以； （2）（i）连接交于点，连接， 则平面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设，则， 则， 由，得， 由，得，解得， （ii）由题意及（1），（2）（i）得 ， 因为，的中点为，所以平面与平面重合， ， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式练习 1 （23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面与的夹角的余弦值与法向量的关系求解即可. 【详解】设，，则， 所以平面与的夹角的余弦值为. 故选：D. 2（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 3（2025·海南·模拟预测）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接、，设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以，且， 因为四边形为菱形，所以，， 因为为的中点，所以，， 所以，，所以，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面. （2）连接、，设，则， 又因为平面，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，可得、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，可得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 4（2025·江西萍乡·三模）已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. (1)证明：； (2)若M为中点，求二面角的正弦值； (3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，再由线面垂直的性质和判断证明结论； （2）过点S作于点O，连接，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值，即可得； （3）根据已知易得M与O点重合，设，p，，根据已知线面角，应用向量法列方程求得，进而有，结合及模长的坐标运算求最值. 【详解】（1）由，得，二面角为直二面角，即平面平面， 而平面平面，平面，故平面. 因为平面，所以，又， ，平面，，故平面， 又平面，故. （2）过点S作于点O，连接，由，得. 又，故四边形为平行四边形， 因为，所以，即，故，，两两垂直， 以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量， 设平面的法向量的，则 令，则，，故为平面的一个法向量， 则，二面角的正弦值为. （3）若平面，平面，平面平面，则， 由（2）知，故M与O点重合，因为N在平面上， 设，p，，，则， 因为，，，则，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量， 故，整理得， 又，故， 由，故， 当且仅当时等号成立，取得最小值为. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·山东·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法可求得与所成的角的大小. 【详解】因为两条异面直线、的方向向量分别为，， ， 所以与所成的角的余弦值为， 所以，与所成的角为. 故选：C. 2（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据空间向量的数量积的定义计算即可. 【详解】直线与平面所成角的正弦值等于 . 故选：B 3（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图，已知在长方体中，，点E在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量和的坐标，再利用向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，由于异面直线所成角的范围是，所以取其绝对值即为异面直线所成角的余弦值． 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 已知，，则，． 所以，，． 因为点在棱上，且，，所以，，则． 所以，． 根据向量的夹角公式． 先计算． ． ． 则． 因为异面直线所成角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为． 直线与直线所成角的余弦值为． 故选：C． 4（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. 【详解】由于，，根据台体的性质可知, 由于平面，平面，所以， 由于，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 平面的一个法向量为， ，即， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. 故选：B 5（多选）（2025·山西·三模）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（   ） A． B．平面与侧面的交线长为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】对于A由即可判断，对于B由得面与侧面的交线为即可求解，对于CD建立空间直角坐标系利用向量法即可判断. 【详解】因为与不垂直，又，所以与不垂直，故A错误； 由， 所以四点共面，平面， 所以平面与侧面的交线为， 由正方体棱长为2，得，故B正确； 以为坐标原点，建立如图所示坐标系．则，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，由得 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，故C正确； 设与平面所成角为，则， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为，故D错误． 故选：BC. 6（24-25高二下·甘肃平凉·期中）如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 7（2025·浙江·模拟预测）如图，棱长为2的正四面体中，为直线上的动点，满足. (1)若，证明：平面平面； (2)若直线与平面所成夹角为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，利用正四面体性质得、，进而证得平面，根据面面垂直判定定理得证； （2）方法一：先证得即为直线与平面所成线成角的平面角，然后由及可得，从而.方法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求得设平面的法向量和，利用线面角的向量法求解计算即可得出结果. 【详解】（1）取中点中点，连， 由正四面体，可得， 因为， 所以，所以，所以. 由，可得，所以， 所以，所以. 又因为，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. （2）方法一： 由（1），，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面，作，垂足为，平面， 则平面， 所以即为直线与平面所成线面角的平面角，即， 因为，所以平面， 所以，所以， 所以. 方法二： 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的法向量为， 则，设，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成夹角为， 所以，解得， 当时，，， 当时，，， 所以. 8（2025·陕西西安·模拟预测）如图，三棱柱中，，，，，平面平面. (1)若，求三棱锥外接球的半径； (2)若平面与平面夹角的正弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理，求得，得到，再由面面垂直的性质定理，证得平面，证得，得到两两垂直，得到三棱锥的外接球等价于补成的一个长方体的外接球，结合长方体的性质即可求解； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面和平面的法向量，根据平面与平面夹角的正弦值为，求得，设直线与平面所成角为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理得，即， 即，解得，则，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，所以两两垂直，且， 则三棱锥的外接球等价于三棱锥补成的一个长方体的外接球， 设三棱锥的外接球的半径为，可得， 所以， （2）解：由（1）知两两垂直， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面与平面所成的角为， 因为平面与平面夹角的正弦值为，即，则， 则，解得，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【B组---提高题】 1（2023·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（    ）    A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 【答案】D 【分析】由底面正方形的面积不变，点到平面的距离不变，可判定A正确； 以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，结合向量的夹角公式，可判定B正确； 由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定C正确； 设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定D错误. 【详解】对于A中：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以四棱锥的体积不变，所以A选项正确； 对于B中：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得， 设，则， 设直线与所成角为，则， 因为，当时，可得，所以； 当时，，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；    对于C中：因为直线与平面所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以，又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；    对于D中，由， 设， 则 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，所以D错误. 故选：D.    2（多选）（24-25高二上·山东临沂·期末）如图，该几何体是四分之一圆柱体（点，分别是上、下底面圆的圆心），四边形是正方形，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得直线∥平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】建系标点，对于A：利用空间向量说明线线垂直；对于B：利用空间向量说明线面平行；对于C：利用空间向量说明线面垂直；对于D：利用空间向量求线面夹角. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设， 对于选项A：因为， 令， 可得，显然该方程无解， 所以不存在点，使得，故A错误； 对于选项B：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若直线平面， 则，可得， 且，则，即， 所以存在点，使得直线∥平面，故B正确； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若平面平面， 则， 显然时，上式成立， 所以存在点，使得平面平面，故C正确； 对于选项D：设直线与平面的所成角为， 若，则， 可得：， 整理可得， 构建， 因为在内连续不断，且， 可知在内有零点，即在内有根， 所以存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于方程根的问题，应构建函数，结合零点存在性定理分析判断，不能强解. 3（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． (1)若平面与直线交于点，求的值； (2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用共面向量基本定理及向量的坐标运算求得，即可得解. （2）求出平面和平面的法向量，利用向量法根据平面夹角的余弦值列式求得，最后利用向量法求解点面距离即可. 【详解】（1）在平面内作， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又，分别为，的中点， ，，设， ， ，，共面，存在实数，，使得， 即， 所以，解得，所以； （2）设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 又，， 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 设平面和平面所成的角为， ， 整理得，，， ，， 故点到平面的距离为． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$