1.1.2 空间向量的数量积运算专项训练-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量数量积运算，以6大考点为框架，通过概念辨析到几何应用的递进式训练，培养数学抽象与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题|多选为主，考查数量积性质与运算律|从定义出发构建概念认知，区分向量与数量运算差异| |数量积计算|6题|结合正四面体、正方体等几何体|通过基底法转化空间向量，建立几何与代数联系| |投影问题|6题|含动态最值与几何情境|从数量投影到向量投影，体现形数结合思想| |夹角问题|6题|涉及异面直线、线面角|利用数量积公式解决空间角度量，培养空间观念| |模长问题|6题|含多面体棱长与重心计算|通过模长公式实现距离量化，强化运算能力| |平行垂直|6题|结合位置关系证明与判断|运用数量积性质解决空间位置关系，发展逻辑推理|

1.1.2 空间向量的数量积运算 6大考点汇总 考点01 空间向量数量积的概念辨析 考点02 求空间向量的数量积 考点03 利用空间向量求投影 考点04 利用空间向量解决夹角问题 考点05 利用空间向量解决模长问题 考点06 利用空间向量解决平行垂直问题 题型专练 考点01 空间向量数量积的概念辨析 1．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 2．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 考点02 求空间向量的数量积 5．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 6．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 7．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 8．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东·期中）在正三棱柱中，为的中点，则（    ） A．-1 B． C． D．1 10．（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 考点03 利用空间向量求投影 11．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 13．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·辽宁·期中）（多选）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 考点04 利用空间向量解决夹角问题 17．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 19．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 20．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 21．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 22．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 考点05 利用空间向量解决模长问题 23．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 24．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 25．（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 27．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 28．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 考点06 利用空间向量解决平行垂直问题 29．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 31．（25-26高三·全国·中职高考）若为非零向量，，则与一定（    ） A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面 32．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则共面 C．若，则与共线 D．若，且，则 33．（25-26高二上·全国·阶段检测）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 34．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（   ）    A．直线与直线始终垂直 B．直线与直线始终异面 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量的数量积运算 6大考点汇总 考点01 空间向量数量积的概念辨析 考点02 求空间向量的数量积 考点03 利用空间向量求投影 考点04 利用空间向量解决夹角问题 考点05 利用空间向量解决模长问题 考点06 利用空间向量解决平行垂直问题 题型专练 考点01 空间向量数量积的概念辨析 1．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 2．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 4．（25-26高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 考点02 求空间向量的数量积 5．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 6．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 7．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 8．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 9．（25-26高二上·广东·期中）在正三棱柱中，为的中点，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】D 【分析】用空间向量将表示出来，然后结合正三棱柱的垂直关系和向量的数量积定义求出结果即可. 【详解】因为为的中点，故， 因为正三棱柱，所以，故， 于是.. 故选：D. 10．（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】利用向量的平行四边形法则，将转化为之间的关系，结合向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，设，则，所以，，， 又，，所以，因为，所以的值可能为4和5. 故选：BC. 考点03 利用空间向量求投影 11．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 12．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 13．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 14．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【详解】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 15．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 16．（25-26高二上·辽宁·期中）（多选）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 考点04 利用空间向量解决夹角问题 17．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 18．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 19．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 20．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件得出各向量的模及夹角，再通过向量加减法，结合向量的数量积计算； （2）先用已知向量分别表示，再求出以及和，进而求解． 【详解】（1） 平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点， ，， ， ． （2）， ， ， ， ． 21．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 22．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 考点05 利用空间向量解决模长问题 23．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式计算模长． 【详解】由可得， 则， 因为为空间两两垂直的单位向量，故， 则． 24．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 【答案】1 【分析】运用空间向量基底法，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即 设， 代入得， 即，解得或（舍去）， 故. 故答案为：1 25．（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 26．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【详解】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 27．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 【答案】(1)证明详见解析. (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式及投影向量计算公式计算即可. （2）根据向量的模及数量积公式计算即可. 【详解】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 28．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 考点06 利用空间向量解决平行垂直问题 29．（25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，解得. 30．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 31．（25-26高三·全国·中职高考）若为非零向量，，则与一定（    ） A．共线 B．相交 C．垂直 D．不共面 【答案】C 【分析】利用向量数量积公式，判断垂直关系. 【详解】因为，所以，， 又因为 ，所以， 又因为，所以. 故选：C 32．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则共面 C．若，则与共线 D．若，且，则 【答案】BC 【分析】对于A，举例判断，对于B，由共面向量定理判，对于C，根据数量积的定义判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，若，结论不一定成立，故A错误； 对于B，由三向量共面的充要条件知B正确； 对于C，若且为非零向量，则，所以或，所以与共线，若中有零向量，则与也共线，故C正确； 对于D，若都与垂直，不一定成立，故D错误. 故选：BC. 33．（25-26高二上·全国·阶段检测）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 34．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（   ）    A．直线与直线始终垂直 B．直线与直线始终异面 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】C 【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D. 【详解】对于A，连接 因为正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，所以，平面 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 故A正确. 在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D正确.    故选：C. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $