1.1.2 空间向量的数量积运算-2022-2023学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1．1.2　空间向量的数量积运算 知识点一　空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 知识点二　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 知识点三　 向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 题型一、数量积的计算 1．空间向量的夹角 图示 定义 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，， 则_________叫做向量，的夹角，记作_________ 范围 通常规定：__________________； 当_________时，与垂直，记作_________ 2．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则_________叫做，的数量积，记作．即_________． 【微提醒】零向量与任意向量的数量积为0． （2）由数量积的定义，可以得到： _________；_________． 3．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，若E､F分别是AB､AD的中点，则___________，___________，___________，___________. 4．如图，在单位正方体中，设，，，求： (1)； (2)； (3)． 5．已知在四面体ABCD中，，，则______． 题型二、 投影向量 1．投影向量 （1）在空间，向量向向量投影： 如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，_________，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影： 如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量_________称为向量在平面上的投影向量． 2．判断正误： （1）向量在向量方向上的投影数量等于向量在向量方向上的投影数量；( ) （2）和向量在向量方向上的投影数量等于，在向量方向上的投影数量之和．( ) 3．已知，向量为单位向量，，求向量在向量方向上的投影的数量． 4．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为___________ 5．已知向量与的夹角为． (1)若是与方向相同的单位向量，求在上的投影向量； (2)求； (3)求． 题型三、利用数量积证明垂直问题 1．如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC． 求证：OA⊥BC． 2．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 3．如图在正方体中，为与的交点，为的中点．求证：平面. 题型四、利用数量积求模 1．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则（       ）． A． B．1 C． D．2 2．已知平行六面体，，，求. 3．如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°. （1）求AC1的长; （2）证明:AC1⊥BD． 题型五、利用数量积求夹角 1．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 2．四面体中，，则（       ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求： （1）的长； （2）与夹角的余弦值. 1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______． 2．三棱锥中，，，，则______． 3．已知单位正方体，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 4．已知，，与的夹角为13