1.1.1 空间向量及其线性运算（自主学习双减增效）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2022年高一升高二数学暑假进阶学习方案（人教A版2019）

1.1.1空间向量及其线性运算（自主预习） 目录 第一部分：脉络导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：典 型 例 题 剖 析 重点题型一：空间向量及有关概念 重点题型二：空间向量的线性运算 重点题型三：空间向量的共线问题 重点题型四：空间向量的共面问题 第四部分：自主预习成果检测 第一部分：脉络 导 图 总 览 全 局 课标要求： 1.了解空间向量的概念.(数学抽象) 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.(逻辑推理) 3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.(数学运算) 4.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面.(数学抽象) 第二部分：知 识 点 精 准 记 忆 1．空间向量的概念及表示方法 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，如空间中的位移速度、力等． （2）表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： ①几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； ②字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量，都有 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 拓展 （1）在平面内，若以两个向量对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立． （2）和平面向量一样，空间向量也不能比较大小． （3）和平面向量一样，若两个空间向量相等，则他们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同． 3．空间向量的加减运算 量空间向量的位置 已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 空间向量的加法运算（首尾相接首尾连） 作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量） 向量叫做与差，记作，即 空间向量的加法运算律 加法交换律 加法结合律 对于空间向量的加法和减法运算，他们与平面向量的加减运算是有联系的． （1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面向量内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量是共面的，它们的加减法运算类似于平面向量的加减法运算． （2）向量加减的平行四边形法则在空间中仍适用，在运用三角形法则时或平行四边形法则求两个向量的和或差时，要注意起点和终点；表示从向量的终点指向向量的终点的向量 4.空间向量的数乘运算 （1）空间向量的数乘运算的定义 与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 拓展可以从以下几个方面更加深入地理解空间向量的数乘运算： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 5.共线（平行）向量的定义 5.1定义： 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 5.2向量共线的充要条件 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 5.3向量共线的推论 如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 拓展：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 6.空间向量的共面问题 6.1定义 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 6.2向量共面的充要条件 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使，对于向量共面的充要条件，还应注意以下几点： 6.3空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定