精品解析：江西省临川第一中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

2024—2025学年（下）高一年级数学期末试题 （试卷满分：150分考试用时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2或1 D. 0或1 2. 样本数据16，24，14，10，20，12，14的中位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 从三个白球和一个黑球中分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的方式抽取两个球，抽到的两球都是白球的概率分别是，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（ ） A. 20000名学生的数学成绩是总体 B. 200名学生是样本 C. 每名学生是个体 D. 样本容量是200 10. 从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从袋内各摸出1个球，则（ ） A. 2个球不都是红球的概率是 B. 2个球都是红球的概率是 C. 至少有1个红球的概率是 D. 2个球中恰有1个红球的概率是 11. 已知在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________． 13. 已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标是____________． 14. 在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（）． （1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； （2）若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． 16. 读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； （3）定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 17. 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， （1）求证: 平面 （2）求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 18. 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值； （3）若，，求． 19. 已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． （1）若，求向量的坐标； （2）求面积的最大值； （3）若，求角θ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高一年级数学期末试题 （试卷满分：150分考试用时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2或1 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】由纯虚数的概念列式可得结果. 【详解】由是纯虚数，可得，解得. 2. 样本数据16，24，14，10，20，12，14的中位数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】将数据从小到大排序为10，12，14，14，16，20，24，样本容量，故该样本数据的中位数为14． 3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A：若，，则或，故A错误； 对于选项B：若，，，则或异面，故B错误； 对于选项C：若，，则或相交，故C错误； 对于选项D：若，，则， 又因为，则，故D正确. 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，， 不妨设，，， 则由余弦定理，， 因为，所以． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即得， ， 则，得 解得： 故. 6. 从三个白球和一个黑球中分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的方式抽取两个球，抽到的两球都是白球的概率分别是，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若采用有放回简单随机抽样，则； 若采用不放回简单随机抽样，则； 可知，，故A正确，BCD错误. 7. 一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据得，当秒时，点位于最低点， 则经过时间秒后车轮转过的角度， 则点到铁轨表面的高度为. 得到符合初始条件. 8. 已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对任意实数恒成立，两边同时平方化简整理得：对任意实数恒成立，故，解得.利用绝对值的三角不等式即可求解. 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（ ） A. 20000名学生的数学成绩是总体 B. 200名学生是样本 C. 每名学生是个体 D. 样本容量是200 【答案】AD 【解析】 【分析】根据统计中总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断各选项. 【详解】总体是指所要考察的对象的全体，本题考察对象为学生的高三模拟考试数学成绩， 因此20000名学生的数学成绩是总体，A选项正确， 又因为样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体， 因此本题的样本为抽取的200名学生的数学成绩，而非200名学生本身，B选项错误， 个体是总体中的每一个考察对象，因此本题的个体为每名学生的数学成绩，而非每名学生本身，C选项错误， 样本容量是样本中所包含的个体的数目，无单位，本题抽取了200名学生的数学成绩， 因此样本容量为200，D选项正确. 10. 从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从袋内各摸出1个球，则（ ） A. 2个球不都是红球的概率是 B. 2个球都是红球的概率是 C. 至少有1个红球的概率是 D. 2个球中恰有1个红球的概率是 【答案】BC 【解析】 【分析】结合独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式计算即可. 【详解】A：两个球不都是红球的概率为：，故A错误； B：两个球都是红球的概率为：，故B正确； C：至少有一个红球的概率为：，故C正确； D：两个球中，恰好有一个红球的概率为：，故D错误. 故选：BC 11. 已知在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、同角的三角函数关系式逐一判断即可. 【详解】根据正弦定理，由，所以选项A正确； 由余弦定理，得， 即，当且仅当时取等号，所以选项B正确； 因为，且， 所以，因此选项C不正确； ， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 因为， 所以，因此选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】作出辅助线，求出四棱台的侧高和高，求出表面积和体积 【详解】如图，过作，垂足为M，易知为四棱台的高， 因为，，， 所以上底面面积为，下底面面积为， 棱台的侧高为， 所以侧面积为， 所以该棱台的表面积为， 又，， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：，. 13. 已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【详解】设点的坐标是，则，， 因为四边形为平行四边形，则， 可得，解得，即. 14. 在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①以为直线与AC所成的角或其补角，利用余弦定理求解；②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H，则点的轨迹是六边形. 【详解】①连接，易得， 所以为直线与AC所成的角或其补角．又， 由余弦定理得， 即直线与AC所成角的余弦值为． ②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H， 连接EF，FG，GM，MN，NH，HE，， 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为F，M，N分别是，AB的中点，所以， 所以，同理可得， 所以E，F，G，M，N，H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为的正六边形， 因为平面，平面，所以BD，又， 平面，所以平面， 又平面，所以，因为N，H分别为AB，AD的中点，所以， ，同理可得，又，平面， 所以平面，因为，所以点的轨迹是六边形， 所以点P的轨迹长度为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（）． （1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； （2）若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围. （2）先求得，然后根据虚根成对以及根与系数关系求得，进而求得. 【小问1详解】 若复数在复平面内对应的点在第四象限， 则，解得，即. 【小问2详解】 由于为正实数，所以，解得，所以， 而是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 所以，即， 所以. 16. 读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． （1）求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； （3）定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 【答案】（1），平均每周课外阅读时长为小时； （2）人； （3）小时． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，结合频率分布直方图的平均数的计算公式，求得平均每周课外阅读时长； （2）求得课外阅读时长在和的频率分别为和，结合分层抽样的方法，即可求解； （3）根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得， 可得， 则平均每周课外阅读时长（小时）. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图知，课外阅读时长在的频率为， 其中课外阅读时长在的频率为， 若从课外阅读时长在的学生中抽取5人，则课外阅读时长在有人. 【小问3详解】 解：由频率分布直方图知，前3个矩形的面积和为， 前4个矩形的面积之和为， 设第分位数位于，设第分位数为，则， 所以该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值为小时. 17. 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， （1）求证: 平面 （2）求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 【答案】（1）连接交于，因为为劣弧的中点， 故是中点，又是中点，所以， 平面，平面，因此平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解； （2）利用线面垂直的判定定理得到平面，故是直线与平面所成的角．计算的值，从而得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，平面，平面，故， 又为半圆弧的中点，因此，平面， 因此平面，故是直线与平面所成的角． 因为，所以， 因为，所以， 故直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值为． 18. 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即可； （2）结合（1）、余弦定理及基本不等式得到，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意及和角的余弦公式得到，再根据正弦定理得到，最后根据余弦定理求解即可． 【小问1详解】 因为， 则由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 又，得， 则，即， 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得， 结合（1）可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为， 即的面积的最大值为． 【小问3详解】 因为，则， 所以， 又，则， 由正弦定理得， 所以，得， 由余弦定理可得， 即，解得． 19. 已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． （1）若，求向量的坐标； （2）求面积的最大值； （3）若，求角θ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得的坐标，然后利用向量的坐标运算求得. （2）先求得，也即求得的纵坐标，然后求得三角形面积的表达式，再根据三角函数的最值来求得面积的最大值. （3）先求得的坐标，然后根据O，Q，P三点共线列方程求得θ. 【小问1详解】 由题意知， 当时，， 则， 所以当时，的坐标为． 【小问2详解】 由向量旋转可知，， 又为等边三角形，则可看作由绕点A沿逆时针方向旋转得到的， 则 ， 所以， ， 因为，所以， 当且仅当，即时，取得最大值． 【小问3详解】 若，则 ． 由（2）知， 所以， 由O，Q，P三点共线可知 ， 化简整理得． 因为，，所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $