精品解析：江西省抚州市临川第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

临川一中2024-2025学年度高一下学期期中考试数学试题 出题人 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算得到集合的等价集合，然后求交集即可. 【详解】，， 又，． 故选：B 2. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，， 故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错. 故选：A. 3. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果. 【详解】， 故选：C 4. 已知函数是偶函数.则的值（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数定义以及指数、对数运算法则计算可得结果. 【详解】因为为偶函数，所以； 易知； 即可得，因此， 即. 故选：B 5. 已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A. 若，则的值域为 B. C. ，都有 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由图象确定的值，再根据周期求出，然后结合特殊点求出，得到函数表达式后逐一分析选项. 【详解】由函数图象可知，函数的最小值为，因为，所以. 观察图象可知，（为函数的周期），那么. 根据正弦函数的周期公式，可得. 此时函数为，已知函数图象过点，将其代入函数可得，即. 因为，所以，解得，故选项D正确. 综上，函数. 分析选项A，当时，，则. 令，函数，. 当，即，时，； 当，即，时，. 所以的值域为，选项A错误. 分析选项B，将代入可得：，选项B正确. 分析选项C，因为，所以，. 对于，，选项C正确. 故选：A. 6. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（    ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可得，从而可得函数的周期，再根据函数的周期性计算即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 则. 故选：D. 7. 若，，且满足关系式，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知等式变形可得，结合两角和差正切公式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由得：， ，，，， 且， （当且仅当时取等号）， 的最小值为. 故选：B. 8. 定义有序实数对的“跟随函数”为.记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“跟随函数”定义得出的解析式，再由分段函数性质和辅助角公式画出函数图象，利用数形结合思想求得实数的取值范围为. 【详解】根据题意可得，所以， 当时，， 当时，， 所以， 画出函数图象如下图所示： 易知当或时，取得最大值为2，当或时，； 当时，取得最小值为， 由图可知若直线与有且仅有四个不同的交点时，则. 即实数的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“跟随函数”定义并画出函数的图象，结合交点个数即可求得结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 下列选项化简值为1的有（ ）. A. . B. . C. . D. . 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用的值直接计算，结合特殊角的三角函数值求和；选项B：通过周期性化简角度，确定值；对于C，利用诱导公式及二倍角的正弦公式的逆用即可求解；对于D，利用凑角即两角差的正切公式即可求解. 【详解】对于，，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C不正确； 对于，，故正确. 故选：. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 直线是函数图像的一条对称轴 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 【答案】BD 【解析】 【分析】首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得，根据正弦函数的单调递增区间可判断A；根据正弦函数的对称轴可判断B；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C；代入利用诱导公式可判断D. 【详解】， 当时，，函数在上不是增函数，故A错误； 令，得， 显然直线是函数图像的一条对称轴，故B正确； 函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 关于x的方程有个不同的解 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象，如图： 对于A，由，得，令， 由图象知与的图象只有3个交点， 因此函数有3个零点，A正确； 对于B，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……， 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，B正确； 对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 函数的图象在上的最高点分别为， 在上的最高点为，这些点都在曲线上， 因此函数在上的图象总在曲线及下方，即恒成立，C正确； 对于D，当时，，即， 由图象知与的图象只有3个交点， 因此关于x的方程有3个不同的解，而当时，，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分 12. 已知扇形的面积为9cm2，其圆心角弧度数为2rad，则其周长为________cm. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】设弧长为，半径为，圆心角为， 由，可得，则， 故扇形的周长为. 故答案为：. 13. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用条件找到，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】，，又， ∴， ∴， 又、、三点共线， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等， ∴的最小值为． 故答案为： 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为，，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可. 【详解】作出两个函数的图象如图所示， 则由对称性设，且，即为等腰三角形，，且， 取的中点，连接，则，， 由，得， 得，得，得， 则， 即点纵坐标为1，， 因为，所以， 解得，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. （1）在中，.求的值； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式计算可得结果； （2）根据三角函数定义以及同角三角函数的商数关系计算即可. 【详解】（1）在中，因为，又， 则，， ， 所以 （2）易知 . 16. 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）已知落在区间的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】（1），第80百分位数为86 （2），总方差. 【解析】 【分析】（1）根据百分位数定义利用频率分布直方图计算可得结果； （2）代入由样本方差计算总体方差的公式计算可得结果. 【小问1详解】 由题意知，解得； 成绩在的频率为0.65，成绩在的频率为0.9， 故第80百分位数在之间，则， 解得， 故第80百分位数为86； 【小问2详解】 由频率分布直方图知，这100份答卷分数在的份数为， 分数在的份数为， 所以， 总方差. 17. 已知， （1）若，求的值 （2）求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数之间基本关系并结合角的范围即可求得； （2）由二倍角的余弦公式代入计算即可求得结果. 【小问1详解】 因为，整理， 所以，即， 易知，又，所以， 因此可得； 【小问2详解】 由（1）可知. 18. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式与单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解； （2）利用图象变换法则求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得. 【小问1详解】 ， ∵图象的相邻两对称轴间的距离为， ∴的最小正周期为，即可得，. 又为奇函数，则， 又，∴，故， 令，，得，. ∴函数的递减区间为，. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 又，则或， 即或. 令，当时，， 画出的图象如图所示： 有两个根，，关于对称， 即， ，则，，， 在上有两个不同的根，，， ∴； 又的根为0，，， 所以方程在内所有根的和为. 19. 设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值. （1）若函数，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由； （2）若函数，，，，与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，求的取值范围； （3）若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围. 【答案】（1） 与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由如下： 因为是增函数，所以函数在上单调递增， 又，，则的取值范围是， 又的取值范围为，. 则与的取值范围分别是， 因此，对于的取值范围内的所有的值，都可以找到一个的值，使其满足， 故与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用指数函数的单调性求出的值域，利用正弦函数的性质求出的值域，然后根据异自变量定值函数组合定义判断即可. （2）先利用对数函数的单调性求出的值域，然后根据正弦型函数的性质求出的值域，利用异自变量定值函数组合定义列不等式组求解即可. （3）结合二次函数的性质，利用对数函数的单调性求得的值域，利用正弦型函数的性质求出的值域，然后利用恒定比数值为的异自变量定值函数组合的定义，分类讨论列不等式组求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，都是增函数， 所以在上为增函数， 又，， 因此的取值范围是，所以的值域， 为了使等式符合定义要求，的值域也必须包含于， 由于的值域为，则， 因此满足：，解得， 则的取值范围为. 【小问3详解】 ，， 因为，所以， 所以的值域为， 当时，，所以， 则，因此的值域为， 若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合， 则的值域也必须包含， 当时，满足，解得：； 当时，满足，解得：； 综上的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2024-2025学年度高一下学期期中考试数学试题 出题人 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 3. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 4. 已知函数是偶函数.则的值（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A. 若，则的值域为 B. C. ，都有 D. 6. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（    ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 7. 若，，且满足关系式，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义有序实数对的“跟随函数”为.记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，若直线与有且仅有四个不同的交点时，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 下列选项化简值为1的有（ ）. A. . B. . C. . D. . 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上为增函数 B. 直线是函数图像的一条对称轴 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 关于x的方程有个不同的解 三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分 12. 已知扇形的面积为9cm2，其圆心角弧度数为2rad，则其周长为________cm. 13. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________． 14. 已知函数和的图象相邻的两个交点为，，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. （1）在中，.求的值； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值. 16. 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； （2）已知落在区间的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 17. 已知， （1）若，求的值 （2）求的值 18. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式与单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和. 19. 设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值. （1）若函数，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由； （2）若函数，，，，与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，求的取值范围； （3）若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $