精品解析：江西南昌市南昌县莲塘第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷

2025年-2026学年度下学期高一7月期末试卷 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若角的终边上有一点，则（ ） A. -3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 3. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式化简即可. 【详解】 . 4. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】已知底面半径，底面周长为，该周长等于侧面展开扇形的弧长， 设母线长为，已知侧面展开圆心角为，则，解得. 底面积，侧面积， 则总表面积. 5. 若，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. . 6. 已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（　　） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 【答案】C 【解析】 【分析】连接，分别证明这是三角形的三条高，由此确定点为的垂心. 【详解】画出图像如下图所示.先证，由于，所以平面，所以，由于是点在平面内的射影，所以平面，所以，故平面，所以.同理可证得，故是三角形的垂心.所以选C. 【点睛】本小题主要考查空间线面垂直、线线垂直的相互转化，考查三角形垂心的几何性质.三角形有四心：内心、外心、重心和垂心.内心是角平分线的交点，也是内切圆圆心；外心是垂直平分线的交点，也是外接圆圆心；重心是中线的交点；垂心是三条高的交点.对于等边三角形来说，四心合一，称为中心. 7. 将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移规律得到的表达式，再结合分析与的关系，进而求出的最小值. 【详解】函数向上平移1个单位，根据平移规则得：， 因为正弦函数，因此的值域为， 由于的最大值为2，要使 ，则，  当时，，即， 根据正弦函数性质可得：， 化简得：，设，， 所以，，因为， 所以当时，取得最小值为. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与夹角为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，结合向量垂直、夹角的相关计算公式逐项判断可得答案. 【详解】∵，∴， ∴，即， ∴，选项B正确. ∵， ∴不成立，选项A错误. ∵，， ∴与夹角为，选项C正确. ∵， ∴，选项D正确. 故选：BCD. 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，举反例说明即可；对于B：由正弦定理可得，结合余弦定理运算求解；对于C：利用正弦定理运算求解即可；对于D：根据锐角三角形可得，，，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即， 例如，，则，， 满足，但为直角三角形，故A错误； 对于选项B：若，由正弦定理可得， 设，，，，且角为最大角， 则， 且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误； 对于选项D：若为锐角三角形，则，， 可得，，所以，故D正确. 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由与是正方体对角面的两条对角线，可判断，对于B，证明平面平面，根据面面平行的性质，可得答案.对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，通过平面，设垂足为，通过等体积计算，确定，可判断D. 【详解】 对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误； 对于B，在正方体中， ，平面，平面， 平面， 连接，由正方体的性质可得， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. 因为平面，所以平面，故B正确. 对于C，如图： 在正方体中，易知为等边三角形，则， ，或其补角为异面直线与所成角， 则异面直线与所成角的取值范围，故C正确； 对于D，连接，记， 在正方体中，平面， 平面，， 在正方形中，， ，平面，平面， 平面，， 同理可得：， ，平面，平面， 又平面平面. 所以平面，设交点为， 所以直线与直线相交时，交点为， 又，设正方体棱长为2， 得， 得，又， 所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为第三象限角，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用半角公式计算. 【详解】因为是第三象限角，所以. 由，解得： 所以. 13. 已知某时钟的时针、分针的长度分别为3 cm，，若时钟上的时间如图所示，则时针的针尖与分针的针尖之间的距离为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据时钟显示的时间确定时针与分针的夹角，构造三角形，利用余弦定理计算两针尖之间的距离. 【详解】设时针的长度为，分针的长度为， 时针针尖与分针针尖之间的距离为， 由图可知，时钟显示的时间为， 此时分针指向数字，时针指向数字与的正中间， 因为时钟表盘上相邻两个数字之间的圆心角为， 所以时针与分针的夹角， 在由时针、分针及两针尖连线构成的三角形中， 由余弦定理可得：， 故时针的针尖与分针的针尖之间的距离为cm. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，延长，与直线交于点，与直线交于点，连接，交于点，连接，交于点，证明过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形，再求其面积即可. 【详解】取中点，因为为中点，故， 因为，分别是，的中点，所以， 由正方体性质可得，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 延长，与直线交于点，与直线交于点， 连接，交于点，连接，交于点， 则过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形， 记的交点为，则， 由已知，所以， 所以， 故过，，三点的平面截正方体所得截面面积为. 四．解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线性质得，进而利用线面平行判定定理得平面； （2）结合锥体体积公式，由等体积法求解三棱锥的体积． 【小问1详解】 ∵在中，、分别是和的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵平面，∴是三棱锥的高， ∵四边形是正方形，， ∴三棱锥的体积为． ∴三棱锥的体积为． 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用齐次化可求三角函数式的值； （2）利用两角差的余弦可求的值. 【小问1详解】 因为，又， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以， ， 又，所以 . 17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． （1）化简的解析式并求最小正周期； （2）求在方向上的投影坐标． 【答案】（1），最小正周期为8 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，得出点纵坐标，利用等腰直角三角形的性质得出，进而得出，求出，进而求出解析式； （2）根据正弦函数的性质，结合图象求出相关点坐标，进而求出相关向量坐标，利用投影向量公式求解． 【小问1详解】 ， 则点纵坐标为2， 已知为等腰直角三角形，则，即，解得， ，解得， ，最小正周期为8． 【小问2详解】 由函数图象知，点满足：，解得，故， 零点满足，解得， 当时，，即， 当时，， ， ． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，可求角. （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求三角形的周长. （3）利用平面向量和余弦定理可得，再利用正弦定理和三角函数恒等变换求的取值范围即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， ∴， 因为，所以，所以，即， 又，则． 【小问2详解】 由（1）及题设可得，即 整理得，解得． 所以的周长为. 【小问3详解】 因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，且，，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 【答案】（1）证明：在三角形中，，所以因为平面平面， 且平面平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质证明即可. （2）过点作于点，先证明为直线与平面所成的角，然后根据线段长度关系证明为直角三角形，进而得出结果. （3）过作于，过作于，连接，先证明为二面角的平面角，然后求出，进而求出范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，因为平面， 所以，又因，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 面为平行四边形，，， 所以， 在中，，所以，而， 又因三点共线，所以，，， 因为平面，所以， 故， 因为，所以为直角三角形， 在中，. 【小问3详解】 过作于，过作于，连接， 则， 故，， 由小问（1）得，又，平面， 所以平面，平面，所以为直角三角形， 所以，且，， 平面，所以平面，故， 因此为二面角的平面角. 由题可得， 由等面积可得， 在中，， 则，令，则 在中， ， 令，，当时， 越大，分母就越小，故在上单调递增， 所以，， 故二面角的正弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年-2026学年度下学期高一7月期末试卷 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若角的终边上有一点，则（ ） A. -3 B. 4 C. D. 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 3. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（　　） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 7. 将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与夹角为 D. 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为第三象限角，，则________. 13. 已知某时钟的时针、分针的长度分别为3 cm，，若时钟上的时间如图所示，则时针的针尖与分针的针尖之间的距离为______cm． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为____． 四．解答题：本大题有5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、、为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形． （1）化简的解析式并求最小正周期； （2）求在方向上的投影坐标． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，且，，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正弦值的取值范围． （注：本题用空间向量作答不给分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $