精品解析：湖南省部分学校2025-2026学年高二下学期期末校内检测数学试卷

2026年上学期高二期末校内检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中的系数为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 已知随机变量X服从正态分布，则 B. 已知随机变量X服从正态分布，且，则 C. 已知随机变量X服从正态分布，则 D. 设随机变量服从正态分布，若，则 6. 已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（ ） A. B. 直线的方程是 C. 四边形的面积是48 D. 的最大值是 7. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有颜色不同但大小相同的小球，甲袋中装有6个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和7个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，搅拌均匀后再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法错误的是（ ） A. ，是互斥事件 B. C. D. ，是独立事件 8. 已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和记为，，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 10. 设，，（，），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知平面，，是正三角形，，且分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体的体积是 B. 几何体的体积是 C. 与平面所成角等于与平面所成角 D. 设G为的重心，过点G作平面的垂线，交平面于点H，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 安排4名歌手演出顺序时，要求歌手小张不是第二和最后一个出场，不同排法有________种．（用数字作答） 13. 某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据： 步时x（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：） 90 95 99 103 117 则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为________．（精确到0.01） 参考公式：相关系数；参考数据：，，，． 14. 已知，，，的外心是D，则面积最大时，四边形的面积是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知为等比数列的前n项和，若，． （1）求； （2）为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 16. 已知函数在区间上的最大值为6， （1）求常数m的值，及在上的最小值； （2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）证明：； （3）点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长． 18. 已知椭圆，，为左、右焦点，点P在C上． （1）当时，求的面积； （2）在椭圆中有结论：以椭圆上一点为切点的切线方程是． ①设过椭圆C的右焦点的直线交C于A，B两点，以A，B为切点的切线，相交于点Q，求点Q的纵坐标； ②在①中条件下，过点A且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点；过点B且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点．证明：直线过定点，并求出定点坐标． 19. 已知函数，其中实数a为参数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二期末校内检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】，对应的点为，位于第二象限. 2. 已知集合，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出集合和集合，然后利用交并补的概念依次判断即可. 【详解】已知集合，解不等式，可得， 所以， 又因为集合，解不等式，可得， 所以，所以， 对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，，所以，故C正确； 对于D，由于，， 所以，故D错误. 3. 若的展开式中的系数为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的展开式的通项，再根据的系数为求解 【详解】的展开式的通项，且的系数为， 所以，即，解得或， 为正整数，舍去负根，得． 4. 设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中分别画出，的图象观察即可求解 【详解】在平面直角坐标系中画出，以及的图象， 若，则将向下平移个单位，此时不满足恒成立， 由于，要使恒成立，则必有， 即，所以， 当时，，，， 在的切线方程为， 所以要使恒成立，则，故A正确. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 已知随机变量X服从正态分布，则 B. 已知随机变量X服从正态分布，且，则 C. 已知随机变量X服从正态分布，则 D. 设随机变量服从正态分布，若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对A，因为，所以 ，故A正确； 对B，因为，所以， 所以，故B正确； 对C，因为，所以，所以，故C错误； 对D，因为，由，故D正确. 6. 已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（ ） A. B. 直线的方程是 C. 四边形的面积是48 D. 的最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 7. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有颜色不同但大小相同的小球，甲袋中装有6个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和7个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，搅拌均匀后再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法错误的是（ ） A. ，是互斥事件 B. C. D. ，是独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型，条件概率及全概率公式分别判断即可． 【详解】由题可知， ，， ， 对于A，，是对立事件，所以一定是互斥事件，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又, 所以 , 所以， 不是独立事件，故D错误． 8. 已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和记为，，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据 ​，得到各项依次是：，进而逐项判断即可. 【详解】由 ​，可得数列各项为：，即是周期为4的周期数列， 选项A：的所有项都是，等比数列不能含零项，因此A错误； 选项B：的各项为，首项为，公比为，因此B正确； 选项C：一个周期（4项）的和为 ，​是个完整周期的和，因此，C正确； 选项D：对， 即依次连续两项的和：； 当为奇数时，，当为偶数时，，因此D正确. 10. 设，，（，），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题可知， 若三点共线，则，所以， 化简得：，故A正确，B错误； 对于C，因为，所以，所以，即，C正确； 对于D，由A选项可知，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 11. 如图，已知平面，，是正三角形，，且分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体的体积是 B. 几何体的体积是 C. 与平面所成角等于与平面所成角 D. 设G为的重心，过点G作平面的垂线，交平面于点H，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于ABC，取的中点，连接，通过平面，平面，通过体积公式和线面角定义即可判断，对于D，连接并延长交于，通过平面平面，结合面面垂直的性质确定，，进而可判断. 【详解】如图1，取的中点，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，， 平面， 所以平面， 平面， 所以平面， 又分别是，的中点，， 又，， 所以，， 所以四边形为矩形，四边形为梯形， 又是正三角形，，可得， ， ， 所以几何体的体积是，A错误，B正确； 由题意知，与平面所成角是， ，， 所以， 与平面所成角是， ， 故与平面所成角不等于与平面所成角，C错误， 如图2， 连接并延长交于，则， 由题意， 由平面，，得平面， 又平面，得， 为中点，所以，， 又，又，得， 平面， 则平面，平面， 所以，又， 则，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 由题设平面，所以点， 所以， 所以, 所以，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 安排4名歌手演出顺序时，要求歌手小张不是第二和最后一个出场，不同排法有________种．（用数字作答） 【答案】12 【解析】 【详解】先安排小张有种排法，再安排其他三人有种， 所以总共有种方法. 13. 某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据： 步时x（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：） 90 95 99 103 117 则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为________．（精确到0.01） 参考公式：相关系数；参考数据：，，，． 【答案】0.95 【解析】 【详解】由参考数据可知，， 所以. 14. 已知，，，的外心是D，则面积最大时，四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，求出的面积，根据二次函数求出的面积最大值和的值，利用正弦定理求出外接圆的半径即的长，再利用余弦定理和三角形面积公式求出的面积，进而求出四边形的面积. 【详解】已知，，， 设，则， 在中，， 因为，所以， 所以， 所以当，即时，的面积最大， 此时，，，， ， 因为是的外心，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以面积最大时，四边形的面积是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知为等比数列的前n项和，若，． （1）求； （2）为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式将，，统一用首项与公比表示，代入解出公比，再结合前四项和求出首项，即可得到通项； （2）先由前项和分段求出通项，再写出偶数项表达式，前项由个奇数项与个偶数项组成，分开求和再相加得到. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 当时，， 当时，， 也满足的情况，所以， 当n为偶数时，， . 16. 已知函数在区间上的最大值为6， （1）求常数m的值，及在上的最小值； （2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求． 【答案】（1），在上的最小值为3 （2）或 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式，结合三角函数的性质求的值与函数的最小值. （2）先确定角的值. 方法一：建立坐标系，利用平面向量的数量积的坐标运算求解. 方法二：分点在的角平分线和角平分线的反向延长线上，分别求值. 【小问1详解】 ， 因为，所以，所以. 所以. 由. 所以在上的最小值为3. 【小问2详解】 ， 因为，所以. 方法一：以点A为原点，建立如图所示的坐标系，则，， 设，则， 所以，， ， ， ， 所以，，， 所以或. 方法二：按图甲，点在的角平分线上， ， 按图乙，点在的角平分线的反向延长线上， . 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）证明：； （3）点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长． 【答案】（1） （2）由题可知，分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，从而. （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：过点作于，连接，得到平面与平面夹角的平面角，通过即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量即可求解； （2）由线面平行可得线线平行； （3）方法一：利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值的表达式，求出正弦值最大的情况即可求解；方法二：利用等体积法，得到当最小时，直线与平面所成角的正弦值最大，此时，得到即可求解. 【小问1详解】 方法一：平面与平面的夹角也就是平面与平面的夹角． 过点作于，连接， 因为平面，平面,所以， 又因为平面,所以平面， 又平面，所以，所以是两个平面所成的角， 根据题意可知，， 在中，由等面积可得，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：根据题意可知，， 于是可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 利用点是的中点确定点的坐标为， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 显然平面的法向量可以是， 设平面与平面的夹角大小为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 方法一：由（2）可知，，于是可设， 即，又，则，， 设直线与平面所成角大小为， 则， 当时，取得最小值，则取得最大值． 此时，； 方法二：由（2）可知，平面，所以上所有点到平面的距离都相等， 设这个定距离为，也就是点到面的距离． 在中，，，由余弦定理，，， 在三棱锥中，， 设直线与平面所成角大小为，为锐角，则， 当最小时，最大，显然，即时，最小． 又，， ． 所以． 18. 已知椭圆，，为左、右焦点，点P在C上． （1）当时，求的面积； （2）在椭圆中有结论：以椭圆上一点为切点的切线方程是． ①设过椭圆C的右焦点的直线交C于A，B两点，以A，B为切点的切线，相交于点Q，求点Q的纵坐标； ②在①中条件下，过点A且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点；过点B且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点．证明：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）9 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义，结合垂直条件，求出两直角边乘积，面积即为其乘积的一半，或设，由垂直得，联立椭圆解得，可得面积； （2）①设，切线方程分别为，，两式分别乘以后相减消去，代入直线方程，可得交点坐标；②由切线斜率得垂线方程，求得截距得点，同理求。联立直线与椭圆得韦达定理，求  斜率及中点，写出直线方程，故恒过定点. 【小问1详解】 方法一：设，， 又， ，所以的面积是9． 方法二：设，又，， 则，， ， 又，所以，， 所以的面积是； 【小问2详解】 ①设，， 则以A，B为切点的切线方程分别为，， 且，， 于是：对于，，两边分别同乘，相减可得： ， ； ②以点A为切点的切线的斜率为， 过点A且与以A为切点的切线垂直的直线方程为， 进而得，，所以， 同理可得， 另一方面，把代入中，得， 所以， 直线的斜率为， M，N中点的横坐标是 ， M，N中点的纵坐标是， 所以直线方程为， ， ， ， 可知直线经过定点． 19. 已知函数，其中实数a为参数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，，等价于， 令，则， 令，则， 在上单调递增，且，， 在上存在唯一的零点，此时， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增； ， 在上单调递增； 当时，，，； 当时，； 综上可得，在上恒成立， 即在上恒成立； 方法二： ①当时，； ②当时，， 令，则在单调递增， ， 所以在单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综合①，②，在上成立； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得切点和斜率，由此求出切线方程. （2）由得到， 方法一：令，求导，令，求导，判断的单调性，进而判断的单调性，证明不等式； 方法二：分和进行证明令，求导，令，再求导，判断的单调性，进而证明； （3）将不等式变形为，利用同构，令，求导，根据单调性解不等式，分离参数得，设，，利用导数求出函数的值域，得到a的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，的定义域为且． 当时，， 又，， 曲线在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式， 等价于， 令，则在R上恒成立，在R上单调递增， 由原不等式可得， 在上恒成立， 在上恒成立； 设，则， 在上单调递减，在上单调递增； ， 又，实数a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $