精品解析：重庆市第七中学校2026届高三上学期期末考试数学试题

重庆市沙坪坝区第七中学校高2026届高三上学期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用0.5毫米黑色铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.回答非选择题时，将答案填写在答题卡对应的区域上，在试题卷上作答无效； 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 本试卷考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题：每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先将复数 展开，再根据纯虚数的定义列方程求解. 【详解】， 因为是纯虚数，所以实部为0，虚部不为0， ，解得 . 故选：A 2. 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数运算性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时取等． 故选：B 3. 已知向量，，，设向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积求夹角的余弦值即可. 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 4. 在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 5. 在的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项，根据展开式中存在常数项，得到且，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项， 令，得，因为，所以的最小值为. 故选：B. 6. 已知数列满足：（为正整数），，若，则的值不可能为（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系对各选项进行检验. 【详解】因为，所以， 对A，若，则，，，，，，，满足题意； 对B，，则，，，，，，，不满足题意； 对C，，则，，，，，，，满足题意； 对D，，则，，，，，，，满足题意； 只有B不可能. 7. 椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，结合椭圆的焦半径范围建立齐次式计算即可. 【详解】由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即， 因为， 设点，则，则， 所以 ， 所以，即， 整理可得，可得，故， 又因为，故， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：D． 8. 现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为，将该三棱锥补全到长方体中，设长方体的棱长分别为，列出方程组，求得，得到外接球半径，结合求得的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，图（1）中，过点作， 因为，可得， 按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为， 将该三棱锥补全到图（2）中的长方体中， 此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的棱长分别为，可得， 所以，即其外接球半径， 故外接球表面积为. 故选：B． 二、多选题：每小题有至少两个符合题目要求的选项，本大题共3小题，每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选、不选不得分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合三角函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，已知正四棱台中，，梯形的面积为，则（    ） A. 正四棱台的侧面积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若为的中点，则过点的平面截正四棱台所得截面的周长为 D. 若正四棱台的四条侧棱的延长线交于点，则四棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正四棱台的结构特征，可直接求解其侧面积，判断选项A，建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解异面直线夹角的余弦值，判断选项B，根据平面的基本事实，得到过点的截面图形，然后逐个线段求解，即可判断选项C，利用相似，求得四棱锥的高，然后建立空间直角坐标系，根据线段长度即可求出外接球的半径，进而判断选项D. 【详解】由题知，， 设梯形的高为，则，可得， 设侧面梯形的高为，则， 所以一个侧面面积为， 所以正四棱台的侧面积为，A错误； 如图，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设直线与夹角为， 所以，B正确； 取中点，因为为中点， 所以，所以过点的平面即为四边形， 且， 又， 所以截面的周长为，C正确； 对于D，设棱台高为，延长棱台的四条侧棱交于点O，设棱锥的高为， 由相似得，，可得， 如图，建立空间直角坐标系， 则， 设球心，外接球半径为， 则， 所以，解得， 所以， 则球的表面积为，D正确. 故选：BCD 11. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ）． A. 椭圆E的离心率为 B. 若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C. 若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D. 的面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据即可求解A,结合点在椭圆上，可求解B，根据对称性以及斜率公式即可求解C，根据面积公式即可判断D. 【详解】由题意可知：蒙日圆必过点，蒙日圆方程为， 对于A，蒙日圆为，则，则， 则，所以椭圆E的离心率为，A正确； 对于B，根据题意得，又椭圆E过点，故， 所以，，则椭圆E的方程为，B错误； 对于C，，则是圆的直径，经过原点，则A，B两点关于原点对称， 设，，， 则，C正确； 对于D，直径，点M到的距离小于等于， 则的面积的最大值为，D正确， 故选：ACD． 三、填空题：直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的值域为________． 【答案】 【解析】 【详解】设，利用角的范围和三角恒等变换求出的范围，将原函数转化成关于的函数，通过求导判断函数单调性求出其极值，比较端点函数值即得原函数的值域. 【分析】设， 由可得，则． 因为， 所以，． 求导得， 当或时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 又，，，， 所以在上的值域为， 即在上的值域为． 故答案为：. 13. 权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量.已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则的前8项和为______. 【答案】192 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的基本量运算求得，然后求和即可得解. 【详解】由题意知，成等差数列，设公差为，成等比数列，公比为， 因为，，联立解得， 所以，，， 所以的前8项和为. 故答案为：192 14. 已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：每小题必须写清楚必要的演算过程、推理过程，只写出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15小题13分，第16-17小题每小题15分，第18-19小题每小题17分，共77分. 15. 记的内角的对边分别为，已知向量，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和正弦定理求得关于的方程，求解即可. （2）先利用余弦定理列出的一个方程，再利用基本不等式求出面积的最大值. 【小问1详解】 ， 根据正弦定理得， ， ，即， ，所以，则， . 【小问2详解】 由余弦定理， 得， 所以. 当且仅当时，等号成立， 所以当时，面积有最大值，最大值为. 16. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】 设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； 【小问3详解】 设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 17. 如图，四棱锥中，平面，，底面为正方形. （1）证明:平面平面. （2）若E，G分别为PA，PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面交PD于点H. ①求的值； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定及面面垂直的判定推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，令，写出相关点的坐标，利用共面向量定理列式求解；②求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，由平面，平面，得， 由正方形，得，而平面， 则平面，又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 ①由（1）得直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则，设， ，由点平面， 得，即，则， 因此，，所以. ②设平面的法向量，则，令，得， 而平面的法向量，则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点且在第二象限，若轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过的直线与椭圆交于，，求证：直线与直线关于直线对称. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程去求解； （2）设的角平分线所在直线与轴的交点为，利用点到直线的距离公式求出点坐标即可求出； （3）设直线：，联立椭圆方程，根据韦达定理求证即可. 【小问1详解】 依题意知：，解得，，， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题可得，，因为点在第二象限且轴， 所以，解得：或（舍去），则点 所以， 则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然， 则，解得：； 所以，则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率存在，故设直线：，，， 联立，得， 则，，. 则 ， 得：，则. 故直线与直线关于直线对称. 19. 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值； （3）若，有三个极值点，求实数的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由导函数几何意义求出切点和切点处的导数即可由点斜式得解； （2）利用导数工具研究函数单调性即可求最值； （3）将题设等价转换成函数在区间上有三个不同的变号零点，作出直线与函数的图象，数形结合即可得解. 【小问1详解】 由题，， 所以， 所以的图象在点处的切线方程为即. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，所以， 当时，，， 当时，，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为. 【小问3详解】 因为 要使函数在区间上有三个极值点， 则函数在区间上有三个不同的变号零点， 令， 则， 当时，令或或或， 故存在使得即， 所以当时；当时；当时， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 作直线与函数的图象如图所示： 由图可知直线与函数的图象有3个不同的交点时， 所以函数在区间上有三个不同的变号零点，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市沙坪坝区第七中学校高2026届高三上学期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用0.5毫米黑色铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.回答非选择题时，将答案填写在答题卡对应的区域上，在试题卷上作答无效； 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 本试卷考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题：每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 3. 已知向量，，，设向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 在的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知数列满足：（为正整数），，若，则的值不可能为（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 7. 椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题有至少两个符合题目要求的选项，本大题共3小题，每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选、不选不得分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 10. 如图，已知正四棱台中，，梯形的面积为，则（    ） A. 正四棱台的侧面积为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 若为的中点，则过点的平面截正四棱台所得截面的周长为 D. 若正四棱台的四条侧棱的延长线交于点，则四棱锥的外接球的表面积为 11. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，已知椭圆E的蒙日圆半径为，过圆C上的动点M作椭圆E的两条切线，交圆C于P，Q两点，直线交椭圆E于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ）． A. 椭圆E的离心率为 B. 若椭圆E过点，则椭圆E的方程为 C. 若点D在椭圆E上，将直线，的斜率分别记为，，则 D. 的面积的最大值为 三、填空题：直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的值域为________． 13. 权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量.已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则的前8项和为______. 14. 已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 四、解答题：每小题必须写清楚必要的演算过程、推理过程，只写出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15小题13分，第16-17小题每小题15分，第18-19小题每小题17分，共77分. 15. 记的内角的对边分别为，已知向量，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 16. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 17. 如图，四棱锥中，平面，，底面为正方形. （1）证明:平面平面. （2）若E，G分别为PA，PC的中点，F是线段PB上靠近点B的三等分点，平面交PD于点H. ①求的值； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点且在第二象限，若轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过的直线与椭圆交于，，求证：直线与直线关于直线对称. 19. 已知函数. （1）求的图象在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值； （3）若，有三个极值点，求实数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $