精品解析：河南郑州市第五共同体2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（六）

2025-2026学年下期期末考试 高二数学试题卷（六） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：依据导数定义，该极限等于函数在处的导数值，先对求导得，再代入算出结果． 方法二：先计算，再令趋近于取极限得到数值． 【详解】方法一： 由，得， 所以． 方法二： 因为， 所以． 2. 某中学生物兴趣小组观察鸢尾花时，发现“花瓣长度”和“花萼长度”总是一起变化，选取样本调查所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ） A. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关 B. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关 C. 花瓣长度和花萼长度没有相关性 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】对于AB，散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，故A错误，B正确； 对于C，根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故C错误； 对于D，由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱， 即取出的数据的相关系数不一定是，故D错误. 3. 2026年河南省篮球城市联赛正在火热进行中，5名志愿者将前往郑州、焦作、商丘3个城市开展志愿服务工作，若要求每个城市都要有志愿者，则志愿者的分配方案总数为（ ） A. 150 B. 120 C. 300 D. 50 【答案】A 【解析】 【详解】分两类计算 第一类：先分组，将5名志愿者分为2、2、1，共有种分组方式，再分配，种方式，所以有种方式， 第二类：将5名志愿者分为3、1、1，共有种分组方式，再分配，种方式，所以有种方式， 所以志愿者的分配方案总数为. 4. 某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试成绩，若．则数学成绩在110分以上人数约为（ ） A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 【答案】D 【解析】 【详解】因为，由正态分布的性质可得，. 所以人数为人. 5. 若二项式展开式中，二项式系数最大的项是第3项和第4项，则该展开式的第4项的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】因为二项式系数最大的项是第3项和第4项，则展开式共6项，故， 所以二项式展开式的第4项为，系数为. 6. 近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、的值，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可得， “甲和乙中有一人选择龙门石窟，另一人不选择龙门石窟”，则， 由条件概率公式可得. 7. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，题意即递增.由恒成立，得对任意恒成立，又，故，且可行，可得答案. 【详解】函数定义域为， 由等价于：，即：， 令，则题意等价于在上严格递增. 求导：，若严格递增，则必须有， 即，，对任意恒成立. 而，所以：， 再验证时：，等号仅在处成立， 因此在上严格递增，满足题意. 所以实数的取值范围为：. 8. 已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为， 即，令， 解得，， 所以，， 所以或，当时，，不符合题意，舍去， 所以，此时， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个变量相关性越强，则样本相关系数r就越接近于1 B. 两个拟合模型A，B的决定系数分别为和，若模型A的拟合效果好，则 C. 若随机变量X服从两点分布，其中，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则， 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A， 叫做变量与之间的样本相关系数, 相关程度越小， 越接近0， 相关程度越大, 越接近 1, 但是可能越接近, A错误; 对于B: 当越接近于1，拟合效果越好, 若模型A的拟合效果好，则，B正确; 对于C，随机变量X服从两点分布，，， 则，, C正确; 对于D，，结合得：，D正确. 10. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象，利用极值点、极值的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知在左右两侧均有，所以不是的极值点，故选项A错误， 对于选项B，由图知在左右两侧的符号：左侧，右侧， 所以函数在处有极小值，故选项B正确， 对于选项C，根据图象可知，有个极值点，左右两侧均有， 所以不是的极值点，故选项C错误， 对于选项D，由的图象知，在左侧单调递增，在右侧单调递减， 所以在处有极大值，故选项D正确， 故选：BD. 11. 如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动4次，质点最终位置对应的实数为随机变量X，则下列说法正确的是（ ） A. 该质点最终回到原点的概率为 B. 该质点最终位于原点右侧的概率为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，质点最终回到原点即向左向右行动的次数一致，即可求解概率；对于选项B，若位于右侧则说明向右行动次数大于向左的次数；对于选项C，若X等于，则向左移动三次，向右移动一次，根据独立重复事件概率公式即得；对于选项D，求解X的数学期望就可先把分布列求出，进而求解数学期望. 【详解】选项A：质点最终回到原点即向左向右行动的次数一致，即向左两次，向右两次，所以概率为，故A正确. 选项B：质点位于原点右侧即向右行动次数大于向左的次数，有两种情况，第一种情况，4次均向右移动则，第二种情况向右移动3次，向左移动一次，则， 所以质点位于原点右侧的概率为，故B错误. 选项C：即向左移动3次，向右移动1次，所以，故C正确. 选项D：X可取值为. ，，， ，， 随机变量X的分布列为： 0 2 4 所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 在的展开式中，含项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先式子变形为，再根据项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】已知， 中含有项为， 中含有项为， 因此，含项的系数为. 13. 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=______．（用分数表示结果） 【答案】 【解析】 【详解】取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个， 黑球相应个数为0，1，2，3个， ∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10， ∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6） 故答案为： 14. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，令，，利用导数分析可知在定义域内单调递减，结合单调性解不等式即可. 【详解】因为，且，可得， 令，，可得， 则， 因为，即， 则，可知在定义域内单调递减， 又因为，则， 即，解得， 所以不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 立足“天地之中、华夏之源、功夫郑州”城市文旅品牌，依托少林寺、只有河南·戏剧幻城等核心景区，郑州精心打造功夫玩偶、考古盲盒、姓氏书签、文物冰箱贴等一系列具有中原文化底蕴的文创产品．某重点景区统计发现：景区日均客流量越大，文创产品日均销售额越高，数据如下： 景区日均客流x（万人次） 2 3 4 5 6 文创产品日均销售额y（万元） 8 11 14 16 19 （1）求出y关于x的线性回归方程； （2）若该景区日均客流达到7万人次，预测文创产品日均销售额． 参考公式：， 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）先求出平均值并代入最小二乘法公式计算出斜率，再利用样本中心点满足回归方程的性质求出截距，即可求得线性回归方程 （2）将直接代入第一问求得的线性回归方程中，计算得出对应的销售额预测值. 【小问1详解】 ，， ， ， 则，， 所以 【小问2详解】 令得， 故预测文创产品日均销售额为万元. 16. 已知展开式的二项式系数和为512，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求被7除的余数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过配凑法将原式配凑出含有的结构，再利用二项式定理的通项公式直接求出目标系数. （2）采用赋值法，分别令获取所有系数总和、令获取常数项，两者相减即得目标系数和. （3）利用二项式定理将底数拆分为除数的倍数+余数，从而批量去掉所有能被整除的项，即可求得余数. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以， 则，展开的通项为， 令，即的系数. 【小问2详解】 令，即，则有， 即， 令，即，则有，即， 所以. 【小问3详解】 ， 因为能被7整除， 被7除的余数为， 所以被7除的余数. 17. 已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中信息可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，再结合极值点的定义验证，即可得出函数的解析式； （2）求出函数的增区间，根据题意可知区间是增区间的子集，可得出区间的包含关系，由此可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， ，解得， 即，所以， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由，， 由可得或，故函数的增区间为和. 因为函数在区间上单调递增，所以，解得， 且有或， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 18. 为评估师生食堂就餐频率与满意度之间是否存在关联，某大学后勤管理部门在该校随机抽取了名师生进行调查，收集整理得到了如表的数据： 就餐频率 高满意度 低满意度 合计 就餐频繁（每周次） 70 30 100 就餐不频繁（每周次） 50 50 100 合计 120 80 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为食堂就餐频率与满意度之间有关联； （2）已知样本中学生人数为人，其中高满意度人数为人，教师人数为人，其中高满意度人数为人．以样本频率估计总体的概率，从全校的学生和教师中各随机抽取名，设这人中学生和教师的高满意度人数分别为和，令，求的分布列． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，可以认为食堂就餐频率与满意度之间有关联 （2）的分布列为 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）设零假设为两变量无关联，代入列联表数据计算卡方值，将其与对应的临界值比较，卡方值更大则拒绝假设，判定二者存在关联； （2）先算出学生、教师抽取高满意度人员的概率，分别求出取的概率，找出的所有取值，分类组合对应情况，结合独立事件概率公式累加算出各取值的概率，写出分布列． 【小问1详解】 零假设：食堂就餐频率与满意度之间无关联， 根据表中数据，得， 因为，所以零假设不成立， 所以依据小概率值的独立性检验，可以认为食堂就餐频率与满意度之间有关联； 【小问2详解】 由题知，样本中学生的高满意度频率为，教师的高满意度频率为 用样本频率估计总体的概率，可得 ，，， ，， 的可能取值为， 则 ， ． 所以的分布列为 0 1 2 P 19. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，无单调增区间， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. （3） 【解析】 【分析】(1)利用函数求导求解处的切线斜率并计算切线方程. (2)求导后通过对范围的分类讨论来求得各个情况下的单调区间. (3)通过恒成立条件化简为关于的不等式并构造新函数，通过单调性求解其极值. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得 ， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ②当时，由，得或，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. ④当时，可得恒成立，则函数在上单调递减， 所以当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为， 当时，函数的单调减区间为，无单调增区间， 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 【小问3详解】 当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令，求导得， 故函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期期末考试 高二数学试题卷（六） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 2. 某中学生物兴趣小组观察鸢尾花时，发现“花瓣长度”和“花萼长度”总是一起变化，选取样本调查所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ） A. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关 B. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关 C. 花瓣长度和花萼长度没有相关性 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 3. 2026年河南省篮球城市联赛正在火热进行中，5名志愿者将前往郑州、焦作、商丘3个城市开展志愿服务工作，若要求每个城市都要有志愿者，则志愿者的分配方案总数为（ ） A. 150 B. 120 C. 300 D. 50 4. 某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试成绩，若．则数学成绩在110分以上人数约为（ ） A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 5. 若二项式展开式中，二项式系数最大的项是第3项和第4项，则该展开式的第4项的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 80 6. 近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（） A. B. C. D. 8. 已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个变量相关性越强，则样本相关系数r就越接近于1 B. 两个拟合模型A，B的决定系数分别为和，若模型A的拟合效果好，则 C. 若随机变量X服从两点分布，其中，则 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则， 10. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在处有极小值 B. 函数在处有极小值 C. 函数在区间内有个极值点 D. 导函数在处有极大值 11. 如图，一质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动4次，质点最终位置对应的实数为随机变量X，则下列说法正确的是（ ） A. 该质点最终回到原点的概率为 B. 该质点最终位于原点右侧的概率为 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 在的展开式中，含项的系数为__________． 13. 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=______．（用分数表示结果） 14. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 立足“天地之中、华夏之源、功夫郑州”城市文旅品牌，依托少林寺、只有河南·戏剧幻城等核心景区，郑州精心打造功夫玩偶、考古盲盒、姓氏书签、文物冰箱贴等一系列具有中原文化底蕴的文创产品．某重点景区统计发现：景区日均客流量越大，文创产品日均销售额越高，数据如下： 景区日均客流x（万人次） 2 3 4 5 6 文创产品日均销售额y（万元） 8 11 14 16 19 （1）求出y关于x的线性回归方程； （2）若该景区日均客流达到7万人次，预测文创产品日均销售额． 参考公式：， 16. 已知展开式的二项式系数和为512，且． （1）求的值； （2）求的值； （3）求被7除的余数． 17. 已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 18. 为评估师生食堂就餐频率与满意度之间是否存在关联，某大学后勤管理部门在该校随机抽取了名师生进行调查，收集整理得到了如表的数据： 就餐频率 高满意度 低满意度 合计 就餐频繁（每周次） 70 30 100 就餐不频繁（每周次） 50 50 100 合计 120 80 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为食堂就餐频率与满意度之间有关联； （2）已知样本中学生人数为人，其中高满意度人数为人，教师人数为人，其中高满意度人数为人．以样本频率估计总体的概率，从全校的学生和教师中各随机抽取名，设这人中学生和教师的高满意度人数分别为和，令，求的分布列． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若时，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $