精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下学期7月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是 A. B. C. D. 6. 已知函数的图象在点处的切线经过坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 8. 将数列 2，4， 6， 8， 10， 12， 14， 16 分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的最大可能值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 命题“，有”的否定是“，使” C. 的最小值为2 D. 若，则 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 11. 已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 实数的取值范围是 B. 的单调递减区间为， C. D. 函数有4个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 14. 从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则选法有________种． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的最小正周期及在上的单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交BC于D，求AD的长． 16. 如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. （1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； （2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 18. 已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. （1）求双曲线E的方程； （2）过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设是函数的两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义可得. 【详解】由不等式，可得；又因为，因此. 又因为，所以. 2. 设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算，共轭复数概念得出，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限. 3. 已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设与的夹角为， 在边长为的等边中， 连接并延长交于点，则垂直平分， 所以， 又因为点为的重心，则， 所以， 为在上的投影， 其最小值为，最大值为. 所以， 所以． 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若有两解，则， 又因为，，所以，所以， 所以b的取值范围是. 5. 设函数满足，且是上的增函数，则，，的大小联系是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中条件，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出，下一步应用是上的增函数，得到函数是的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小. 【详解】根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即. 故选：A. 6. 已知函数的图象在点处的切线经过坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数在点处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数的值. 【详解】，，切点为， ，， 所以，函数的图象在点处的切线方程为，由于该直线过原点， 则，解得，故选A. 【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 8. 将数列 2，4， 6， 8， 10， 12， 14， 16 分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的最大可能值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先得到原数列各项之和为，利用最大和，得到，在验证满足条件，即可求解. 【详解】原数列总和. 设新数列首项为，公差为，则 . 最大和. 因为且 ，所以 . 代入得到. 若 ，则 . 新数列为 . 要凑出最大和，必须用，其余数字凑出，满足条件 故的最大可能值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 命题“，有”的否定是“，使” C. 的最小值为2 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】取时，无意义，再结合充要条件的定义即可判断；根据全称命题的否定形式即可判断；利用函数的单调性求出最值即可判断；结合不等式的性质即可判断. 【详解】对A，由，取时，无意义，故错误； 对B,命题“，有”的否定是“，使”，故正确； 对C,设，令， 则在上单调递增， 所以当时，，故错误； 对D,，则， ，， 不等式两边同时除以可得：，故正确； 故选：. 10. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；C.利用点差法求直线方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断. 【详解】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 实数的取值范围是 B. 的单调递减区间为， C. D. 函数有4个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换可化简求解. 【详解】解法一： 所以. 解法二：由积化和差公式得， 所以. 解法三：由和差化积公式得. 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 14. 从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则选法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】因为，故不妨设元素少的为，元素多的为，为的真子集，讨论，所含元素个数，利用二项式定理和分组求和求解． 【详解】当为空集时，可以包含个元素， 所以共有种选法； 当只含有1个元素时，可以包含个元素， 所以共有种选法； 当只含有2个元素时，可以包含个元素， 所以共有种选法； 当只含有3个元素时，包含个元素， 所以共有种选法； 当只含有个元素时，可以包含个元素， 所以共有种选法； ……… 当有个元素时，包含个元素， 所以共有种选法； 当有个元素时，包含个元素， 所以共有种选法； 故共有 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的最小正周期及在上的单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交BC于D，求AD的长． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为和 （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式得，再由三角函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，再利用等面积法结合三角形的面积公式建立方程，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为， 由，得到， 则时，，时，， 又，则或 ， 故在上的单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）知， 则，即， 所以，解得， 又，所以， 而的平分线交于，且，即， 由，则， 即，解得. 16. 如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点. （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形中，于点，故翻折后，， 又因为平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过折叠性质，可得平面，再结合面面垂直的判定定理，即可证明； （2）根据几何体体特征，可得四棱锥外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，建立空间直角坐标系，设，由，得，进而可求外接球的表面积； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出平面与平面的法向量，再结合二面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在梯形中，因为，，，，于点，于点， 所以四边形为矩形，且，，，. 取的中点，连接，则，且， 因为平面，平面，故，所以，，两两垂直. 所以以为原点，过点与平行的直线为轴，以直线为轴，以直线为轴，建立空间直角坐标系如下图所示， 所以，，，，， 因为四边形为矩形，所以与的交点到，，，的距离相等， 所以四棱锥外接球的球心在过且与平面垂直的直线上， 设，外接球的半径为，由，得，解得， 所以，所以四棱锥外接球的表面积. 【小问3详解】 由（2）得，，， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 设平面的法向量为， 则，则， 令，得一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. （1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； （2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为分别求出，，，由题意得到的所有可能取值，分别求出每个可能取值的概率，求出的分布列和数学期望. 【小问1详解】 记随机选择甲､乙､丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为， 则， 由题意得， 所以 . 【小问2详解】 记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为 则 由题意得的所有可能取值为 则 . . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望为. 18. 已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点. （1）求双曲线E的方程； （2）过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，. （i）求证：； （ii）若，求t的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出，再代点求解得到双曲线的标准方程. （2）（i）根据题意，过双曲线E上点M的切线，利用斜率公式直接化简可得； （ii）由，故，因为，，又因为，代入，求得. 【小问1详解】 因为双曲线离心率为， 则， 又因为过点，则，得， 所以双曲线E的方程为； 【小问2详解】 （i）根据题意，点，过双曲线E上点M的切线， 则，， 所以，，， 则， 则； （ii）由， 故， 又（为点到直线l的距离）， 则， 因为，， 又因为，代入， 得，又因为， 化简得， 即， 则， 可得， 因为， 所以， 即，因为点不可能为双曲线顶点，即， 又，所以. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； （3） ， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得， 令，则， 得， 则， 所以 ， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）求导，然后求出，，根据点斜式写出直线方程； （2）求导，然后分和讨论求的单调区间； （3）根据极值点为导函数的零点，令，利用韦达定理将用表示，代入，构造函数求其最值即可. 【小问1详解】 当时，， 得，则，， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增，无减区间， 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令达到消元的目的，常用的换元有等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $