25.2.1 配方法（第2课时）-教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦配方法解一元二次方程，通过回顾直接开平方法的“降次”本质与开平方条件，设问普通方程能否转化为完全平方式，搭建新旧知识桥梁，作为学习支架。 以分层例题（二次项系数1与非1）引导探究，追问配方原理（加一次项系数一半平方的依据），培养推理意识与运算能力，综合拓展练习（因式分解、最值问题）发展应用意识，助学生理解化归思想，教师可借反思优化教学，提升课堂效率。

分课时教学设计 《25.2.1 配方法（第2课时）》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课时承接上一课时直接开平方法，是衔接简单开平方与通用求根公式的核心过渡课时，在整章解方程板块起到承上启下的关键作用．学生已会解型方程，本节课通过探究普通一元二次方程转化为完全平方式的方法，引出配方法，延续“降次转化”核心思想．配方法不仅是独立解法，更是后续推导求根公式、研究二次函数顶点式的必备工具，完善学生整式方程求解体系．教材由二次项系数为1到系数不为1分层例题，兼顾运算训练与逻辑推理，结合完全平方公式旧知实现知识迁移，渗透化归思想，让学生理解陌生方程向熟悉题型转化的通用解题思路，提升代数变形与分类讨论素养，是落实本章运算核心能力的关键一课． 学习者分析 学生已熟练掌握完全平方公式，上节课已经学会直接开平方法，理解降次解题思路，具备本课学习基础．但学生存在明显认知短板：难以自主想到给方程两边添加常数构造完全平方式，不清楚添加“一次项系数一半的平方”的原理；二次项系数不为1时，容易忘记先化系数为1再配方，移项、配方时常出现符号、计算错误；对配方的本质理解浅层，仅机械模仿步骤，不能主动联系之前学的直接开平方法；面对配方后p<0无实数根的情况，分类判断意识薄弱，需要分层例题分步引导拆解难点． 教学目标 1．探究完全平方式结构，掌握二次项系数为1时配方的核心操作：加一次项系数一半的平方． 2．学会将一元二次方程通过配方转化为完全平方式，再用直接开平方法求解． 3．理解配方本质是构造完全平方式实现降次，感受转化、化归数学思想． 教学重点 掌握配方法解一元二次方程完整步骤，能对二次项系数为1、不为1的方程正确配方，转化为完全平方式后开平方求解． 教学难点 理解配方时两边同加一次项系数一半平方的原理，深刻体会配方构造完全平方式、实现降次的化归思想． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．探究完全平方式结构，掌握二次项系数为1时配方的核心操作：加一次项系数一半的平方． 2．学会将一元二次方程通过配方转化为完全平方式，再用直接开平方法求解． 3．理解配方本质是构造完全平方式实现降次，感受转化、化归数学思想． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性． 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1．解一元二次方程的实质是什么？ 答案：降次，将一元二次方程转化为两个一元一次方程． 2．直接对方程两边进行开平方满足的条件是什么？ 答案：方程的一边为完全平方式，另一边为非负数． 导言：解方程时，因为它的左边是含有的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢? 学生活动2： 学生积极回答问题 活动意图说明： 以两个问题回顾直接开平方法核心要点，巩固“降次”本质与开平方前提，再依托已学方程实例自然设问，制造认知冲突，激发学生探究普通一元二次方程转化为完全平方式的欲望，顺利引出配方法新知，搭建新旧解法的思维桥梁，渗透转化化归思想. 环节三：新知讲解 教师活动3： 探究：怎样解方程? 分析：要把方程转化为像这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. 为此，对方程移项，得 由，将上述方程两边同时加，即9，方程左边就可以配成形式的完全平方式，即 左边写成完全平方形式，得 解这个方程，得 可以验证，是方程的两个根. 追问1：为什么在方程的两边加9? 预设：完全平方公式，方程左边是 ，对应 2ab=6x ，即一次项系数 6，一半是 3，32=9. 两边同时加 9，左边就能凑成完全平方式：，从而转化为可直接开平方的形式，实现 “降次” 解方程. 追问2：加其他数行吗? 预设：等式变形的目标是把左边配成完整的完全平方式，只有添加一次项系数一半的平方，才能凑出标准完全平方式；加别的数无法构造的结构，不能继续用直接开平方法求解，因此不可以加其他数字. 归纳：配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 注意： 配方法的目的：降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解； 配方法的依据：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 ． 例：解下列方程: (1)；(2)；(3). 分析:(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. (2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 解:(1)移项，得 配方，得 由此可得 (2)移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得 (3)移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以取任何实数时，都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 归纳：用配方法解一元二次方程的步骤 一移：将常数项移到方程的右边． 二化：二次项系数不是1时要化为1； 三配：两边都加上一次项系数一半的平方． 四解：利用直接用开平方法求出方程的解． 强调：一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 的形式. (1)当时，方程有两个不相等的实数根 (2)当时，方程有两个相等的实数根 (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根. 学生活动3： 学生先独立思考，然后小组合作探究、班内交流后认真听老师的点评和讲解 活动意图说明： 依托完全平方公式引导学生自主探究配方关键操作，分层设置二次项系数为1、不为1的例题，规范配方完整步骤，结合p取值分类判断根的情况。全程紧扣降次转化思想，化解配方难点，为推导求根公式铺垫，锻炼学生代数变形、逻辑推理能力，完善一元二次方程解法体系. 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系． 板书设计 课题：25.2.1配方法（第2课时） 一、配方法的概念 二、配方法的步骤 三、配方法的关键 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 答案：A 2．将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 答案：9 3．用配方法解下列方程． (1)； (2) 解：（1） ， ， ， ， ， . （2） ， ， ， ， ，． 选做题： 4．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 解：（1） ； （2） ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 答案：B 2．把方程化为的形式，则的值是___________． 答案：3 3．用配方法解下列方程． (1) (2) 解：（1）原方程化为， ， ，即， ，； （2）原方程化为， ， ， ，即， ，； 选做题： 4．如图，是佳佳用配方法解方程时的过程，她在解答过程中开始出错的步骤为（   ） 解：，① ，② ，③ ，．④ A．① B．② C．③ D．④ 答案：B 【综合拓展类作业】 5．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 解：（1）， 其中只有是两个平方数的和， ； （2） ， ， ； （3）， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 教学反思 本节课由直接开平方法的旧知设问引入配方法，借助完全平方公式推导配方操作，多数学生能掌握二次项系数为1的基础配方．但课堂暴露出不少问题，部分学生处理二次项系数不为1的方程时，遗漏先化系数为1的步骤；配方时常只在左边加常数，忽略等式右边同步变形．后续可增加对比纠错练习，通过反例让学生理解等式性质，增设小组讨论梳理配方逻辑，强化“降次转化”思想的理解． 学科网（北京）股份有限公司 $