精品解析：湖南省郴州苏仙区2025-2026学年下学期八年级统考数学期末考试卷

2026年上学期期末教学质量监测试卷 八年级数学 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题；的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在郴州市苏仙区的地域文化符号体系中，“福、禄、寿、仙”四字常被提炼为极具辨识度的传统纹样图标，承载着当地对美好生活的祈愿与文化传承．下列关于这四个纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “元宇宙”的英语单词“”中，字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小文想估测被假山隔开的，两棵树之间的距离，他先在外选一点，然后测出，的中点，，若测出的长为14米，则估测，两棵树间的距离约为（ ） A. 14米 B. 28米 C. 20米 D. 24米 4. 下列关于一次函数的图像信息正确的是（ ） A. 图像过二、三、四象限 B. 图像过原点 C. 与轴相交于点 D. 与轴相交于点 5. 将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题是假命题的是（ ） A. 如果一个多边形的每个外角都是，那么其内角和为 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 7. 如图，的对角线，相交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在和中，，，点，分别为，的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，若的周长是10，则的周长为（ ） A. 22 B. 24 C. 20 D. 44 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，那么下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最大值是15 D. 在段时，与之间的函数解析式为 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中自变量的取值范围是________． 12. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为9.3环，方差分别为，，，则三人中成绩最稳定的选手是______． 13. 小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 14. 已知点与点关于轴对称，则______． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为____． 16. 如图所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图所示，则点的坐标为______；下列结论正确的有______．（填序号） ①； ②边所在直线的解析式为； ③的面积为． 三、解答题（本大题共8个小题，第17-21每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，且时，． （1）求的值； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）平移得，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______； （3）求的面积． 19. 2026年4月7日，长征八号运载火箭在海南商业航天发射场发射并取得圆满成功．为弘扬航天精神、传承航天文化，某中学开展“致敬航天人，共筑星河梦”演讲比赛，共有30名选手进入决赛．五位评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三项为每位选手打分，各项成绩均按百分制计，取五位评委的平均分作为该项成绩，再将演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩依次按的比例计算每人的总评成绩．现将七、八年级进入决赛的选手各随机抽取15名，其总评成绩整理如下： 【部分信息】 信息1：七年级15名选手总评成绩（单位：分）：53，53，56，57，63，65，72，75，78，85，85，88，90，91，98； 信息2：八年级15名选手总评成绩在范围内的有：81，82，84，86，87； 信息3：甲、乙两名选手单项成绩及总评成绩表： 选手 单项成绩/分 总评成绩/分 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 84 78 82 81 乙 81 85 信息4：30名决赛选手总评成绩频数分布直方图如下（部分数据缺失） 根据以上信息，解答下列问题： （1）给乙同学打出的演讲效果分数如下（五位评委）：80，82，82，85，86中，中位数是______分，众数是______分，平均数是______分；乙同学的总评成绩______分； （2）补全30名决赛选手总评成绩频数分布直方图，同时学校决定根据总评成绩择优选出15名选手评奖，请判断甲，乙两名选手能否获奖； （3）若该校七年级有750名学生，八年级有800名学生，按决赛选手的优秀率（总评成绩分为优秀），估计该校七，八年级学生中，能达到演讲比赛优秀水平的总人数是多少？ 20. 如图，在中，点，分别是边，的中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 苏仙区大力推进非遗文旅融合发展，助力乡村振兴，当地非遗工坊主打两款特色非遗手作：湘南竹编挂饰、栖凤渡非遗木雕摆件．已知生产2件竹编挂饰和3件木雕摆件共需成本110元；生产3件竹编挂饰和2件木雕摆件共需成本100元． （1）求每件湘南竹编挂饰、栖凤渡木雕摆件的生产成本分别为多少元？ （2）该工坊承接文旅景区订单，计划一共生产这两款非遗手工艺品80件，要求木雕摆件数量不超过竹编挂饰数量的2倍．设生产竹编挂饰件，销售总利润为元．已知每件竹编挂饰可获利12元，每件木雕摆件可获利15元． ①求与之间的函数关系式； ②如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】： （1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点： （3）连线 【问题解决】 （1）表格中的值为______，的值为______； （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【探究性质】 （3）观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，的值随值的增大而减小； ③当时，该函数存在最小值，最小值为； ④当时，． ⑤若，两点都在该函数图象上，且，则． 其中正确的是_______________．（请填写正确命题的序号） （4）在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解为__________________________． 23. 综合与实践 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，已知正方形的面积为4，求两个正方形重叠部分的面积（阴影部分面积）． （2）如图2，连接，若正方形的顶点B在线段上，则线段，，满足关系，请你给出证明． （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，请判断与的数量关系，并说明理由． 24. 如图1，在中，，，过点、分别作直线的垂线，垂足为，，即，．解决下列问题． （1）求证：． （2）如图2，在平面直角坐标系中，且．已知点的坐标为，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标． （3）如图3，直线分别交轴，轴于点，．点在轴上且，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末教学质量监测试卷 八年级数学 （时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题；的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在郴州市苏仙区的地域文化符号体系中，“福、禄、寿、仙”四字常被提炼为极具辨识度的传统纹样图标，承载着当地对美好生活的祈愿与文化传承．下列关于这四个纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. “元宇宙”的英语单词“”中，字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定单词的总字母数，得到字母出现的频数，再根据频率公式计算结果. 【详解】解：单词中共有个字母，其中字母出现了次， 字母出现的频率为. 3. 如图，小文想估测被假山隔开的，两棵树之间的距离，他先在外选一点，然后测出，的中点，，若测出的长为14米，则估测，两棵树间的距离约为（ ） A. 14米 B. 28米 C. 20米 D. 24米 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点M，N分别为，的中点， ∴为的中位线， ∵的长为14米， ∴（米）. 4. 下列关于一次函数的图像信息正确的是（ ） A. 图像过二、三、四象限 B. 图像过原点 C. 与轴相交于点 D. 与轴相交于点 【答案】D 【解析】 【分析】根据和的取值判断函数图像经过的象限，再分别验证函数过定点和与坐标轴交点的情况，即可选出正确选项． 【详解】解：对于一次函数，可得，， ∵ ，， ∴ 函数图像经过一、二、四象限，故A错误； 把代入函数得，因此图像不经过原点，故B错误； 求函数与轴交点，令，得， ∴ 函数与轴交于点，故C错误； 求函数与轴交点，令，得 ，解得， ∴ 函数与轴交于点 ，故D正确． 5. 将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了四分位数与箱线图，理解箱线图各数字表示的含义是解题的关键．根据箱线图从上到下的数据依次是极大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值求解即可． 【详解】解：根据题意得，这10名同学身高的上四分位数是． 故选：B． 6. 下列四个命题是假命题的是（ ） A. 如果一个多边形的每个外角都是，那么其内角和为 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【详解】对选项A，∵任意多边形外角和为，该多边形每个外角为，∴边数，∴内角和为，A是真命题； 对选项B，根据菱形的性质，可得菱形的对角线互相垂直，B是真命题； 对选项C，根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角两边的距离相等，C是真命题； 对选项D，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，因此D是假命题． 7. 如图，的对角线，相交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质逐一分析即可. 【详解】解：、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴不一定相等，该选项错误，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，该选项正确，不符合题意． 8. 如图，在和中，，，点，分别为，的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等角对等边由得出，由得出，从而求出的长，最后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线，  ∴． 9. 如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，若的周长是10，则的周长为（ ） A. 22 B. 24 C. 20 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形的周长公式和线段的和差关系可推出，再由平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分，  ，  的周长是，   ，  ，即，  四边形是平行四边形，  ，， 的周长． 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，那么下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最大值是15 D. 在段时，与之间的函数解析式为 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象判断出矩形的边长和，进而求出和的长，结合三角形面积公式分别分析各选项即可． 【详解】由图2可知，当从0增加到5时，随增大而增大，此时在上，故； 当从5增加到11时，不变，此时在上，故 ；   四边形是矩形，  ，． 对于C，当在上时，面积最大，  ，故C正确； 对于A，当时，，点在上，此时，故A正确； 对于D，当在上时，， 此时， ，故D正确； 对于B，当时， 若在上，，令，解得； 若在上，，令，解得；   当时，或，故B不正确． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合分式分母不为0，二次根式被开方数非负的要求列不等式求解. 【详解】解：根据题意，要使有意义，需满足被开方数大于0（分母不为0）， 即 ， 解得. 12. 甲、乙、丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为9.3环，方差分别为，，，则三人中成绩最稳定的选手是______． 【答案】 甲 【解析】 【分析】方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，数据的离散程度越大，稳定性越差；方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好，比较三个方差的大小即可求解. 【详解】解：，，， ， 三人中成绩最稳定的选手是甲. 13. 小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入已知函数关系式，计算即可得到电阻的值即可． 【详解】解：把代入得：， 即当温度时，电阻． 14. 已知点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 点与点关于轴对称， ，， ． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为____． 【答案】24 【解析】 【分析】证明出四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，得到，然后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是菱形 ∴，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 16. 如图所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图所示，则点的坐标为______；下列结论正确的有______．（填序号） ①； ②边所在直线的解析式为； ③的面积为． 【答案】 ①. ②. ①③ 【解析】 【分析】首先求解点的坐标，结合函数图象，可得，点；当时，直线被的边截得的线段长度达到最大值，且此时直线经过点，结合函数图象可得，继而得到的面积为；利用待定系数法得到直线的解析式，进而根据直线经过点时的平移规律得到此时的函数解析式，联立与直线的解析式得到交点的坐标，进而得到的值． 【详解】解：当时，解得：， ∴点的坐标为， ∴， 由函数图象可知：当时，直线经过点， ∴， ∴， ∴点； 由函数图象可知：当时，直线被的边截得的线段长度达到最大值，且此时直线经过点， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为：，故③正确； ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为，故②错误； 如图，当直线经过点时，设直线与相交于点， ∵，， ∴此时直线的解析式为：，即， ∴联立直线和直线的解析式得，解得：， ∴， ∴，故①正确． 三、解答题（本大题共8个小题，第17-21每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，且时，． （1）求的值； （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知的和的值代入原式求解； （2）根据点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入求得的函数解析式，即可计算出的值． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数解析式为， ∵点在这个函数的图象上， ∴把，代入， 得， 解得． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）平移得，若点的对应点的坐标为，则点的坐标为______，点的坐标为______； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 点的坐标为，点的坐标为； （3）7 【解析】 【分析】（1）先作出A、B、C关于原点O的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）利用所在的长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 19. 2026年4月7日，长征八号运载火箭在海南商业航天发射场发射并取得圆满成功．为弘扬航天精神、传承航天文化，某中学开展“致敬航天人，共筑星河梦”演讲比赛，共有30名选手进入决赛．五位评委从演讲内容、演讲能力、演讲效果三项为每位选手打分，各项成绩均按百分制计，取五位评委的平均分作为该项成绩，再将演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩依次按的比例计算每人的总评成绩．现将七、八年级进入决赛的选手各随机抽取15名，其总评成绩整理如下： 【部分信息】 信息1：七年级15名选手总评成绩（单位：分）：53，53，56，57，63，65，72，75，78，85，85，88，90，91，98； 信息2：八年级15名选手总评成绩在范围内的有：81，82，84，86，87； 信息3：甲、乙两名选手单项成绩及总评成绩表： 选手 单项成绩/分 总评成绩/分 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 84 78 82 81 乙 81 85 信息4：30名决赛选手总评成绩频数分布直方图如下（部分数据缺失） 根据以上信息，解答下列问题： （1）给乙同学打出的演讲效果分数如下（五位评委）：80，82，82，85，86中，中位数是______分，众数是______分，平均数是______分；乙同学的总评成绩______分； （2）补全30名决赛选手总评成绩频数分布直方图，同时学校决定根据总评成绩择优选出15名选手评奖，请判断甲，乙两名选手能否获奖； （3）若该校七年级有750名学生，八年级有800名学生，按决赛选手的优秀率（总评成绩分为优秀），估计该校七，八年级学生中，能达到演讲比赛优秀水平的总人数是多少？ 【答案】（1）82；82；83； （2）；甲，乙两名选手能获奖 （3）470人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、平均数，加权平均数的定义求解即可； （2）根据频数分布直方图以及甲乙的总评成绩分析即可； （3）根据样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：数据80，82，82，85，86中，共5个，从大到小排列后位于正中间的是82，出现次数最多的是82， ∴中位数为82分，众数为82分， 平均数为分， 乙同学的总评成绩分 【小问2详解】 解：总评成绩在范围内的有人， 补全30名决赛选手总评成绩频数分布直方图略； 根据题意得：甲同学的总评成绩为81分，乙同学的总评成绩为分，均在范围内， ∵， ∴15名选手的最低分落在范围内， ∴甲，乙两名选手能获奖； 【小问3详解】 解：人， 即该校七，八年级学生中，能达到演讲比赛优秀水平的总人数是470人． 20. 如图，在中，点，分别是边，的中点，过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）∵点，分别是边，的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，即可求证； （2）证明，再由直角三角形的性质可得，，再结合四边形是平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 21. 苏仙区大力推进非遗文旅融合发展，助力乡村振兴，当地非遗工坊主打两款特色非遗手作：湘南竹编挂饰、栖凤渡非遗木雕摆件．已知生产2件竹编挂饰和3件木雕摆件共需成本110元；生产3件竹编挂饰和2件木雕摆件共需成本100元． （1）求每件湘南竹编挂饰、栖凤渡木雕摆件的生产成本分别为多少元？ （2）该工坊承接文旅景区订单，计划一共生产这两款非遗手工艺品80件，要求木雕摆件数量不超过竹编挂饰数量的2倍．设生产竹编挂饰件，销售总利润为元．已知每件竹编挂饰可获利12元，每件木雕摆件可获利15元． ①求与之间的函数关系式； ②如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每件湘南竹编挂饰的生产成本为16元、栖凤渡木雕摆件的生产成本为26元 （2）①；②生产竹编挂饰27个，木雕摆件53个，可获得最大利润，最大利润是1119元 【解析】 【分析】（1）设每件湘南竹编挂饰的生产成本为a元、栖凤渡木雕摆件的生产成本为b元，根据“生产2件竹编挂饰和3件木雕摆件共需成本110元；生产3件竹编挂饰和2件木雕摆件共需成本100元．”列出方程组，即可求解； （2）①根据题意列出函数关系式即可； ②根据“木雕摆件数量不超过竹编挂饰数量的2倍．”求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设每件湘南竹编挂饰的生产成本为a元、栖凤渡木雕摆件的生产成本为b元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件湘南竹编挂饰的生产成本为16元、栖凤渡木雕摆件的生产成本为26元； 【小问2详解】 解：①根据题意得：， 即与之间的函数关系式为； ②∵木雕摆件数量不超过竹编挂饰数量的2倍， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值为27， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时， 即生产竹编挂饰27个，木雕摆件53个，可获得最大利润，最大利润是1119元． 22. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】： （1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点： （3）连线 【问题解决】 （1）表格中的值为______，的值为______； （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【探究性质】 （3）观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，的值随值的增大而减小； ③当时，该函数存在最小值，最小值为； ④当时，． ⑤若，两点都在该函数图象上，且，则． 其中正确的是_______________．（请填写正确命题的序号） （4）在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解为__________________________． 【答案】（1）， （2）画出函数图象如下： （3）①③⑤ （4）， 【解析】 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； 【小问2详解】 解：（1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点（3）连线，略 【小问3详解】 解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，描述正确； ②当时，的值随值的增大而增大，原描述错误； ③当时，该函数存在最小值，最小值为，描述正确； ④当时，则， ∴， 解得：或．原描述错误； ⑤若，两点都在该函数图象上，且， ∴， ∴．原描述正确； 综上：正确的是①③⑤. 【小问4详解】 解：列表如下： 描点画图如下： 根据图象直接写出方程组的解为，. 23. 综合与实践 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，又是正方形的一个顶点，已知正方形的面积为4，求两个正方形重叠部分的面积（阴影部分面积）． （2）如图2，连接，若正方形的顶点B在线段上，则线段，，满足关系，请你给出证明． （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）1 （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 根据正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：，理由： 如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）证明，得出，进而可得，即可求解； （2）连接，证明得出相等的角，得出是直角三角形，然后利用勾股定理证明； （3）连接，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，根据角的和差得到，再证明，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，，， ， ， 四边形是正方形， ． ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 24. 如图1，在中，，，过点、分别作直线的垂线，垂足为，，即，．解决下列问题． （1）求证：． （2）如图2，在平面直角坐标系中，且．已知点的坐标为，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标． （3）如图3，直线分别交轴，轴于点，．点在轴上且，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出相等的角，利用即可得出结论； （2）根据（1）的结论得出全等三角形，得出相等的边，求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式即可求解； （3）分三种情况进行讨论，结合平行四边形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点D，E，， 由（1）得， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为； 【小问3详解】 解：对于直线， 当时，，当时，， ∴点， 设点P的坐标为， 当为对角线时， ，解得：， 此时点P的坐标为； 当为对角线时， ，解得：， 此时点P的坐标为； 当为对角线时， ，解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $