第十一章 不等式与不等式（组）专项练 暑假专项提升 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 2025-2026学年人教版七年级下学期暑假不等式与不等式（组）专项卷，聚焦核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用梯度设计，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|不等式表示、性质、解集数轴表示|结合反例辨析性质（如第2题），强化推理意识| |填空题|9题|一元一次不等式定义、整数解问题|设计参数取值范围题（如第11题），提升抽象能力| |解答题|7题|解不等式（组）、与方程组综合、新定义应用|创新“梦想解”“绝对包含”题型（第23-24题），体现模型意识与应用能力|

暑假专项提升--不等式与不等式（组）专项练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）七年级下学期 一、单选题 1．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法一定正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 3．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 8．若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 9．已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 10．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 11．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是________． 12．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 13．已知关于x的不等式组的解集为，则的值是________． 14．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 15．若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有______个． 16．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 17．已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 三、解答题 18．解不等式（要求不等式解集在数轴上表示出来）． (1)； (2)． 19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20．下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式： 解：去分母，得…………① 去括号，得…………② 移项、合并同类项，得…………③ 两边都除以，得…………④ (1)填空：第①步中“去分母”的依据是________；第________步有错误，这一步错误的原因是________； (2)写出该不等式的正确解答过程． 21．已知方程组 (1)若原方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：； (3)在（1）的条件下，若，求a的最小的整数解． 22．已知关于，的方程组的解中，． (1)的取值范围为___________． (2)化简：． (3)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 23．数轴上两点，表示的数分别是，，若线段上所有点对应的数都是不等式组的解，则称不等式组对于线段“绝对包含”． (1)当，时， ①关于的不等式组，对于线段 （填“是”或“不是”）“绝对包含”． ②已知关于的不等式组且不等式组对于线段“绝对包含”，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组，若不等式组对于线段“绝对包含”，且满足，求的取值范围． 24．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D A A C B 1．C 根据 “非负数”就是，按题干描述逐步列式即可得到结果． 解：∵的可表示为， 的与的差可表示为． 又∵非负数是指大于或等于的数， ∴列出不等式为． 2．B 解：A、反例，满足，但，故A错误； B、∵，又∵， 根据不等式性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，可得， 同理，，可得， ∴，故B正确； C、取反例，满足，但，故C错误； D、取反例，满足，但，故D错误． 3．A 解：一元一次不等式有：①，不含未知数，不符合题意； ②，含有两个未知数，不符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是代数式，不符合题意； ⑤，是一元一次不等式，符合题意； ⑥，分母中含有未知数，不符合题意； 故选：A ． 4．D 先求出解集，再在数轴上表示，注意数轴上实心点与空心点的区别． 解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得， 在数轴上表示为： 5．A 设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 6．A 解：解得， 解得， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示如下： 7．C 先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 8．B 本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个， 故选：B． 9． 根据一元一次不等式的定义，可得未知数的次数为，且的系数不为，据此列关系式求解即可. 解：是关于的一元一次不等式， 且， ∵， ∴， 或， ∵， ∴， ， 故答案为 ：. 10． 本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 11． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组恰有4个整数解，得到关于的不等式，即可求解得到的取值范围． 解：由，得：， 系数化为得， 由， 得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解， 这个整数解为， ． 12． 先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 13．1 本题考查了一元一次不等式组的求解以及代数式求值，先分别求解每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集得到关于、的方程，求出、的值后，代入计算即可得到结果． 解：解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ， ， ， 解得：， ． 14． 解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组有解列出关于的不等式式子求解即可． 解：由解得：， 由解得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴． 15．2 本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组的步骤和解集的意义． 求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可． 解： 解不等式①得，， ∵不等式组无解， ∴， 满足条件的正整数n有：1,2，共2个， 故答案为：2． 16． 本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 17． 本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 18．(1)， (2)， （1）解：， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 画数轴略 （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 画数轴略 19． ，解集在数轴上表示： 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 则原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来略． 20．(1)不等式的基本性质2；④，不等式两边同时除以一个负数，不等式符号的方向没有改变 (2)解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得． （1）根据不等式的基本性质2实现去分母，再结合不等式两边同时除以一个负数，不等式符号改变进行分析，即可作答． （2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可作答． （1）略 （2）略 21．(1) (2) (3) （1）先将方程组中的两个方程相加、相减，用含a的代数式分别表示x和y，结合x为非正数，即、y为负数，即的条件，列出关于a的不等式组，求解得到a的取值范围； （2）根据（1）中a的取值范围，判断绝对值内式子的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项完成化简； （3）将用a表示的x和y，代入不等式，解关于a的不等式，结合（1）的取值范围，找出a的最小整数解． （1）解： 得， 解得， 得， 解得， ∴方程组的解为， 由题意得：为非正数，为负数， ∴，， ∴ 解得 即； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：将，代入不等式， 得， 解得， 结合（1）的条件， 得的范围为， 此范围内的整数为， ∴最小整数解为． 22．(1) (2)当时；当时；当时 (3)当时，不等式的解集为 （1）解方程组把未知数、的值用含的代数式表示出来，再根据，，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的取值范围； （2）根据的取值范围分段化简； （3）因为不等式的解集为，根据不等式的基本性质可知，结合，可知，又因为为整数，可知． （1）解：解方程组， 可得：， ，， ，    解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 即的取值范围为； （2）解：由（1）可知，， 当时， ，， ，             当时， ，， ， 当时， ，， ，      综上所述：当时； 当时； 当时； （3）解：， ， 不等式的解集为， ， 解得：， 又， ， 为整数， ， 当时，不等式的解集为． 23．(1)①是；②的取值范围是； (2)． （1）①根据新定义求解即可判断； ②先求得不等式组的解集为，根据新定义得到，据此求解即可； （2）先求得不等式组的解集为，推出，根据新定义得到，据此求解即可． （1）解：①解不等式组，得， 已知线段对应的数为，完全在内， ∴不等式组对于线段是“绝对包含”； ②不等式组， 解不等式得，， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组对于线段是“绝对包含”， ∴， 解得， 解得， ∴的取值范围是； （2）解：不等式组， 解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为， ∵且线段对应的数为，又，即，得， ∴， ∵不等式组对于线段是“绝对包含”， ∴， 解得． 24．(1) (2)，10 (3) （1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为列出不等式组，解得． （1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵，， ∴； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $