第11章 不等式与不等式组 暑假作业 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 初中数学不等式与不等式组暑假单元卷，含单选、填空、解答题，覆盖基础运算到综合应用，结合米兰冬奥会、新能源汽车等现实情境，渗透抽象能力、运算能力与模型意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|解集表示、不等式性质、方程组与不等式结合|第4题以冬奥会奖品购买为情境，考查方程整数解| |填空题|6|列不等式、不等式组无解、程序框图|第15题结合游乐园检票场景，考查动态不等关系| |解答题|9|解不等式组、含参数问题、实际应用|第23题以充电桩建设为背景，融合方程与不等式，体现模型意识；第24题通过阅读材料拓展参数取值范围，培养推理能力|

暑假作业：不等式与不等式组 一、单选题 1．不等式的解集在下列数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的方程组满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．在第25届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 5．若整数使得关于的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于的一元一次方程的解满足．则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A．15 B． C． D．22 6．已知关于x，y的方程组，给出下列结论： ①无论a取何值，都有； ②无论a取何值，都有； ③存在整数a，使得方程组的解中y是x的3倍； ④存在负整数a，使得方程组的解x，y都为正整数． 其中正确的有（     ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 7．已知实数，满足，且，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如．，，，给出如下结论：①；②若，则的取值范围是；③当时，的值为1或2；④是方程的唯一一个解，其中正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 10．x与4的和大于0，用不等式表示为______． 11．若不等式组无解，则a的取值范围是______． 12．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是____________． 13．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 14．若点在第二象限，写出一个满足条件的的值：________． 15．游乐园检票口高峰期客流持续稳定，每分钟新增7人排队检票，单个检票口每分钟最多可检票5人，营业初始有42人排队等候． （1）若临时开放3个检票口，4分钟后剩余排队人数为____________人； （2）若要保证5分钟内彻底清空所有排队人员，且全程无积压队伍增多的情况，则至少需要开放____________个检票口． 三、解答题 16．解方程组或不等式组 (1)解方程组 (2)解不等式组 17．x分别取什么值时，代数式的值满足下列要求？ (1)不大于3； (2)不小于的值． 18．已知，当时，；当时，． (1)求a、b的值； (2)求当时，y的值； (3)当时，求x的取值范围． 19．已知关于x，y的方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，是否存在一个整数使不等式的解集为．若不存在，请说明理由；若存在，请求出这样的整数值m． 20．已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围． 21．荷藕是宝应当地特色农产品，眼下正值荷藕集中采摘期．某个种藕大户租用8台大、小两种型号的采藕机，就完成了10亩藕田的采摘．已知每台大型采藕机完成2亩藕田的采摘，每台小型采藕机完成1亩藕田的采摘． (1)这个种藕大户租用了大、小型采藕机各多少台？ (2)若所有采藕机全天作业，为保障机械正常运转、延长设备寿命，要求每台采藕机每天工作时长不超过休息时长的3倍．求每天每台采藕机工作多长时间时，当日采摘藕田面积最大，并求出每天最多可采摘藕田多少亩？ 22．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 23．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 24．【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围．”有如下解法： 解：， ， 又， ， ， 又， ①， 同理②， 由得， 的取值范围是． 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是 ； (2)已知，且，，试确定的取值范围（用含有a的式子表示）； 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题； (3)已知，且，，试确定的取值范围． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D D B B B A D B 1．A 【详解】解：解不等式得：, 在数轴上表示只有A符合题意． 2．D 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式基本性质是解题关键；不等式基本性质为：不等式两边同时加(或减)同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变；根据性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵， A选项，不等式两边同时加5，不等号方向不变，得 ，故A错误； B选项，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，得，故B错误； C选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，得，故C错误； D选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得，故D正确； 3．D 【分析】直接将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程组， 由②①得， 即， 又∵， ∴，解得． 4．B 【分析】根据总资金列出方程，再结合x，y为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案. 【详解】解：设购买笔记本个，钢笔个，均为正整数， 由题意得 两边同除以化简得 整理得 ∵是正整数，与互质， ∴必须是的倍数， 又∵， ∴，解得， 结合可得，的取值为，共种不同取值， 故有种购买方案. 5．B 【分析】先解不等式组得到解集，根据整数解的个数确定a的范围，再解方程根据确定a的另一个范围，找出符合条件的所有整数a再求和即可． 【详解】解：解不等式组 解不等式①，得，化简得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组有且仅有4个整数解，4个整数解为 ∴ 不等式两边同乘4得，解得 解方程 去分母得，展开化简得 ∵， ∴， 解得 综上可得， ∵为整数， ∴ 所有满足条件的整数的和为． 6．B 【分析】通过加减消元可判断①②；结合②中结论及列方程组，求出方程组的解，进而求出a的值，可判断③；用a的式子表示出题干中方程组的解，根据x和y的值都为正整数，列不等式组，求出a的取值范围，可判断④． 【详解】解：由原方程组消去x，得，故①错误； 由原方程组消去a，得，故②正确； 由得，进一步解得，不是整数，故③错误； 由原方程组解得，当x和y的值都为正整数时，解得， 此时存在负整数a的值为，，使得方程组的解都为正整数；故④正确． 综上可知，正确的有②④． 7．A 【分析】本题考查二元一次方程和代数式取值范围的求解，解题思路是利用已知方程将其中一个未知数用另一个未知数表示，代入所求代数式得到关于单个未知数的一次式，再根据已知的未知数范围，不等式变形得到所求代数式的取值范围． 【详解】， 移项整理得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 即； 8．D 【分析】将方程组的两个方程相加，整理出的表达式，再代入不等式，解关于的一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解： 由，得， 整理得， ， ， 不等式两边同乘，得， 移项得， 系数化为，得． 9．B 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，逐个判断四个结论的正误，统计正确结论的个数即可得到答案． 【详解】解：①取，得，则， ，①错误； ②根据的定义，若（为整数），则不超过的最大整数是，，②正确； ③当时，分三种情况讨论： 当时，，，则，，和为； 当时，； 当时，，，则，，和为；因此的值为或，③正确； ④设，为整数，满足， 则方程为， 整理得， 代入不等式得：， 解得， 为整数， ， 当，代入方程成立； 当，代入方程成立； 因此方程有两个解，即或，故④错误， 正确的结论为②③，共2个． 10． 【分析】本题考查列不等式，根据题干描述的不等关系，列出对应不等式即可． 【详解】解：根据题意，x与4的和为，该和大于0， 因此可得不等式． 11． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别求解两个一元一次不等式，再根据不等式组无解的条件得到关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组无解， ， 解得， 故答案为． 12． 【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果． 【详解】解：∵输入x后程序操作进行了两次就停止， ∴， 解得， ∴x的取值范围是． 13． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 14． （答案不唯一，任意满足的值均可） 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，在范围内取一个值即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得． 任意取一个满足的值即可，例如． 15． 10 4 【详解】解：（1）初始排队：42人， 4分钟新增人数：人， 3个检票口4分钟检票总量：人， 剩余人数人； （2）设需要开放x个检票口， 由题意得：， 解得， ∴检票口数量为整数，故x最小取4． 即至少需要开放4个检票口． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： 得， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， 所以二元一次方程组的解为； （2）解：， 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集为． 17．(1) (2) 【分析】根据题意将文字描述的不等关系转化为一元一次不等式，再分别利用一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 两边同乘3得， ， 移项，得， ， 系数化为1，得， ， ∴当时，代数式的值不大于3． （2）解：根据题意得 ， 两边同乘3，得， ， 去括号，得 ， 移项合并同类项，得， ， 系数化为1，得 ， ∴当时，代数式的值不小于的值． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）分别将，，，代入中得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到a、b的值； （2）由（1）得出，然后代入，即可求出y的值． （3）由得出，解不等式即可． 【详解】（1）解：把，，，分别代入中， 得， 解得：． （2）解：∵， ∴为， 则， 当时，则． （3）解：当时，即， 解得：． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法得出，，再结合，得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果； （2）根据不等式解集情况得出，再结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：， 得， ∴； 得， ∴， ，， ， 解得； （2）解：不等式变形为：， ∵原不等式的解集是， ， ， 又， ， ∵m为整数， ． 20．(1) (2) 【分析】（）把代入求出，把代入，然后求出的值即可； （）得，，根据，列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴把代入得： ， 解得：． （2）解：， 得，， ∵， ∴， ∴． 21．(1)租用大型采藕机台，小型采藕机台； (2)每天每台采藕机工作时，当日采摘藕田面积最大，每天最多可采摘藕田亩 【分析】（1）设租用大型采藕机台，小型采藕机台，根据题意列出方程组求解即可； （2）先根据工作时长与休息时长的限制列一元一次不等式，得到工作时长的取值范围，再列出代数式求解即可． 【详解】（1）解：设租用大型采藕机台，小型采藕机台， 根据题意可得 解得 答: 这个种藕大户租用了大型采藕机2台，小型采藕机6台； （2）设每天每台采藕机工作小时，一天总时长为24小时，则休息时间为 小时， 根据题意得 解得 已知所有采藕机1小时共采摘10亩， 每天总采摘面积为， ， ∴面积随的增大而增大， 当时，面积取得最大值， （亩）， 答：每天每台采藕机工作18小时时，当日采摘藕田面积最大，每天最多可采摘藕田180亩． 22．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求出不等式解集，利用题目所给定义求出“解集长度”； （2）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求出的值； （3）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求的取值范围，这里注意这个条件． 【详解】（1）解：， ①移项得，解得， ②移项得，解得， 故原不等式组的解集为， 故其“解集长度”为； （2）解：， 解①得， ②移项得， 解得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”为2， ， 解得； （3）解：， ①化简得，移项得，解得， 解②得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”小于3， ， ①化简得，解得， ②化简得，解得， ． 23．(1)该小区新建一个地上充电桩需要万元，一个地下充电桩需要万元； (2)有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案4：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩 【分析】（1）设该小区新建一个地上充电桩需要x万元，一个地下充电桩需要y万元，根据新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元建立方程组求解即可； （2）设新建m个地下充电桩，则新建个地上充电桩，根据该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个建立不等式组求出m的取值范围，结合m为整数确定m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需要x万元，一个地下充电桩需要y万元， 根据题意，得， 解得． 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，一个地下充电桩需要万元； （2）解：设新建m个地下充电桩，则新建个地上充电桩， 根据题意，得， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42，43． ∴共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案4：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料提示方法得到，，结合不等式的性质计算即可得到； （2）根据材料提示方法得到，，结合不等式的性质计算即可得到； （3）根据材料提示方法得到，则，，结合不等式的性质计算即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴， 同理，，且， ∴， 解得，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴， 同理，，且， ∴， 解得，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴，则， 同理，，且， ∴， 解得，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 答案第14页，共17页 答案第15页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $