精品解析：内蒙古准格尔部分中学2025-2026学年第二学期期末评估诊断高二数学试卷

准格尔中学2025~2026学年第二学期期末评估诊断 高二数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（ ） A. 15万 B. 20万 C. 25万 D. 30万 6. 已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，若函数在区间上无极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，则的（ ） A. 实轴长为定值 B. 焦点在轴上 C. 离心率为定值 D. 渐近线方程为 10. 已知，且，其中，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是“调和数列” B. 数列是递增数列 C. 对任意的，都有 D. 若，则（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程是________. 13. 在的展开式中，项的系数为__________． 14. 设抛物线的焦点为，已知为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为_______ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 60 30 90 服用 100 30 130 合计 160 60 220 （1）依据小概率值的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性； （2）从未患病的动物中按照是否服用药物A采用分层抽样随机抽取8只，再从这8只动物中随机抽取4只进行进一步的观察，记随机变量表示在4只动物中服用药物A的个数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. （1）若 中点为 ，证明：平面 ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且过点. （1）求的方程； （2）设平行于的直线与交于，两点（如图所示）. （i）线段的长度是否有最大值？并说明理由； （ii）若直线，与轴分别交于，，求证：为定值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，正实数，满足，证明：； （3）设，若对任意的恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 准格尔中学2025~2026学年第二学期期末评估诊断 高二数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，而， 所以. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先计算复数的乘积，得到复数的代数形式，再确定其在复平面内对应的点的坐标，最后根据坐标判断所在象限. 【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量与共线，且， 则存在实数，使得，即， 可得，解得. 4. 一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体的对角线就是球的直径及球的表面积公式即可求解． 【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径， 所以球的表面积为． 故选：A． 5. 某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量（单位：立方米）数据（用水量均在内），将所得数据分成组：，，，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示，若该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为（ ） A. 15万 B. 20万 C. 25万 D. 30万 【答案】A 【解析】 【详解】由频率分布直方图知，在随机调查的位居民中， 月均用水量不低于立方米的频率为， 因该市有万居民， 故全市居民中月均用水量不低于立方米的人数为万. 6. 已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 7. 若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数型函数值域为，则真数必须能取到大于零的任意实数. 【详解】因为函数的值域为， 所以真数能取到大于零的任意实数， 所以，解得. 8. 已知向量，，若函数在区间上无极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据函数在区间上无极值点列出不等式，根据，即可得出答案. 【详解】向量，， 则， 因为，所以， 因为函数在区间上无极值点， 所以或， 则或， 又因为，即，解得：. 当时，或，结合，则或， 为其它值时不成立. 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，则的（ ） A. 实轴长为定值 B. 焦点在轴上 C. 离心率为定值 D. 渐近线方程为 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，可得， 则，，， 可得实轴长为，不为定值，故A错误； 焦点在轴上，故B正确； 离心率为，为定值，故C正确； 渐近线方程为，故D错误. 10. 已知，且，其中，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知平方可得，进而求解出范围，求出范围可得. 【详解】因为，，两边平方整理得， 因为，所以，， 所以且， 所以，则可知，故. 所以的值不可能是，和. 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是“调和数列” B. 数列是递增数列 C. 对任意的，都有 D. 若，则（） 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知递推式，结合“调和数列”定义判断选项A；利用已知递推式，结合已知条件判断选项B；利用等差数列性质结合均值不等式判断选项C；构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，结合已知条件求解． 【详解】已知各项均为正数的数列满足， ， 数列是“调和数列”，故A正确； 若满足各项均为正数，且， 但是递减数列，故B错误； 已知为等差数列，故， ， 当且仅当时取等号，故C正确； 若，则，故， 令，求导得， ，解得，，结合得， 在上单调递减，在上单调递增， 则，， 即在时恒成立， （）， 即，即，即， ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由 则，所以，， 所以在处的切线方程为， 即. 故答案为： 13. 在的展开式中，项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的性质即可. 【详解】的展开式由三部分组成， 要配凑出，则需要个，个，个， 所以项为， 即系数为. 14. 设抛物线的焦点为，已知为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，分别过抛物线上的点作准线的垂线，根据抛物线的定义以及直角梯形中位线的性质，结合基本不等式，可得答案. 【详解】过作准线的垂线，垂足为，由图可知，， 根据抛物线的定义可知，所以． 在中，根据余弦定理可知， 所以． 根据基本不等式的性质，当且仅当，等号成立， 所以上式可化为，即，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，有，即， 又，联立解得，或（舍去）， 所以. 16. 为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 60 30 90 服用 100 30 130 合计 160 60 220 （1）依据小概率值的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性； （2）从未患病的动物中按照是否服用药物A采用分层抽样随机抽取8只，再从这8只动物中随机抽取4只进行进一步的观察，记随机变量表示在4只动物中服用药物A的个数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）药物A对预防疾病B有效果 （2） 1 2 3 4 期望为 【解析】 【分析】（1）根据公式求出后，对照临界值即可求解； （2）先求得未服用药物A的个数为3，服用药物A的个数为5，的所有可能取值为1，2，3，4 ，求出对应的概率，写出分布列，从而求出数学期望. 【小问1详解】 零假设为；药物A对预防疾病B无效果． 根据列联表的数据计算可得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即药物A对预防疾病B有效果． 【小问2详解】 抽取8只，未服用药物A的个数为：，服用药物A的个数为：． 的所有可能取值为1，2，3，4， 所以，， ，， 的分布列为： 1 2 3 4 所以． 17. 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. （1）若 中点为 ，证明：平面 ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）取中点 ，连接，因为分别为中点，所以，且， 又四边形 是平行四边形，且为中点，所以，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点 ，证明四边形是平行四边形，则由线面平行的判定定理可证； （2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， 所以，所以， 因为，所以. 在中，， 所以，即，解得. 因为，所以，又，平面 ， 所以平面ABCD. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且过点. （1）求的方程； （2）设平行于的直线与交于，两点（如图所示）. （i）线段的长度是否有最大值？并说明理由； （ii）若直线，与轴分别交于，，求证：为定值. 【答案】（1） （2）（i）不存在最大值，理由见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）解方程组即可得，进而可得椭圆C的方程； （2）（i）设出直线的方程为，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，即可判断是否存在最大值；(ii)设直线的方程为，令可得：，同理直线的方程，令可得：，计算即可求解. 【小问1详解】 由题意可得解得所以的方程为. 【小问2详解】 （i）因为，，所以可设直线的方程为， 由可得， 由，解得， 设，则，， 所以 ， 因为，所以当时，最大，此时直线的方程为， 直线与直线重合，不满足与平行，所以线段的长度不存在最大值. （ii）证明：直线的方程为，令可得：， 直线的方程为，令可得：， . 由（1）知，， 所以， ， ， 所以， 所以是定值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，正实数，满足，证明：； （3）设，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 又，因为，所以， 若，都大于1，则，不合题意， 同理，都小于1也不满足， 设，欲证，即证，即证， 即证，即证． 令，， ， 所以在区间上单调递增，所以，则原不等式得证． （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数形式，讨论的范围，判断单调性即可； （2）利用已知，构造函数，根据构造函数单调性进行证明； （3）找到是题眼，通过放缩不等式，构造相应函数求解. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 因为，， 若对任意的恒成立，则，解得． 下面证明：时符合题意. 当时，， 以下证明：， 令， 则， 令，则， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $