精品解析：内蒙古集宁一中东校区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

集宁——中东校区2024-2025学年第二学期期末考试 高二年级数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 第一卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式解法及对数函数的单调性求解不等式，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解不等式，， 所以． 故选：A． 2. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数的四则运算可计算出，即可得，即可得解. 【详解】， 故，故在复平面内对应的点在第四象限. 故选：A. 3. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的求法及已知得，进而有，即可求夹角. 【详解】由题设，即，又， 所以，又，则. 故选：D 4. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A. 11分钟 B. 13分钟 C. 15分钟 D. 17分钟 【答案】B 【解析】 【分析】由题意解出解析式中的参数，后解对数不等式求解即可. 【详解】由题意得，当时，，将其代入解析式，解得， 故解析式为，令，解得， 化简得，结合，可得， 所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为13分钟. 故选：B. 5. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定函数的奇偶性及在区间上的函数值情况判断作答. 【详解】函数的定义域为R，， 因此函数是R上的奇函数，图象关于原点对称，选项A不满足； 当时，，且当或时取等号，选项BC不满足，D满足. 故选：D 6. 对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项. 【详解】解：构造函数，则， ∵，∴， 即在上为增函数， 由，即，即，故A正确； ，即，即，故B正确； ，即，即，故C正确； 由，即，即，即， 故错误的是D．故选D． 【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得. 7. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小. 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，因此； 令函数，求导得， 令，求导得 由，得， 则，即，函数在上单调递增， ，，函数在上单调递增，， 因此，所以. 故选：B 8. 已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程因式分解得，所以或，根据函数的草图，判断的解的个数，从而确定解的个数，可得的取值范围. 【详解】当时，，由此可知在单调递减， 且当时，，在上单调递增，； 当时，在单调递增，在上单调递减， ，如图所示． 得，即或， 由与有两个交点，则必有四个零点， 即，得. 故选：C 二、多项选择题（本小题共3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，有选错得0分） 9. 已知.则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 10. 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数,则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有个零点 C. 的最大值为 D. 在上是增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】 ①分别计算和的周期,再求其最小公倍数即可得到的周期.②令即可求得零点.③对求导,令,判断单调性即可求得极值.④对求导,令,即可求出单调递增区间. 【详解】解：因为： ①的周期是, 的周期是, 所以的周期是,故A正确. ②当,时, 或 解得或或, 所以在上有个零点,故正确. ③ 令,求得或, 因为在 单调递增,在单调递减, 所以时取得最大值,则 ,故C正确. ④由③得, 要求增区间则, 即（不成立）,或, 所以 所以在上是增函数是错误的,故D错误. 故选：ABC 【点睛】本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若与均为偶函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 和是周期为4的周期函数 C. 为奇函数 D. 图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图象关于对称，则， 又为偶函数，所以，即， 两边求导得，，即，的图象关于对称， 则的图象关于原点对称，为奇函数，故C正确， ，， 由以上分析得，即有 即，且， 所以是周期为4的函数，， 故，故A正确： 对于B，由于，则， 由于，故， 所以，因此以4为周期的周期函数，B正确. 对于D，由于，则，故图象关于对称，由于不一定为0，故D错误， 故选：ABC. 第二卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题纸题号对应的横线上） 12. 已知命题“，使得”的否定形式为______. 【答案】，使得. 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论即可. 【详解】命题“，使得”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定为，使得. 故答案为：，使得. 13. 已知，则______. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式及同角公式列式计算得解. 【详解】由，得，即， 由，得，联立解得， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程与演算步骤） 14. 已知函数. （1）求函数的对称中心及最小正周期； （2）的外接圆直径为，角所对的边分别为.若，且，求的值. 【答案】(1)对称中心，周期为；(2). 【解析】 【分析】（1）化简函数得，然后求出函数的对称中心及最小正周期；（2）由，求出值，再由正弦定理，由，结合条件，易得的值. 【详解】（1） , 由，得 所以对称中心，最小正周期为 （2）∵ ∴ ∵，，∴， ∵，∴， 又∵， ∴， 即 即，∵，∴ ∴，∵，∴， ∴，∴. 【点睛】解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式． （2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解． （3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化． 15. 为了解某地区某种农产品的年产量 (单位:吨)对价格 (单位:千元/吨)和利润的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表: 1 2 3 4 5 8 6 5 4 2 已知 和 具有线性相关关系. (1)求 关于的线性回归方程; (2)若每吨该农产品的成本为2.2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少吨时,年利润 取到最大值? 参考公式:. 【答案】(1);(2)当年产量约为吨时，年利润最大 . 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算得，然后由系数公式得到，从而得到关于的线性回归方程；（2）年利润，利用二次函数图象与性质求最值即可. 试题解析： （1）可计算得， ， ， ∴关于的线性回归方程是. （2）年利润， 其对称轴为，故当年产量约为吨时，年利润最大. 点睛：求线性回归直线方程的步骤 （1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系； （2）求系数：公式有两种形式，即．当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求； （3）求： ； （4）写出回归直线方程． 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，令，解关于的方程求得，代入解析式即可； （2）利用导函数的单调性，结合端点函数值、极值的符号，建立不等式组求解范围. 【小问1详解】 函数， 则，，解得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 ，， 则， 由，得；由，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 17. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. （1）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （2）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）参加活动的女教师人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （2）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，由结合期望的性质求得. 【小问1详解】 依题意，X的可能值为0，1，2，服从超几何分布，， ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 【小问2详解】 设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9， ，， ，， 有X名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为13分. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值 （2） （3） 先证，设，则， 所以在区间上单调递减，所以，即. 所以，再证. 由（2）可知，当时等号成立， 令，则， 即， 所以， 累加可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值； （2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 在处取得极小值0，无极大值. 【小问2详解】 由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以. 记， 当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以. 又，所以，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集宁——中东校区2024-2025学年第二学期期末考试 高二年级数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 第一卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 3. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A. 11分钟 B. 13分钟 C. 15分钟 D. 17分钟 5. 函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题（本小题共3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，有选错得0分） 9. 已知.则下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数,则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有个零点 C. 的最大值为 D. 在上是增函数 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若与均为偶函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 和是周期为4的周期函数 C. 为奇函数 D. 图象关于点对称 第二卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题纸题号对应的横线上） 12. 已知命题“，使得”的否定形式为______. 13. 已知，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程与演算步骤） 14. 已知函数. （1）求函数的对称中心及最小正周期； （2）的外接圆直径为，角所对的边分别为.若，且，求的值. 15. 为了解某地区某种农产品的年产量 (单位:吨)对价格 (单位:千元/吨)和利润的影响,对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表: 1 2 3 4 5 8 6 5 4 2 已知 和 具有线性相关关系. (1)求 关于的线性回归方程; (2)若每吨该农产品的成本为2.2千元,假设该农产品可全部卖出,预测当年产量为多少吨时,年利润 取到最大值? 参考公式:. 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求m的取值范围. 17. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. （1）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （2）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $