精品解析：河北沧州市部分校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 某职工食堂周五供应5种不同的主食和10种不同的菜品，小李这天从该食堂选择1种主食和3种不同的菜品，则不同的搭配方案有（ ） A. 50种 B. 60种 C. 120种 D. 600种 3. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表，其经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数 B. C. 样本中心点为 D. 时，残差为 4. 乒乓球运动深受青少年学生的喜爱．据统计，某学校初一、初二两个年级中喜欢乒乓球运动的学生分别占本年级总人数的，，且这两个年级的学生人数之比为，现从这两个年级中随机抽取一名学生，则该学生喜欢乒乓球运动的概率为（ ） A. 0.36 B. 0.42 C. 0.54 D. 0.72 5. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 7. 已知，．命题p：对任意，都存在，使得；命题q：存在，使得．则“”是“命题p，q同时成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（ ） A. 1或7 B. 7或10 C. 1或4 D. 4或7 二、选择题：本题共小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 B. 已知随机变量，则随机变量X的分布越集中，的值越小 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D. 不等式的解集为 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 所有项的系数之和为32 B. 没有常数项 C. 含项的系数为5 D. 有理项共有4项 11. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A、B满足．若，，则________． 13. 现安排6名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案种数为________．（用数字作答） 14. 已知，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且，求实数m的取值范围． 16. 已知函数是定义在上的奇函数,且． （1）确定函数的解析式; （2）当时,判断函数的单调性,并证明; （3）解不等式． 17. 某网站统计了某网红饭馆在2026年2月至6月的营业额y（单位：万元），得到如下数据： 月份x 2 3 4 5 6 营业额y 8 10 9 11 17 （1）根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则没有很强的线性相关性）； （2）为调查顾客对该饭馆的评价情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 青少年 100 中老年 60 总计 110 参考数据：． 参考公式：相关系数， 线性回归方程：，其中，，，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 某个抽奖箱设置个白球和6个黑球，若一次抽取2个球全是黑球的概率为． （1）求m的值； （2）门店推出消费福利：每满200元可抽奖1次（例如消费500元可抽奖2次），抽奖规则如下：每次从箱中一次性抽取3个球，每抽到1个黑球返现25元．完成一次抽奖后，将所抽取的3个球再放回袋中． ①若只抽奖1次，记抽到黑球数量为随机变量X，求X的分布列； ②门店同时推出购物享八折优惠活动，该优惠活动和抽奖返现活动只能选一个，假设某顾客消费800元，请问该顾客选择抽奖返现还是直接八折更划算？若顾客消费950元呢？ 19. 在一次物理实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且． （1）在的条件下，求的概率； （2）已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； （3）现随机抽取组独立的测量数据，每组基础检测费用为元；若该组数据满足，则额外加收元检测费用．记组总检测费用为，求的数学期望、方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再结合集合的交集和补集的概念即可求解. 【详解】已知集合，解不等式，可得， 又因为，所以， 已知集合，解不等式，可得或，则， 因此，故B正确. 2. 某职工食堂周五供应5种不同的主食和10种不同的菜品，小李这天从该食堂选择1种主食和3种不同的菜品，则不同的搭配方案有（ ） A. 50种 B. 60种 C. 120种 D. 600种 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，不同的搭配方案有种． 3. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表，其经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 样本相关系数 B. C. 样本中心点为 D. 时，残差为 【答案】D 【解析】 【分析】根据经验回归方程进行检验计算判断可得. 【详解】选项A：经验回归方程斜率为，说明与正相关，因此样本相关系数，A说法正确； 选项B、C：，经验回归直线必过样本中心点， 代入回归方程得，因此样本中心点为，C说法正确； 再由，解得，B说法正确； 选项D：当时，预测值， 所以残差，因此D说法错误. 4. 乒乓球运动深受青少年学生的喜爱．据统计，某学校初一、初二两个年级中喜欢乒乓球运动的学生分别占本年级总人数的，，且这两个年级的学生人数之比为，现从这两个年级中随机抽取一名学生，则该学生喜欢乒乓球运动的概率为（ ） A. 0.36 B. 0.42 C. 0.54 D. 0.72 【答案】B 【解析】 【详解】设随机抽取一名学生，该学生来自初一、初二年级分别为事件，，该学生喜欢乒乓球运动为事件， 用频率估计概率，则，，，， 所以. 5. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用奇函数的性质求出时，的解析式，进而求出的解析式，再利用的单调性，即可求解. 【详解】因为函数是上的奇函数，且当时，， 当时，，所以，得到，所以时，， 则，其图象如图， 由图知在上单调递增，由，得， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. 6. 已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7. 已知，．命题p：对任意，都存在，使得；命题q：存在，使得．则“”是“命题p，q同时成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对于命题p：将问题转化为，利用单调性求最小值，对于命题q：将问题转化为，利用单调性求最大值，再解一元二次不等式，最后根据充分性和必要性的判断即可得出结论. 【详解】对于命题p：若对任意，都存在，使得， 等价于， 易知在上单调递增，， 在上单调递减，， 即有，解得：. 对于命题q：易知在上单调递增， 所以，即 ，所以命题p，q同时成立时； 易知为的必要不充分条件. 8. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（ ） A. 1或7 B. 7或10 C. 1或4 D. 4或7 【答案】D 【解析】 【分析】先算出质点向左平移了次的概率，再利用组合数的性质得到的取值，从而可计算质点最可能移动到的位置的坐标. 【详解】设质点向左平移了次，则向右平移了次，其概率为. 所以. 由的性质得，取得最大值时或. 当时，质点最终移动到的位置的坐标为； 当时，质点最终移动到的位置的坐标为. 所以质点最可能移动到的位置的坐标为或. 【点睛】本题关键是利用二项式组合数判断概率大小，结合单次位移列式计算终点坐标，注意正负向位移单位不同，不可仅凭移动次数判断位置. 二、选择题：本题共小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 B. 已知随机变量，则随机变量X的分布越集中，的值越小 C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【详解】在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，所以选项A正确； 正态分布中，随机变量X的分布越集中，的值越小，所以B正确； 在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，所以C错误； 由得且， 化简得，解得，所以解集为，即选项D正确. 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 所有项的系数之和为32 B. 没有常数项 C. 含项的系数为5 D. 有理项共有4项 【答案】BC 【解析】 【详解】对于二项式，令，可得所有项的系数之和为，故A错误； 因为展开式的通项为，， 令，解得，所以展开式中没有常数项，故B正确； 令，解得，含x项的系数为，故C正确； 令，解得，所以展开式中有理项共有3项，故D错误. 11. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C 【详解】对于A：因为为偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确. 对于B：因为， 因为为奇函数，所以，即， ，所以的最小正周期为4，故B正确. 对于C：因为， 所以； 所以， 故C正确， 对于D：由B的解析可知， 所以的图象关于点对称.故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知事件A、B满足．若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用对立事件概率关系，全概率公式，条件概率公式即可. 【详解】因为，所以. 因为 所以，所以. 13. 现安排6名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案种数为________．（用数字作答） 【答案】390 【解析】 【分析】本题主要考查分组分配问题，采用间接法：先求总方案数，再减去甲、乙同项目的方案数.总方案数：将6名学生分配到3个不同项目，每个项目至少一人，利用容斥原理计算.甲、乙同项目：先捆绑甲乙，再分配剩余4人，保证其他两个项目有人，最后减去. 【详解】总方案数：每个学生有3种选择，但需每个项目非空; 方案数为： 甲、乙同项目的方案数：先让甲乙选一个项目，有种选择. 剩余4人分配到3个项目，要求甲乙未选的两个项目至少各有一人; 剩余4人的分配数： 故甲乙同项目的方案数为. 因此满足甲乙不同项目的方案数为. 14. 已知，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将函数的零点转化为方程有三个根，再按，和分类讨论：①若，当时方程有个不同负根，当方程有个根；②若：当时方程无根，当方程有个根；③若：当时方程无根，当需有个根，再分和两段讨论，用判别式及根与系数的关系判断可得. 【详解】恰有三个零点等价于方程有三个根，且，按，和分类讨论： ①若： 当时：因为，所以方程化为，得或， 解得或，共个不同负根，只需再有个根即可. 当时，因为，方程为，因为时，， 所以方程化为，判别式，两根乘积为，恰有个正根， 满足方程总共有三个根，因此所有都符合条件. ②若：方程为 当时，因为，方程无根， 当时，因为，方程有个根，不符合题意. ③若： 当时，因为，所以方程为，得或， 解得或，所以当时方程无根，因此需要时方程有个根. 当时：因为， 方程为，再分区间讨论： 当​时：，方程化为，，两根的乘积为，恰有个正根， 所以方程有个正根，且该根满足，故方程在上有个根. 当时​：，得，要在上有个不同根， 需满足： 判别式， 此时，对称轴​恒成立，两根都满足，方程在上有个根. 综上，当时，方程共有个根，符合条件. 综上所述，实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，集合， 且或，所以或. 【小问2详解】 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 16. 已知函数是定义在上的奇函数,且． （1）确定函数的解析式; （2）当时,判断函数的单调性,并证明; （3）解不等式． 【答案】（1） （2）单调递增, 证明如下: 设为上的任意两个数,且, , , , , 故函数在上为增函数; （3） 【解析】 【分析】(1)根据奇函数可得,结合代入可得的解析式; (2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可. (3)将移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为,再根据(2)的结论转化为,再加上均在定义域内,即可求出不等式解集. 【小问1详解】 解:由题意可知为奇函数, , 即,, ∵,∴, ∴; 【小问2详解】 当时,函数单调递增,证明略. 【小问3详解】 , , 为奇函数, ∴, 当时,函数单调递增, , , 不等式的解集为． 17. 某网站统计了某网红饭馆在2026年2月至6月的营业额y（单位：万元），得到如下数据： 月份x 2 3 4 5 6 营业额y 8 10 9 11 17 （1）根据表中所给数据，用相关系数r加以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可以，求出y关于x的线性回归方程；若不可以，请说明理由（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则没有很强的线性相关性）； （2）为调查顾客对该饭馆的评价情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为“顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 青少年 100 中老年 60 总计 110 参考数据：． 参考公式：相关系数， 线性回归方程：，其中，，，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可用线性回归模型拟合y与x的关系， （2） 喜欢 不喜欢 总计 青少年 70 30 100 中老年 40 60 100 总计 110 90 200 可以认为“顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段有关联” 【解析】 【分析】（1）根据题中数据和公式求得，进而分析判断，再求，，即可得回归方程； （2）完善列联表，求的值，并与临界值对比，根据独立性检验思想分析判断. 【小问1详解】 由题意可知：，，，，， 则，且， 说明y与x的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系， 可得，， 所以y关于x的线性回归方程为． 【小问2详解】 完善列联表如下所示： 喜欢 不喜欢 总计 青少年 70 30 100 中老年 40 60 100 总计 110 90 200 零假设为：顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段无关联． 根据列联表中数据得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以可以认为“顾客是否喜欢该网红饭馆与年龄段有关联”． 18. 某个抽奖箱设置个白球和6个黑球，若一次抽取2个球全是黑球的概率为． （1）求m的值； （2）门店推出消费福利：每满200元可抽奖1次（例如消费500元可抽奖2次），抽奖规则如下：每次从箱中一次性抽取3个球，每抽到1个黑球返现25元．完成一次抽奖后，将所抽取的3个球再放回袋中． ①若只抽奖1次，记抽到黑球数量为随机变量X，求X的分布列； ②门店同时推出购物享八折优惠活动，该优惠活动和抽奖返现活动只能选一个，假设某顾客消费800元，请问该顾客选择抽奖返现还是直接八折更划算？若顾客消费950元呢？ 【答案】（1） （2）① X 0 1 2 3 P ②消费800元时，选择抽奖返现的方式更划算；消费950元时，选择八折优惠的方式更划算. 【解析】 【小问1详解】 由题可得，抽奖箱内共有个球，一次抽取2个球全是黑球的概率， 化简得，因为， ． 【小问2详解】 ①X的可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布的概率公式可得： ，， ，． 则X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ②由①知X的数学期望， 则单次抽奖的返现金额的期望为元， 情况1：消费800元． 抽奖优惠：每满200元抽1次，可抽4次，总的返现金额的期望为元， 八折优惠：节省金额为元， 由于，故消费800元时，选择抽奖返现的方式更划算． 情况2：消费950元． 抽奖优惠：每满200元抽1次，可抽4次，总的返现金额的期望为元， 八折优惠：节省金额为元， 由于，故消费950元时，选择八折优惠的方式更划算. 19. 在一次物理实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且． （1）在的条件下，求的概率； （2）已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； （3）现随机抽取组独立的测量数据，每组基础检测费用为元；若该组数据满足，则额外加收元检测费用．记组总检测费用为，求的数学期望、方差． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正态分布的对称性和条件概率公式，即可求解； （2）根据条件，求出事件“”的概率，再利用相互独立事件的定义，即可求解； （3）根据条件得到，再利用正态分布的期望和方差及期望和方差的运算性质，即可求解. 【小问1详解】 在的条件下，的概率等价于， 由题意可知，其概率密度函数图象关于直线对称，所以， 根据对称性，， 故． 【小问2详解】 设事件A为“”，事件B为“”， 且事件“”等价于事件“或”， 由题意得， 则由对称性得， 由事件“”与“”互斥，则， 因为事件与相互独立，所以， 当时，等价于事件“”， 则，解得，无解， 当时，等价于事件“”， 则，即，解得， 由于，故， 当时，等价于事件“或”， 此时有， 故由正态分布性质，拆分可得， 又，代入解得， 而，故，无解， 综上所述，． 【小问3详解】 由题可知， 抽取组，设为其中满足的组数，则，则， ， 因为每组基础检测费用为元，所以组总的基础检测费用为元， 因为若一组数据满足，则额外加收元检测费用，所以总的额外加收费用为， 因此， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $