精品解析：河北辛集中学2025-2026学年高二下学期期末检测数学试题

河北辛集中学2025-2026学年度第二学期期末检测 高二数学试题 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，且时，可得解. 【详解】根据题意，函数定义域为， 且， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 又时，，所以，且恒成立， 则，所以只有D满足. 故选：D 2. 从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 48 B. 288 C. 312 D. 336 【答案】B 【解析】 【分析】方法一，根据分步计数原理，分一男两女、两男一女两种情况分别计算出选派方案数后，再根据分类加法计数原理求和即可；方法二，用总选派方案数减去全男、全女不符合要求的方案数即可. 【详解】方法一：直接法． 男女教师都有的情况分为两种： 第一种，选派1名男教师，2名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 第二种，选派2名男教师，1名女教师，有种选法，再将3人分配到3个班的排列数为， 该种选派方案数为； 根据分类加法计数原理，总选派方案数共有种； 方法二：间接法. 从8名教师中任选3名教师分配到3个班的总选派方案数为种， 其中全是男教师或全是女教师的情况不符合要求， 两类不符合的选派方案数均为种， 故符合要求的选派方案数为种. 3. 随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项分布的概率公式求出的值，再根据正态分布的性质求出即可. 【详解】已知随机变量， 根据二项分布的概率公式可得， 则. 解得，. 已知，因为，且， 所以， 又因为， 所以. 故选：B 4. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再根据奇函数的定义确定其为奇函数，由不等式转化为，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得其定义域为，设，且， 则， 由指数函数为单调递增函数，所以， 又因为，，所以， 即，所以函数为单调递增函数， 另一方面，， 故也是奇函数，不等式转化为，即，解得， 故选：A. 5. 我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与是“同域函数”，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件函数的新定义结合函数的定义域和值域分析判断选项. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为， 故的定义域, 令，则或， 所以函数可转化为， 函数的对称轴为， 当时，；当时，， 故的值域为． 故选：D 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式求.对于AB：代入，分析判断即可；对于CD：代入，结合事件的运算分析判断. 【详解】由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为， 且事件“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则， 则，， 且事件“n次中仅有一次正面朝上”，则. 对于选项AB：若，则，，， 可得，，故AB错误； 对于选项CD：若，则，，， 可得，， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于事件A，利用对立事件可求其概率；对于事件B：利用独立事件概率方差公式可求其概率. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指对函数的单调性与放缩估值法比较大小. 【详解】由，， ，故最小， 又， 因为，所以， 则有，∴， 故选：C. 8. 已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（ ） A. 10 B. 11 C. 1023 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值． 【详解】依题意，对于中元素和， 当和同时为时，， 当和至少有一个为时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足， 设集合中的元素记为， 则的所有元素的位置至多有个， 若位置为，其它位置为的元素有个， 若全为的有个， 综上中元素最多有个． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 关于展开式中，则（ ） A. 展开式的各项系数和为 B. 展开式中项的系数为120 C. 展开式中含的各项系数之和为100 D. 展开式中不含字母的各项的系数之和为1 【答案】AB 【解析】 【分析】令求得各项系数和判断A，结合组合数的运算根据二项式定理的定义求出系数判断B，结合组合数及二项式定理求出各项系数并求和判断C，将问题转化为的各项系数和，令即可求解判断D. 【详解】A：令，即可得出展开式的各项系数和为，所以A正确． B：可以看成在5个因式“”的乘积中，在其中一个因式选择“”， 再在剩下的4个因式“”中有两个因式中选择“”，两个因式中选择“”， 所以项的系数为，所以B正确． C：含的各项系数之和为，所以C错误． D：展开式中不含字母的各项的系数之和即为的各项系数和， 令，即可得出展开式的各项系数和为，所以D错误． 故选：AB． 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D； 【详解】，且，， 对于A，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D， 利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， ，，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数的定义域为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 在上有676个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将代入，根据函数解析式逐步计算即可判断；对于B，分别求出，，进而得到，即可判断；对于C，利用函数的周期性即可判断；对于D，先分析一个周期内的零点情况，再由以及，即可判断. 【详解】对于A：因为， 所以 ，故A错误. 对于B：当时，，则， 故有， 即，因此有，故B正确； 对于C：由B选项可知当时，， 可得 又因为由选项A可知， 所以，故C正确. 对于D：当时只有1个零点， 当时，此时函数无零点； 当时，，故， 因此 又因为此时，故，易知此时函数无零点. 因此，当时，函数无零点. 又由B可知，当时，有， 故可知当时，函数也无零点. 又由A可知，且，因此，即， 又因为当时，为函数的一个周期， 故有， 又因为，， 所以在上有676个零点，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用分数指幂的运算性质求解即可 【详解】 ， 故答案为：5 13. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为 _____． 【答案】60 【解析】 【分析】根据条件可得出，然后利用二项式展开式的通项公式即得. 【详解】∵在二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大， ∴展开式中第4项是中间项，共有7项， ∴， 所以展开式的通项公式为， 令，得， ∴展开式中含项的系数是. 故答案为：60． 14. 设函数若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________；的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据解析式作出函数的图象，条件方程有四个不相等可转化为的图象与的图象有四个交点，观察图象确定的范围，结合图象确定与的关系，利用表示，利用换元法求其最值. 【详解】当时，， 的图象关于直线对称，画出的图象，如图所示. 方程有四个不相等的实根， 的图象与有个交点， 由图可知，即的取值范围为. 不妨设， 由的图象可知，， 所以，化简得，且. 又， 则 . 令，则， ， 当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将方程有四个不相等的实根，转化为函数的图象与直线的图象有四个交点，再通过做函数图象确定的范围. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知命题：，是真命题． （1）记实数取值范围的集合为，求集合； （2）在（1）的条件下，关于的不等式的解集为，且是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 命题：，是真命题， 所以，使得， 所以时，， 又二次函数对称轴为，开口向上，所以当时，， 故，所以． 【小问2详解】 由不等式可得， 解得，即， 若是的必要条件，则， 所以，即，故实数的取值范围为． 16. 宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 （1）用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； （2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 【答案】（1） （2）35万元． 【解析】 【分析】（1）通过换元将对数型回归转化为线性回归，利用最小二乘法求解参数，注重是对公式的理解和代入计算. （2）结合第一问的回归模型，构建总收益函数，通过求导找到极值点，进而得到最大值，同时考查了对数运算的化简技巧. 【小问1详解】 令，则可转化为，由表可知， 得到，， 由最小二乘法公式得， ， 所以 ，所以回归方程为 . 【小问2详解】 设2026年该企业投入食用枸杞生产的资金为万元， 则投入生产药用枸杞片的资金为万元， 其中，设2026年总收益为万元， 则，， 令，令，得， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故年总收益的最大值约为35万元． 17. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①任意的，总有；②；③若，，，总有成立,则称函数为理想函数. （1）证明：若函数为理想函数，则； （2）证明：函数，是理想函数； （3）证明：若函数为理想函数，假定存在，使得且，则. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1) 令分别代入题设条件进行分析即可. (2)对①②直接根据二次函数的性质进行判断,对③需代入计算化简 证明即可. (3)取,再根据题目条件代入分析论证即可. 【详解】(1)令,代入可得：即：, 又由条件①得：,故：； (2)对于函数,易得其值域,满足①要求；其中.满足②要求,若,,, 故满足③,综上所述：函数是理想函数； (3)取,则：,因此：假设：,若,则；若,则,都与题设矛盾,所以假设不成立,则. 【点睛】本题主要考查新定义题型的一般方法,根据题目所给的条件逐个验证函数满足的性质. 同时证明时需紧抓题中给的条件等,代入相关值进行论证即可.属于综合题型. 18. 某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道选择题（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组n个人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率； （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且答对选择题，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率； （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 【答案】（1） （2） （3）选择方式一 【解析】 【分析】（1）由独立事件的概率乘法公式即可得到答案； （2）分析出甲同学挑战不成功的事件，结合独立事件的概率乘法公式，再用对立事件即可得到结果； （3）分别计算出方式一和方式二的团队挑战成功的概率，再通过作差比较，利用函数单调性判断差值大小即可得到结论. 【小问1详解】 设事件：选手答对1道选择题；事件：选手答对1都选择题， 则，， 这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率： 【小问2详解】 甲同学挑战不成功可能得情况如下： ①只答对一道判断题和选择题；②除和外只答对一道填空题或一道选择题（中任意一道） ∴甲同学挑战成功的概率： 【小问3详解】 方式一：小组调整成功的概率：， 该班级挑战成功的概率：； 方式二：小组调整成功的概率：， 该班级挑战成功的概率： ， 令 则 ∵，则，， 可得，， ∴，即，∴单调递增， 又∵，且， ∴， 从而，即，所以为使本班调整成功的可能性更大，应该选方式一参赛. 19. 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.假设该类型题目在，，，这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确时每个正确选项得3分，有三个选项正确时每个正确选项得2分），有选错的得0分. （1）假设某道多项选择题有三个正确选项，某考生因不会做而随机蒙选一种答案，可以只含一个选项、只含两个选项或只含三个选项，且蒙选每种答案的可能性相等，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； （2）若某次测试共有（）道多项选择题.记事件（）为正确选项有个，第（且）题事件的概率为.假设各题的正确选项个数有如下规律：第一题正确选项为两个的概率为；若第（且）题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；若第（）题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若某考生第题蒙选，记表示该生第题的得分，求出. 【答案】（1）分布列见详解，期望为； （2）①证明见详解，；②. 【解析】 【分析】（1）首先分析各个得分的样本点，再计算相关分布列和期望即可； （2）①构造得，再求出首项即可证明并求出； ②分析得的取值为0，4，6，再求出其分布列和期望值. 【小问1详解】 不妨设该道多选题的正确答案为, 该考生可能的选项有：共14个样本点， 故考生得0分包含的样本点有，共7个； 得2分包含的样本点有，共3个； 得4分包含的样本点有共3个； 得6分包含的样本点有， 所以， 故的分布列为 所以． 【小问2详解】 ①由题意知， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． ②由①知， 由题意知的取值为0，4，6， 所以， ， ， 所以， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2025-2026学年度第二学期期末检测 高二数学试题 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 2. 从4位男老师和4位女老师中选出3名教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3名班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 48 B. 288 C. 312 D. 336 3. 随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 我们把具有相同定义域的函数称为“同域函数”．若函数与是“同域函数”，则的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（ ） A. 10 B. 11 C. 1023 D. 1024 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 关于展开式中，则（ ） A. 展开式的各项系数和为 B. 展开式中项的系数为120 C. 展开式中含的各项系数之和为100 D. 展开式中不含字母的各项的系数之和为1 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 已知函数的定义域为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 在上有676个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 13. 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为 _____． 14. 设函数若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________；的最小值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知命题：，是真命题． （1）记实数取值范围的集合为，求集合； （2）在（1）的条件下，关于的不等式的解集为，且是的必要条件，求实数的取值范围． 16. 宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 （1）用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； （2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 17. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①任意的，总有；②；③若，，，总有成立,则称函数为理想函数. （1）证明：若函数为理想函数，则； （2）证明：函数，是理想函数； （3）证明：若函数为理想函数，假定存在，使得且，则. 18. 某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道选择题（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组n个人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率； （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且答对选择题，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率； （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由. 19. 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.假设该类型题目在，，，这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确时每个正确选项得3分，有三个选项正确时每个正确选项得2分），有选错的得0分. （1）假设某道多项选择题有三个正确选项，某考生因不会做而随机蒙选一种答案，可以只含一个选项、只含两个选项或只含三个选项，且蒙选每种答案的可能性相等，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； （2）若某次测试共有（）道多项选择题.记事件（）为正确选项有个，第（且）题事件的概率为.假设各题的正确选项个数有如下规律：第一题正确选项为两个的概率为；若第（且）题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；若第（）题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若某考生第题蒙选，记表示该生第题的得分，求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $