河北沧州市多校联考2025-2026学年高二下学期第四次阶段总结数学试题

高二年级下学期第四次阶段总结 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 萄 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 ® 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，函数（不含导数），不等式。 r 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1已知x>>>0,记M-,N=号，则 A.M<N B.M=N C.M>N D.以上都有可能 粒 2.若随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=6P(X=0),则P(X=1)= A号 B吉 c D号 3.函数y=√9-32+T的定义域为 A.(0,1] B.(-∞，1] 童 c(o,] D(-∞，] 4.某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为 A.720 B.480 C.360 D.240 5,在(2-兰)x-)泸展开式中，含xy项的系数为 A.-10 B.0 C.-20 D.20 6.若x>0,y>0,1+3=1,则4x十3y的最小值为 y A.26 B.25 C.19 D.13 7.已知关于x的不等式a≤r2-3x十4<b的解集为[a,b],则a+b= A.3 B.4 C.5 D.6 【高二年级第四次阶段总结·数学第1页（共4页）】 ▣口 CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描APp -1 8.已知f(x)=(1+x)+1+2(1十x)+2+…+k(1+x)+k+…十n(1+x)2m(n∈N,且n≥4)， 则f(x)的展开式中含x"项的系数是 A.(n+1)C2t, B.(n+2)C2 C.(n+1)C2t1 D.(n+2)C2t 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=(m2一2m一2)x"是幂函数，则 A.f(1)=1 B.m2-2m=3 C.m2-2m=-1 D.f(x)是奇函数 10.已知X为一个随机变量，则 A若X~B(8,号)，则E(3X+2)=10,D(3X+2)=16 B若XN(0,1),且P(X≤-1)=p,则P(-1<X<1)=号-P C.若X服从两点分布，且P(X=0)=p,E(X)=号，则p=号 D.若随机变量Z的分布列为P(Z=)=CG4)(i=12,3),则Q=1 11.已知函数f(x)=logx-1,实数a<b<c<d,满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则 A.ad<bo B.2a十b的最大值为3一2√2 C.2c+d的最小值为3+2√② n+++日=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若6件不同产品中有4件正品，2件次品，从中抽取2件，则至少有1件是正品的抽取方法种 数为 13.已知函数f(x)=√3一x2十√3+x2,则函数f(x)的值域是 14.某科技总公司分三批共派出6位年龄互不相同的技术人员援助六个不同的分公司，每个分 公司分配一人.第一批派出一名技术人员的年龄为M,第二批派出两名技术人员的年龄最 大者为M2,第三批派出三名技术人员的年龄最大者为M,则满足M,<M2<M的分配方 案的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x,y∈R,f(xy)=一f(x)f(y),且当x≠0 时，f(x)<0. (1)求f(1),f(-1); (2)证明：f(x)是偶函数； (3)若f(x)在[0，十∞)上单调递减，求不等式f(a2+4)>f(一13)的解集 【高二年级第四次阶段总结·数学第2页（共4页）】 ▣口 CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 2 16.(本小题满分15分) 素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处 峰成林”一万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”一马岭河峡谷闻名遐迩.某高校旅游管理 专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系， 收集了2026年1月至5月的数据统计如下： 月份 游客数量x(单位：百万人) 旅游消费总额y(单位：亿元) 1月 2.5 22 2月 3.5 33 3月 4 42 4月 4.5 47 5月 5.5 56 参考数据：2x=85,含01=858. (1)请根据上述数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程； (2)从2026年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150 名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名， (1)补充下面的列联表； 万峰林 马岭河峡谷 合计 参观 未参观 参观 未参观 合计 (ⅱ)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷 有关联？ 附，6-0w-列 n(ad-bc)2 2x- 2-n .a-y-bz.X-(a+b)(cFd)(a+c)(6+d)' n-a+8+c+d. 0.1 0.05 0.01 Ta 2.706 3.841 6.635 17.(本小题满分15分) 已知二次函数f(x)满足f(x十2)一f(x)=4x一4(x∈R),且f(x)的最小值为5. (1)求f(x)的解析式； (2)若对Vz∈R,不等式mf(x)一m2≥0恒成立，求实数m的取值范围， 【高二年级第四次阶段总结·数学第3页（共4页）】 ▣▣ CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描APp 3 18.(本小题满分17分) 某大型商场举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以 下两种（顾客只能选择其中的一种）， 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球 每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出 3个球，中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠； 其余情况无优惠. (1)已知顾客A选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； (2)已知顾客B恰好消费了500元， (1)若他选择抽奖方案1，求顾客B所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； (ⅱ)试从顾客B所获得的优惠金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)>0,令函数F(x)=logf(x),其中a>1,若F(x)关 K 于点(m,竖）中心对称，则称函数f(x)为“对数型中心对称函数”，点(m,m)称为函数 f(x)的“对数型中心对称点”. (1)判断函数g(x)=(号)厂是否为“对数型中心对称函数”， (2)是否存在“对数型中心对称函数”h(x),其图象上的所有点都是h(x)的“对数型中心对 称点”？如果存在，求出所有满足题意的h(x);如果不存在，请说明理由； (3)若函数p(x)是“对数型中心对称函数”，且p(x)的图象是一条连续曲线.已知b<c,点 (b,c),(c,b)都是p(x)的“对数型中心对称点”，证明：“函数p(x)在R上单调递减”是 “对任意x1,z2,当b<x1<x2<c时，均有[p(x1)一p(b)]·[p(x2)一p(x)]· [p(c)一p(x2)]<0”的充要条件. 【高二年级第四次阶段总结·数学第4页（共4页）】 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 4高二年级下学期第四次阶段总结·数学 参考答案、提示及评分细则 1.CM-N=I二-二=2y-xy-2=二，因为>y>>0,所以x-y>0,y->0,M- y—2y y(y-之) y(y2) N>0,即>N.故选C 2.D由P(X=1D)=6P(X=0),P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=1)=号.故选D. 3.D由9-3+1≥0得2z+1<2,≤7.故选D. 4.B先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有A}=4种站法；将剩余的人任意排序，有A= 120种站法.由分步乘法计数原理可得，不同站法数有4×120=480种.故选B. 5.C(x一y)5展开式的通项为T+1=Cx'(-y)',r=0,1,2,3,4,5,当与2配对时，r=1,故xy的系数为 一10，当与一工配对时，r=2,故xy的系数为-10，xy系数为一20.故选C. 6B因为>020，+子1，所以4x+3=x+(+号)=13+y+号>13+2 3y.12z- y y 25,当且仅当y-之，即x=号，y=5时取等号，所以4红+3y的最小值为25.放选B x y 7.B令f)=是2-3x+4,则fx)=是(x-2)+1,由不等式a≤是2-3x+4b的解集为[a,b],结 合图象得2∈[a,61,少=2，f(a)=了6)=b,即子-36叶4=6，解得6=专（舍），或6=4，所以a=0,所 2 以a十b=4.故选B. 8.A因为k(1十x)”+中含x”的项是C+z”,所以f(x)的展开式中含x”项的系数为C%+1十2C2十…十kC”+十 …十0+还+…+++.图为，G=6=0=+1· (+iD1(k-D万=(+1)C,所以含x项的系数为（十1）(C+C++C++C) (+k)! (n十1)(C十C2+…十C十…+C2)=(n十1)(C3十C十…十C是十…十C2)=…= (n+1)C.故选A. 9.ABD由题意知m-2m-2=1,所以f(1)=1,m2-2m=3,m=-1或3，f(x)=xJ,或f(x)=x3,f(x)是 奇函数，所以ABD正确，C错误.故选ABD. 10.AC对于A,若XB(8,号)，则EX)=8X号-弩，DX)=8X号×(1-号)=9，所以E(3X+2) =3E(X)+2=10,D(3X+2)=9D(X)=16,故A正确：对于B,若X~N(0,1),则P(-1<X<1)= 2P(-1<X<0)=2[2-P(X≤-1D]=1-2p,放B错误：对于C,若X服从两点分布，且P(X=0) p,E(X)=子，则P(X=1)=1-p,所以E(X)=1-p=号，所以力=号，放C正确：对于D.由分布列的性 质得a(分+言+)=1，解得a=号，放D错误，放选AC 1l.ACD由题意知a<0bc<d,所以ad<0<bc,故A正确： a<0<b<1<c<2<d,由f(a)=f(b),得log2(1-a)= 一log2(1-b),所以1o段(1-a)(1-b)=0,所以(1一a)(1-b) =1,即a+bab,所以日+六=1，同理+7=1，所以十 ++日=22a+b=2a+0)(日+)=3++号 ao b I c 2 d =3-(a+2)≤3-2p,当且仅当合-会，即a=1 【高二年级第四次阶段总结·数学参考答案第1页（共4页）】 号b1-E时等号成立，阳此时不满足a<0<故等号不成立，2c+d=(2c+d(仁+宁）=3+足 等≥3+2，E,当且仅当-兰，即c=1十号，d=1+厄等号成立，放B错误，C,D正确，故选ACD. 12.14至少有1件是正品的抽取方法种数为CC+C?=8+6=14. 13.[6,23]由y=√3-x+3+x得0≤x2≤3，y>0,y2=6+2√9-x,由0≤x2≤3得0≤9-x≤9， 0≤√9-x≤3，所以6≤y2≤12，所以W6≤y≤2√3 14.弓假设6位技术人员年龄排序为a<ae<a<a:<a<a,由题意知，年龄最大的技术人员必在第三批， 派遣方式如下：第一类，第一批派a4,第二批年龄最大者为a5,第三批年龄最大者为a6:剩下的技术人员一 个在第二批，两个在第三批有C=3种方法；第二类，第一批派ag,第二批年龄最大者为α4或a5,第三批年 龄最大者为a6:当第二批最大者为a,则有C种方法，当第二批最大者为a4,则有C》种方法，共C十C=5 种方法：第三类，第一批派a2,第二批年龄最大者为a3或a4或a,第三批年龄最大者为a6:当第二批最大者 为a,则有C种方法，当第二批最大者为a4,则有C种方法，当第二批最大者为ag,则有1种方法，共C。十 C2十1=6种方法；第四类，第一批派a1,第二批年龄最大者为a或a4或a5,第三批年龄最大者为a6:当第 二批最大者为，则有C种方法，当第二批最大者为a4,则有C种方法，当第二批最大者为a3,则有1种 方法，共Cg十C十1=6种方法，所以共有3十5十6+6=20种方法，而总派遣方法有CC号C=60种，所以满 足M<M<M的分配方案的概率为器-子· 15.(1)解：令x=y=1,则f(1)=-f(1)f(1),又f(1)<0,所以f(1)=-1.…2分 令x=y=-1,则f(1)=一f(-1)f(-1),即[f(-1)]2=1,…4分 又f(-1)<0,所以f(-1)=-1.…6分 (2)令y=-1,则f(-x)=-f(x)f(-1)=f(x),…8分 即对任意的x∈R,f(一x)=∫(x),所以∫(x)是偶函数.…9分 (3)由(2)知f(-13)=f(13),…10分 因为f(x)在[0，+∞)上单调递减，a2+4>0,13>0, 所以由f(a2+4)>f(-13)=f(13),得a2+4<13,解得-3<a<3, 即不等式f(a2十4)>f(一13)的解集为(-3,3).… 13分 16.解：（1)z=2.5十3.5+4+4.5+5.5=4，y=2+33十42+47+56-=40，…2分 5 之y5冠 …4分 2-5元 _858-5X4X40=11.6,… 85-5×42 1 a=-6x=40-11.6×4=-6.4, 6分 则y关于x的经验回归方程为y=11.6x一6.4. 8分 (2)(ⅰ)将所给数据进行整理，得到如下列联表： 万峰林 马岭河峡谷 合计 参观 未参观 参观 70 30 100 未参观 80 20 100 合计 150 50 200 …10分 (ⅱ)设零假设H:游客参观万峰林与参观马岭河峡谷独立.根据列联表中的数据，经计算得X= 200X(70X20-80X30）≈2.667<1，.13 150×50×100×100 13分 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H,不成立，因此可以认为H成立，即认为游客参 观万峰林与参观马岭河峡谷无关联.…15分 17.解：(1)设f(x)=a.x2+bx+c(a≠0)， 【高二年级第四次阶段总结·数学参考答案第2页（共4页）】 由f(x+2)-f(x)=4x-4,得a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+ba+c)=4x-4, 即4a.x+4a+2b=4x-4, 质以出-4￥释公 4a=4, 3分 所以∫(x)=x2-4x十c=(x-2)2十c-4,当x=2时，f(x)取到最小值c-4. 又∫(x)的最小值为5，所以c一4=5，解得c=9.…6分 所以∫(x)=x2-4江十9.…7分 (2)由1)知f)=-4红+9，所以不等式mf()-m2≥0，即m2-4mx+9mm m2≥0. 当0时，不等式m2-n十mm2≥0不可能对y∈k恒成立… 8分 当m=0时，不等式mz2-4z+9mm严2≥0即0≥0，其对x∈R恒成立；…95 当m>0时，不等式m-n叶9m严20即-4+9220， 因为对V:∈R.不等式2-4+9≥0恒成立， 所以4=（-402-4(9m2）<0,即m2一20≤0、… 11分 化简可得0号>0，所以(5m一10m-2)≥0且m-2≠0，解得m<2或m≥号， 又m>0,所以0<m<2或m≥马 5 14分 综上所述，0≤m<2或m≥号，即实数m的取值范用是[0,2)U[号，十o).…… 15分 18.解：(1)设事件M表示“第一次摸到红球”，事件N表示“能够享受优惠”，在第一次摸到红球后，抽奖盒中还 剩3个红球和3个蓝球，共6个球，享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况，从6个球中不 放回地摸2个球，总情况有A=6×5=30种，… …2分 摸出两个红球的情况有A号=3×2=6种，摸出1红1蓝的情况有CCA=18种， 所以P(N|M=6+184 305 …4分 (2)(ⅰ)设顾客B选择抽奖方案1时，顾客B所获得的优惠金额为X元，从装有4个红球，3个蓝球的抽奖 盒中摸一个球，摸到红球的概率为号，摸到蓝球的概率为号， ……5分 当摸出0个红球时，P(X=0>=(号)》°-器 6分 当摸出1个红球时，P(X=10)=C×号×（号）- 343 7分 当模出2个红球时，P(X-200)=CG×(号)广×号 343 8分 当摸出3个红球时，P(X=40)-(号)广-器 …9分 所以顾客B所获得的优惠金额的分布列为 X 0 100 200 400 27 108 144 64 343 343 343 343 所以选择方案1时，顾客B所获得的优惠金额的期望为 EX)-=0x器+1o0×3器+20×装+40×器5 ≈190. ……… 343 11分 (ⅱ)设顾客B选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为Y元， 当模出0个红球或1个红球时，P(Y=0)号+智-是 35g…… 12分 【高二年级第四次阶段总结·数学参考答案第3页（共4页）】 当摸出2个红球时，P(Y=250)= CC_18 13分 C 35 当摸出3个红球时，P(Y=500)= 4 C35 14分 所以顾客B所获得的优惠金额的分布列为 P 0 250 500 P 3 18 4 35 所以EY)=0×号+250×3爱+50X壳 35 6500≈186， 35 …16分 所以E(Y)<E(X),所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案1更合理.…17分 1a.解：若f)是“对数型中心对称函数”，则F(x)关于点(m,)中心对称，所以F(m-)+F(m十) logan, logaf(m-x)+logaf(m+x)=loga [f(m-x)f(m-+x)]=logn,f(m-x)f (m+x)=n. 所以对于任意的实数x,都有f(x)>0且f(一x)f(m十x)=n成立，则称函数f(x)是“对数型中心对 称函数”，点(m,n)称为函数f(x)的“对数型中心对称点”. …………2分 )对于x，g(m-x)·g(m+x）=(）.(）=(》 所以函数g(x)=(号）广是“对数型中心对称函数” 4分 (2)若存在“对数型中心对称函数”h(x),其图象上的所有点都是h(x)的“对数型中心对称点”，则对于任意 的实数x和m,都有h(m-x)h(m十x)=h(m), 令x=0,可得h(m)h(m)=h(m),所以对任意实数m,h(m)只能取0或1， 又h(x)>0,即h(m)>0,所以h(m)=1.…6分 下面证明当h(x)=1时，h(x)是“对数型中心对称函数”，且(m,1)都是h(x)的“对数型中心对称点”. 对于任意的实数x和m,h(m一x)h(m十x)=1×1=1, 所以h(x)是“对数型中心对称函数”，且(m,1)都是h(x)的“对数型中心对称点” 综上所述，满足题意的h(x)只有h(x)=1.… 8分 (3)由点(b,c)是o(x)的“对数型中心对称点”可知o(b一x)知(b十x)=c恒成立， 取x=0得[9(b)门2=c,同理可得[9(c)门2=b.…9分 因为p(x)>0,所以9(b),(c)>0,所以有p(b)一c,9(c)=√b, 又b<c,所以Wb<,即9(c)<9(b).… 10分 充分性：若函数9(x)在R上单调递减，当b<x<2<c时，有9(b)>0()>9(2)>o(c), 所以9(x)-p(b)<0,p(2)-p(x1)<0,9(c)一9(x2)<0, 所以[p(x)一9(b)]·[g(2)一g(x1)]·[g(c)一g()]<0,充分性成立.…12分 必要性：若对任意，2，当b<x<2<c时，均有[()一9(b)]·[p(2)一()]·[g(c)一9(2)<0， 所以当x,x2∈(b,c)时，p(x)≠p(x2),(x1)≠g(b),g(2)≠(c),又9(x)的图象是一条连续曲线，所 以o(x)在[b,c]上单调， 又g(c)<g(b),所以g(x)在[b,C]上单调递减.…14分 因为函数9(x)是“对数型中心对称函数”，且点(b,c),(c,b)都是9(x)的“对数型中心对称点”， 所以S(x)=log9(x)关于点(b,210gc)和点(c号1og.b)中心对称， 又a>1,9(x)在[b,c]上单调递减，所以由复合函数的单调性知S(x)在[b,c]上单调递减， 因为p(x)的图象是一条连续曲线且9(x)>0,所以S(x)也是一条连续曲线， 所以可以通过中心对称得到S(x)在[2b一c,b]和[c,2c一b]上单调递减，不断往两边扩展，即可得到S(x) 在R上单调递减，所以9(x)在R上单调递减，必要性成立.…16分 综上所述，“函数o(x)在R上单调递减”是“对任意，x2,当b<1<2<c时，均有[9(x)一9(b)]· [g(x2)一g()门·[g(c)-9(2)]<0”的充要条件.…17分 【高二年级第四次阶段总结·数学参考答案第4页（共4页）】