第25章 一元二次方程章末自学试题2026-2027学年数学人教版九年级上学期

**基本信息** 这份章末自学试题以“基础巩固-能力提升-综合拓展”为梯度，覆盖一元二次方程全章核心知识点，通过多样化题型培养运算能力、推理意识和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|核心概念与基本运算|包含解方程（公式法、因式分解法）、根与系数关系等基础题型，如单选题1-5、解答题17| |提升层|综合应用与数学建模|结合实际情境（销售利润、遗忘规律）和几何问题，如单选题6、解答题20| |拓展层|跨知识整合与创新思维|涉及动点几何、新定义运算及转化思想，如解答题21（矩形动点）、23（换元法解高次方程）|

第25章 一元二次方程 章末自学试题 2026-2027学年初中数学人教版（2024）九年级上学期 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 4．关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 5．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 7．关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（    ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 9．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 10．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 二、填空题 11．写出一个以为根的一元二次方程：______． 12．把方程配方成为________． 13．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 14．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 15．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 16．如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．则运动______秒后两点相距． 三、解答题 17．按要求解下列关于的一元二次方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 18．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 19．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 20．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 21．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (2)在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由； (3)取的中点，运动过程中，当时，求的值． 22．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 23．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）方程的解是，______，_______； （2）用“转化”思想求方程的解； （3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B A C B B A C 1．D 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握关于x的一元二次方程的两个根满足是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系（即两根之和与两根之积），结合给定的倒数之和条件，直接求解出p的值． 解：方程 的两根为 ， ，， 又 ， 即 ， ， 解得 ． 故选：D． 2．C 本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 3．C 由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 4．B 本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 5．A 本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 6．C 该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 7．B 由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选：B． 本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．B 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故选：B． 9．A 本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由点在第二象限，可得，则，由，可得，然后判断作答即可． 解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 10．C 由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 11．（答案不唯一） 本题主要考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解成为解题的关键． 以为根写一个一元二次方程即可． 解：以为根写一个一元二次方程可以为：． 故答案为：（答案不唯一）． 12． 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再方程两边同加上4，利用完全平方公式变形即可得． 解：， ， ， ， 故答案为：． 13．1 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 14．， 此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 15．或或 本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 16．10 由题中的运动规则，分两种情况讨论：当点未到达点时；当点到达点时（点与点重合）；第一种情况，先表示出，的长，再由勾股定理列方程求解；第二种情况，由直角三角形斜边比直角边长判定即可． 解：动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 同时动点从点出发，以的速度沿方向运动，， 动点到达终点的运动时间为； 由于动点到达终点的运动时间比动点到达终点的运动时间短，分两种情况讨论： 当点未到达点时，设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，由勾股定理可得，即， 则， ， 解得或（没有运动，舍去）； 当点到达点时（点与点重合），设运动秒后两点相距，如图所示： 则，， 在中，是斜边、是直角边，则，与矛盾， 此情况不存在使两点相距的值； 综上所述，运动秒后两点相距． 17．(1) (2) 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． （1）解： ∴，，， ∴， ∴， 解得： （2） 因式分解得 移项得， 提取公因式得， 即， 解得 18．(1) 解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． (2)0 (3)0 本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． （1）略 （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 19．(1)不是 (2)6 (3)或 本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，根据，代入可求出k的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，然后分两种情况，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． （1）解：， ， ， ， ， 不是“限制方程”； （2）解：是的两根， 则，， ∵， ∴， ， 解得或6， 当时，，解得， ， 不符合题意，舍去， 当时，，解得，满足， ∴； （3）解：方程的根为， ∵该方程是“限制方程”， ∴， 当时， ，解得， 当时， ，解得， ∴m的取值范围是或． 20．该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 本题考查一元二次方程的实际应用．设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 21．(1)当时的长度能为，理由见解析 (2)的面积能为，理由见解析 (3)， （1）由题意可知：，，，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； （2）设运动秒后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，则，根据直角三角形的性质可得，再根据两点间的距离公式，可得，解方程即可求得． （1）解：的长度能为，理由如下： 根据题意可知：，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， 当时的长度能为； （2）解：不能，理由如下： 设运动秒后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 方程无实数根， 的面积不能为； （3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，， 的中点为 ， 又，， 取的中点，连接，则， ， ， ， 解得：，． 本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解答本题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 22．(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 （1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． （1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 23．（1）；；（2）；（3）或． （1）先将该方程转化成，然后再求解即可； （2）由可得且x＞0，然后解出x即可； （3）设，则，然后根据勾股定理求得PB和PC，然后再根据列方程求出x即可． 解：（1）， ． ， 则或或， 解得：、、． 故答案为：；； （2）， ，即， ， 则或， 解得：，， 又∵， ∴； （3）设，则， ，， ，， ， ， 两边平方，整理可得： 再两边平方，整理可得：， 解得、， 则的长为或． 本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $