第25章 章末复习（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十五章章末复习 思维导图 构建知识体系 概念 一只含有个未知数，且含有未知数的式子都是，未知数的 最高次数是的方程 解法一直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 当 △>0 时，方程有两个的实数根 一元二次方程 根的判别式 当 △=0 时，方程有两个的实数根； $$| a x ^ { 2 } + b x + c = 0 \left( a e 0 \right)$$ A=b-4ac $$\triangle = b ^ { 2 } - 4 a c$$ 当 △<0 时，方程实数根 根与系数的关系 $$- x _ { 1 } + x _ { 2 } =$$ $$， x _ { 1 } x _ { 2 } =$$ 应用 考点整合 少>直击核心 要点 考点1 一元二次方程的有关概念 7.用适当的方法解下列方程： 1.若 $$\left( m - 3 \right) x ^ { | m | - 1 } - 2 x + 1 = 0$$ 是关于x的一 $$\left( 1 \right) \frac { 1 } { 3 } \left( x - 2 \right) ^ { 2 } = 8 ；$$ 元二次方程，则 m 的值为 () A.3 B.一3 C.1 D.一1 2.将方程 2x(x-1)=(x-3)+4 化为一元二 次方程的一般形式，其二次项系数与一次项 分别是 () A.2，一3 B.一2，一3 (2)(x+1)(x-2)=4-2x； C.2，一3. x D.-2，-3x 3.半开放性题 题 新趋势请写出一个常数项为0，有 一个根为 x=3 的一元二次方程：. 4.已知 m 是方程 $$x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$ 的一个根，则 (m+5)(1-m) 的值为. 考点2 一元二次方程的解法 $$\left( 3 \right) 2 x \left( x + \sqrt 2 \right) + 1 = 0 .$$ 5.方程 $$x ^ { 2 } - 4 x = 0$$ 的根是 () $$A . x _ { 1 } = 0 ， x _ { 2 } = 4$$ $$B . x _ { 1 } = x _ { 2 } = 2$$ $$C . x _ { 1 } = x _ { 2 } = 0$$ $$D . x _ { 1 } = 0 ， x _ { 2 } = - 4$$ 6.利用配方法将方程 $$2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$ 化成 $$\left( x + m \right) ^ { 2 } = n$$ 的形式，则 n 的值为 ( () $$A . \frac { 1 } { 2 }$$ $$B . \frac { 5 } { 4 }$$ $$C . \frac { 7 } { 4 }$$ $$D . \frac { 1 } { 1 6 }$$ 25 数学九年级上册 配RJ版 版 考点3根的判别式及根与系数关系的综合 考点4一元二次方程的实际应用 8.(广州中考)关于x的方程x2一x十k2十2=0 11.某村为提高当地“村BA”总决赛的热度，发 的根的情况为 起了邀请好友转发海报得门票的活动.小 A.有两个相等的实数根 方从公众号转发链接给自己后，又转发给x B.有两个不相等的实数根 个好友，收到链接的每个好友又转发给x C.无实数根 个互不相同的人，此时小方的这条链接共 D.只有一个实数根 被转发133次，刚好满足领取门票的资格， 9.(广元中考)若关于x的一元二次方程(a一 则可列方程为 1Dr十(a-1)x一号=0有两个相等的实数 A.1+x+x=133B.1+x+x2=133 C.x(1+x)=133 D.(1+x)2=133 根，则a的值为 12.学科融合新趋势如图，小球悬浮于 10.已知1，x2是关于x的方程x2一2(m十1)x十 液体中（即浮=G),若F浮=20N,小 m2十5=0的两个不相等的实数根 球质量m=(x2十x)kg,g=10N/kg, (1)求实数m的取值范围； 则x的值为 .(注：G=mg） (2)若(x1一1)(x2一1)=7，求实数m的值； 13.(郑州期未)“千年新郑枣，颗颗甜心头，营 (3)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若 养好味道”，新郑好想你大枣皮薄肉甜，老 x1,x2恰好是△ABC另外两边的长，求 少皆宜.市场调查发现，郑州某店10月份 这个三角形的周长. 销量是500箱，12月份销量是720箱，其中 11月、12月份的销量月增长率相同. (1)求该店11、12月份销量的月增长率； (2)春节临近，为了让全国人民都能品尝到 新郑大枣的香甜，该店决定降价销售，其 中成本是每箱60元，当售价是100元每 箱时，月销售量是300箱，调查发现，每 降价1元，每月可多销售10箱，为使销 售利润达到12000元，且尽可能让顾客 得到优惠，每箱的售价应定为多少元？ 第二十五章一元二次方程26 聚焦课标 ◆·强化情境任务 14.实践探究新趋势综合与实践 主题 “知耕园”生态农场田地设计 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之贵，厚植劳动情怀，学校决定建立“知耕园”生态农场，开 情境 展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60m,宽为40m的矩形菜地的方案设计， 以下是同学们对菜地小路设计的研究过程. 要求：设计的每一条小路宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边.同学们设计的方案主要有如 图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中AB=CD=I)=EF=KL=HG. CD II CD II CD I 任务1 HG KL HG KL 甲：直径简洁型 乙：垂直倾斜型 丙：曲径通幽型 (1)①以上三种方案中小路面积的大小关系？ 你的判断是 ;(填“相等”或“不相等”) 问题1 ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262m,则每条小路的宽度是 m 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃.如图，花圃一边利用水池，其他边 用长为150m的篱笆围成中间隔有一道篱笆EF的矩形花圃ABCD. 任务2 问题2 (2)若可利用的水池长70m,花圃的面积刚好为1800m2,求矩形花圃的一边AB的长. 提示 请完成阶段微测试（二）[第二十五章] 27数学九年级上册配R版25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 2.C3.D4.解：(1)十x=二（-4)=4，x1=1,(2)z1十x三 八2 6 xm=3=-2.(3)方程化为x2十8x-10=0m十x2=-8,x1x=-10. 5.A6m>号7.58-29.解：佳佳的解题过程末考虑△≥0这个条件.正确的 解题过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1)]-4m2≥0，解得m≤子.由根与系数的 关系，得a十b=2m-1,ab=m2,,a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2= 3.m≤心m=-1. 能力提升 10.C11.B12.C13.202714.解：，方程x2十(a-2a)x十a一1=0的两个实数 根互为相反数，.x1十x2=-a2十2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2 1=0,符合题意；当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去，∴a=0. 思维拓展 15.解：(1)71 0右 =3.(3)令=a,-n=6,则d2+a-7=0,+b-7=0.:m≠-1. :元≠一n,即a≠k.“a,b是方程r十x一7=0的两个不相等的实数根.∴a士b正 a6=-.+n=d+=(a+b-2a=(-1-2X(-0=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·热点】 1.A2.-33.C41)-号(2)片(3)号（④）-}(6)@【变式题 25 5 5.解：(1)由题意，得△=(-6)2-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得 1十x2=6,x12=2m十1.：2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3. :m≤4，.3≤m≤4.6.解：(1)：方程有两个实数根，∴△=[-(2k十1)]-4×1× (:十2)≥0.4十4k十1-4状一8≥0.-4k十1≥0.解得≤子(2)由根与系数 的关系，得x1十x2=2k十1，x1x2=k2十2k.:x1十x号=(x1十x2)2-2x1x2=11, (2k十1)2-2(k2+2k)=11.整理，得2k2十1=11，.k2=5.解得k1=√5，k2=-√5. :≤子=后 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 基础过关 1.A2.43.解：设这个矩形菜园垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32一2x)= 120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，32一2x=20>18,不合题意，舍去：当x=10时，32 -2x=12<18,符合题意..x=10.答：这个矩形菜园垂直于墙的边长为10m.4.C 5.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9.解得x1=0.5, x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m.6.2 能力提升 7.C8.29.√5-110.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为 (80-x)cm根据题意得（学）十(0)=20.解得==40.要使这两个正 方形的面积之和为200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为 yem,则另一段绳长为(80-m根据题意，得（宁）+(0)=8，解得 一8（不符合题意，舍去），y2=88(不符合题意，舍去).∴这两个正方形的面积之和不可 能为488cm. 思维拓展 11.解：，四边形ABCD为矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN CM-BC-BM-8-2t,DN-CD-CN-6-1SAAMNxA8X6- 合×6×21-号×(8-24)×1-7×8X(6-)=号×8×6.整理，得-6t+8=0.解 得有=2，=4.当=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 -52 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 基础过关 1.D2.63.解：设每个人一节课教会了x名同学.根据题意，得1十x十x(1十x)= 49.解得x1=6,x2=一8（不符合题意，舍去）.答：每个人一节课教会了6名同学，4.C 5.20%6.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一x) =972.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年 平均下降率为10%. 能力提升 7.C8.69.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200× (1-20%)(1十x)=193.6.解得1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去).答： 11,12这两个月销售额的月平均增长率为10%.10.解：(1)根据题意，得1十x十x2= 111.解得x1=10,x2=一11（不符合题意，舍去）.∴.x的值为10.(2)经过三轮转发之 后，参与人数为1十10十100十1000=1111（人），四轮转发之后，参与人数为1十10十 100十1000+10000=11111（人）.：11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数 会超过10000人. 思维拓展 11,解：(1)10000(1+2x)10000(1+x)2(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000 (1十2x)=25.解得x1=0.05=5%,x2=-0.05(不符合题意，舍去).答：该理财产品的 年利率为5%， 第3课时循环、数字与销售问题 基础过关 1.C【变式题】112.解：设全班有x名学生，根据题意，得x(x-1)=1640.解得 x1=41,x2=-40(不符合题意，舍去).答：全班有41名学生，3.B4.325.解：设 这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十1).根据题意，得x(x十1)=72.解得 x1=8,x2=一9（不符合题意，舍去）.答：这个两位数为98.6.137.解：(1)400 8000(2)设每件文创商品应降价x元.根据题意，得(80-50-x)(200十20x)= 7500.解得x1=5,x2=15..商店要减少库存，降价越多，销售量越大，库存越少， .x=15.答：每件文创商品应降价15元. 能力提升 8.C9.3610.解：(1)设参加聚会的人数为x.根据题意，得2x(x-1)=28.解得 x1=8,x2=-7(不符合题意，舍去).答：参加聚会的人数为8.(2)根据题意，得 (m+2)(m十1)=21.解得m=5,m=-8(不符合题意，舍去).∴m的值为5.(3)根 1 据题意，得2n-3)十9=2(m十1D(m十1-3).解得n=10.∴边数n的值为10. 思维拓展 11,解：（任务1）设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为 x.根据题意，得1500(1十x)2=2160.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍 去).答：从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为20%.（任 务2)设下调后每人的用费为y元，根据短意：得(30十909。产)=3200.解得1二 400,y2=800.y≥750，∴.y=800.答：下调后每人的团费为800元. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.:AC=AB·BC,.a=1-a,解 得a=5a=有（不符合题意，含去.∴AC=5.(2)设AC=则BC=: 2 -2.∴.AB=AC十BC=2x-2.,AC=AB·BC,∴x2=(2x-2)(x-2).解得x1=3 十√5，x2=3-√5（不符合题意，舍去）.∴.AB=2x-2=4十25.3.解：【实践操作】 ,1【实践探索】：二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，“千斤”下面一截 2 琴弦长为80×5,1=405-40(cm. 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1解：)r-x+1-(-号)+子>0，a+6叶c=0.(2a+b+c=0b=-a -c..ax2-bx十c=0可化为ax2十(a十c)x十c=0..A=(a十c)2-4ac=(a-c)2>0. x=二a法0n=台=-1.2解将a20+c代入2+名=号 2a 2 得方千十+方=心2c十(2b十c)c=(26+c)6.化简，得2b-36c一c2=0.把c看作常 数，利用求根公式进行计算，得6=3±四.：b>c>0,b=3士亚。.a= 53 5士亚。.a:6:c=5十厘：3士应：1，答案不唯一，取满足这个比例式的正数 2 4 值即可，如：a=10十2√17，b=3十√17，c=4, 第二十五章章末复习 思维导图 一 整式2不相等相等无一bC aa 考点整合 1.B2.C3.x2-3x=0(答案不唯一)4.45.A6.D7.解：(1)整理，得(x-2)2 =24.由此可得x-2=士2√6，x-2=2√6，或x-2=-2V6,即x1=2+2√6，x2= 2-2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)十2(x一2)=0.左边分解因式，得(x-2)(x十1十2) =0.于是x-2=0,或x十3=0，即x1=2,x2=-3.(3)方程化为2x2十2√2x十1=0，此 时a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0.方程有两个相等的实数 根1==一名 三6=_22=，一号.8.C9.一110.解：(1)根据题意，得4= [-2(m十1)]2-4(m2十5)>0，解得m>2.(2)由根与系数的关系，得十x2= 2(m十1)，x1x2=m2+5.(x1-1)(x2-1)=7,x1x2-(x1十x2)十1=7，即m2+5- 2(m十1)十1=7，解得m1=3,m2=-1.由(1)知m>2,.m=3.(3):x1≠x2,∴.7是方 程的一个根.将x=7代入原方程，得49-14(m十1)十m2十5=0，解得m1=4,m2=10.当 m=4时，方程的另一个根为3，此时三边长分别为7,7,3，符合三边关系；当m=10时， 方程的另一个根为15，此时三边长分别为7,7,15，不能构成三角形，舍去.∴.这个三角 形的周长为7十7十3=17.11，B12.-2或113.解：(1)设该店11、12月份销量的 月增长率为x.根据题意，得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍 去).答：该店11、12月份销量的月增长率为20%.(2)设每箱的售价应定为m元.根据 题意，得(-60)[300+(100-m)×10]=12000.解得m1=100,m2=90.:要尽可能 让顾客得到优惠，.m=90.答：每箱的售价应定为90元. 聚焦课标 14.解：(1)①相等②1(2)设矩形花圃的一边AB的长为ym,则BC的长为(150-3y)m. :水池长70m,150-3y≤70，解得≥26号.根据题意，得y(150-3y)=180.解 得y=30,y2=20(不符合题意，舍去).答：矩形花圃的一边AB的长为30m. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 基础过关 1.B2.y=5x2-5x5-53.-24.A5.y=-2x2+8x6.y=-10x2+560x -735021x≤25.2 能力提升 7.C8.B9.y=60十60(1十x)十60(1十x)10.解：(1)由题意，得y=x[30-x-(x -2)]=-2x十32x.自变量x的取值范围是2<x<16.(2)由题意，得y=-2x2十32x =56,解得x1=2(不合题意，舍去)x2=14..x的值为14. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 基础过关 1.D2.A3.解：(1)如图所示 6 (2)开口向上，对称轴为y轴，顶点 -6-4-20246x -2 -4 -6 坐标为(0,0).(3)当x>2时，y>1.4.B5.D6.<【变式题】<7.解：(1)将(2， 一2)代入y=a2,得-2=4a,解得a=一合这个二次函数的解析式为y=一号. (2)这个二次函数的最大值为0.(3)当x<0时，函数值y随x的增大而增大.8.士4 能力提升 9.B10.2(答案不唯一)11.a>b>c>d12.解：(1)根据题意，得k十20，且k2十k 一4=2，解得k=一3.(2)由(1)，得k=一3，则y=x2..函数图象的顶点坐标为 (0,0),对称轴为y轴.(3)一1≤x≤2，-1<0，∴.当x=0时，y有最大值，最大值为 0:当x=2时，y有最小值，最小值为-2=-4.13.解：(1)1.8(2)由题意，得CE= 0.2m,则z=0.2-1.8=-16.令y=-1.6,则-号r=-1.6,解得x=士E.EF =√2-(-J2)=22(m) 54