25.3 实际问题与一元二次方程暑假自学练2026-2027学年数学人教版九年级上学期

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，涵盖生活场景（销售、传播）与几何问题（折叠、动点），梯度设计适配暑假自学，综合题强化建模与跨知识应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|增长率、几何面积、传播问题|情境真实（如冠状病毒传播、超市促销）| |填空题|6|动点距离、涨价问题、道路面积|基础与中档结合，强调方程建立| |解答题|6|利润计算、几何综合、动态问题|多步设问（如产蛋量增长率、矩形折叠），贴近中考综合题型|

25.3 实际问题与一元二次方程 暑假自学练 2026-2027学年初中数学人教版（2024）九年级上学期 一、单选题 1．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（ ） A． B． C． D． 2．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 3．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱隆价1元，每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利1400元，设每箱降价的价钱为x元，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．如图是一张矩形纸片，点分别在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处；把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，则矩形的面积为（    ） A．420 B．360 C． D． 5．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染人，依题意可列方程 A． B． C． D． 6．某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为．根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．为加快推动城市生态建设的步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，昆明市政府计划在某公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为，宽为，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少？设矩形地块四周道路的宽度为，根据题意，下列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（　　） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 二、填空题 9．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为__________． 10．已知一个长方形的长是宽的倍，面积是，则这个长方形的周长为__________． 11．如图，、、、是矩形的四个顶点，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，当时间为__时，点和点之间的距离是． 12．由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为x，则由题意可列方程为，_______________． 13．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 _____． 14．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm.      三、解答题 15．某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同． （1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率； （2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？ 16．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 17．某商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元； 信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元； 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元. 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） （2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件.为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降元.在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共为1700元？ 18．市政规划出一块矩形土地用于某项目开发，其中，设计分区如图所示，为矩形内一点，作于点交于点，过点作交于点，其中丙区域用于主建筑区，其余各区域均用于不同种类绿化． 若点是的中点，求的长； 要求绿化占地面积不小于，规定乙区域面积为 ①若将甲区域设计成正方形形状，能否达到设计绿化要求?请说明理由； ②若主建筑丙区域不低于乙区域面积的，则的最大值为 （请直接写出答案） 19．石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 20．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A A D D D D 1．A 由题意易得该无盖纸盒的底面长为，宽为，然后问题可求解． 解：设剪去小正方形的边长为， 则由题意可列方程为， 故选A． 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 2．B 本题考查的是一元二次方程的应用，设该组共有x名同学，每名同学赠书本，根据共互赠了210本图书列出一元二次方程即可． 解：由题意得，， 故选：B 3．A 设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12-x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，根据每天销售饮料获得的利润=每箱的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12-x）元，每天的销售量为（100+20x）箱， 依题意，得（12-x）（100+20x）=1400． 故选：A． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．A 由折叠的性质得，设,则,得，，再在中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题． 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， 设,则, ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍去）， ∴， ∴矩形的面积， 故选：A． 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 5．D 此题可设1人平均感染人，则第一轮共感染人，第二轮共感染人，根据题意列方程即可． 解：设1人平均感染人， 依题意可列方程：， 故选：D． 此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 6．D 分别表示出2月和3月的营业额，然后将1、2、3月的营业额相加即可． 解：根据题意列方程得： ． 故选：D． 此题主要考查了一元二次方程的平均增长率问题，正确理解题意是解题关键． 7．D 设矩形地块四周道路的宽度为，则草坪的长为，宽为，然后根据矩形的面积公式列出方程即可． 解：设矩形地块四周道路的宽度为，则草坪的长为，宽为 由题意可得：． 故选D． 本题主要考查了列方程，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键． 8．D 以AB为对角线将图形补成长方形，由已知可得缺失的两部分面积相同，即3×6=x×(9-x)，解得x=3或x=6，故选D. 本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确地区分和识别图形是解题的关键． 9．9 一轮轮传播后，有参与；随后第二轮，新增人收到链接．据此即可求解． 解：由题意得： 解得：（舍去） 故答案为：9 本题考查传播问题与一元二次方程．明确每轮新增的人数是解题关键． 10． 本题考查二次根式的应用及一元二次方程的应用，能够将图形的面积公式和二次根式熟练的结合在一起是解答本题的关键．设长方形的宽为，则长方形的长为，则，解出方程，再进行计算即可． 解：设长方形的宽为，则长方形的长为， 则， 解得（舍去）， 长方形的长为， 长方形的周长为． 故答案为： 11．或 过点作于点，设当t秒时PQ=10cm，利用勾股定理得出即可． 解：设当时间为时，点和点之间的距离是， 过点作于点，如图： 则，， 故， 解得：，， 即当时间为或时，点和点之间的距离是， 故答案为：或． 本题考查了勾股定理和矩形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键，用了方程思想． 12． 可先表示出第一次涨价后的价格，然后可得第二次涨价后的价格，根据两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元列方程即可． 解：设平均每次涨价的百分率为x， 则第一次涨价后的价格为，第二次涨价后的价格为， ∴可列方程为， 故答案为：． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 13．（或） 将阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600平方米列出方程即可． 解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为（或）． 故答案为：（或）． 本题主要考查了一元二次方程的应用，利用平移的知识得到种植面积的形状，进而得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 14．10 设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可. 设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得： (2x)2+(25-x)2=252， 4x2-50x+x2=0， 5x(x-10)=0， x1=0 (舍去), x2=10 (秒). ∴10秒后P、Q两点相距25cm. 故答案为10. 本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 15．（1）该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；（2）至少再增加2个销售点． （1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可进行求解； （2）设至少再增加y个销售点，根据题意列出不等式即可求解. （1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x， 根据题意得，， 解得：，（不合题意舍去）， 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%； （2）3.6×（1+20%）=4.32万（kg）， 4.32÷0.32=13.5（个），即六月份应至少14个， 3.6÷0.32=11.25（个），即五月份销售点应为12个 则需增加14-12=2（个）， 故至少再增加2个销售点． 此题主要考查一元二次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系. 16．（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元 （1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论； （2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b， 将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b， ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80． 当x=23.5时，y=﹣2x+80=33． 答：当天该水果的销售量为33千克． （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150， 解得：x1=35，x2=25． ∵20≤x≤32， ∴x=25． 答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是掌握：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 17．（1）2，3；（2）当定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共为1700元. （1）设甲商品的零售价为x元，乙商品的零售价为y元，根据“甲、乙两种商品的进货单价之和是3元以及按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元”列出方程组求解； （2）把甲商品的零售价下降m元时，可多卖价商品件，根据“甲、乙两种商品获取的利润共1700元”即可得到，求解即可即可使问题得解. （1）设甲商品的零售价为x元，乙商品的零售价为y元，根据题意得 解得， 答：甲商品的零售价为2元，乙商品的零售价为3元； （2）把甲商品的零售价下降m元时，可多卖价商品件，根据题意得 解得m=0.5或m=0（舍去） 答：当m定为0.5元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元. 本题考查二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用.能根据题意找出等量关系，列出方程或者方程组是解决此题的关键，在（2）中对于“每每型”问题.，解决此类问题的关键在于理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系. 18．（1）90m；（2）①能达到设计绿化要求，理由见解析，②40 （1）首先理由矩形性质得出AD=BC=180m，AB∥CD，AD∥BC，进一步证明出四边形AFEG与四边形DGEH为矩形，四边形BIHE为平行四边形，由此得出AG=EF，DG=EH，EH=BI，据此进一步求解即可； （2）①设正方形AFEG边长为m，根据题意列出方程，然后进一步求解再加以分析即可；②设AF=m，则EH=m，然后结合题意列出不等式，最后再加以求解即可. （1）∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=180m，AB∥CD，AD∥BC， ∵EG⊥AD，EH∥BC，HI∥BE， ∴四边形AFEG与四边形DGEH为矩形，四边形BIHE为平行四边形， ∴AG=EF，DG=EH，EH=BI， ∵点G为AD中点， ∴DG=AD=90m， ∴BI=EH=DG=90m； （2）①能达到设计绿化要求，理由如下： 设正方形AFEG边长为m， 由题意得：， 解得：， 当时，EH=m， 则EF=180−150=30m，符合要求， ∴若将甲区域设计成正方形形状，能达到设计绿化要求； ②设AF=m，则EH=m， 由题意得：， 解得：， 即AF的最大值为40m， 故答案为：40. 本题主要考查了四边形与一元一次方程及一元一次不等式的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 19．(1)； (2)9元 (3)①每碗凉面的定价为10元时，当天米线、凉面销售总量最多，为270碗；②8 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意列出，待定系数法求得； （2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解． （3）①根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解； ②根据销量乘以定价，列出一元二次方程，解方程，即可求解． （1）解： 设 当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， 解得：， ∵为整数， ∴，即每碗米线定价元 （3）解：①∵，即 设米线和凉面销售总量为，则 ∵ 随的增大而增大 又∵ ∴当取得最大值时，最大值为 ∴每碗凉面的定价为元时，当天米线和凉面销售总量最多，为碗； ②依题意， 解得：或（舍去） 故答案为：． 20．(1)3； (2)； (3) 不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； (4)1或3． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． （1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）略 （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $