湖南邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高二下学期第三次学情监测数学试卷

2026年上学期高二第三次监测数学试卷 时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1,设架合-{-5x-6≤8=2<1 则AIB=() A.（-1,0) B.[-1,0) c.(-1,0] D.[-1,0] 2.复数z=1+i是z2-2z+2=0成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知5sma-cosa-25,那么cos(r+)=（) 3 A.6 B.-5 C.② D.-2 3 3 3 4.已知向量五，名满足d=2,=3.点-=V万，则a与方的夹角为() π D.3 5.现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场 馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有() A.12种 B.14种 C.16种 D.18种 6.已知在三棱锥P-ABC中，除PC外其他各棱长均为2，且二面角P-AB-C的大小为 60°若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A. 52π B.65π C.52m D. 65π 4 3 2 7,双曲线C:x-上=1的右支上一点P在第一象限，B,B分别为双曲线C的左、右焦点， 916 M为VP耳F,的内心，若内切圆M的半径为1，则直线PF的斜率为() y A.1 32 16 C. D. 63 63 8.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数x)为“局部奇 函数”，若函数f(x)=4'一m·2一3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围 是() A.（-00,2） B.[-2,+∞）C.[-2,2) D.[-42) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有 两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9.已知函数f(x)=n(x-2)+n(8-x),则() A.f(x)的定义域为(2,8) B.f(x)在定义域内单调递增 C.y=f(x)的图象关于直线x=5对称 D.f(x)的最大值为2n2 10.抛物线y°=4x的焦点为F,顶点为O,过点F作倾斜角为O的直线1，交抛物线于A,B 两点，点A在x轴上方，分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为A,B,,准线与x轴交于 点C,则下列说法正确的是() A.当B=90°时，AB=4 B.当0=60°时，IAF=3BFI C.三角形ABC面积的最小值为3 D.A4+2BB的最小值为3+2√2 11.单个水果的质量Y(单位：克)服从正态分布N(15,σ)，且P(Y>17)=p,规定单个水果的 质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数 为X,下列结论正确的是（)· A.若1=12，则D(X)的最大值为3B.若=lP8,当P(X=)取最大值时，：=9 C.当p存n为偶数时， 2P(X=2)F2 k= D.若p=名，P(X≥2≥0.9，则n的最小值为5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 2.若版 的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的第四项系数为 13. 已知奇函数f(x)的周期为2，且当x∈1,2)时，f(x)=2x+3, 则f(og2)= 14.己知4ABC的面积为S,且∠A,∠B,∠C所对的边记为ab,c,满足4a=b+c2,则的最大值 为 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15.(13分)已知等差数列{a}的前n项和为Sm,且a1=3,S6=78. (1)求{a}的通项公式： (2)设b,=(a+1)2，求数列私}的前n项和T. 16.(15分)如图1，正方形ABCD的边长为2.如图2，现将正方形ABCD沿着对角线AC翻折， 其中O为原正方形ABCD的中心. A (I)证明：平面ABC1平面BOD: (2)翻折至四面体ABCD的体积最大时，求CD与平面 ABD所成的角的正弦值. 图1 图2 17.(15分)为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法 得到电动汽车销量y（单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程y=4.7x-9459.2,且销 量y的方差为52= 254 年价的方远为S2=2. (1)求y与x的相关系数？，并据此判断电动汽车销量y与年份x的线性相关性的强弱， (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 3 依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人， 记这3人中男性的人数为X,求X的分布列和数学期望. ①参考数据：√5×127=√635≈25. 包参考公式：线性回归方程为y=x十0，其中6：差少可 a=-b阮： 2x-到 ∑-(-列 相关系数r 2x-)2- 三，若r>0.9,则可判断y与x线性相关较强； K2= n(ad-be)? (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d.附表： P(2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18.(17分)已知函数f(x)=ax2+1nx+1. (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线经过点(0，-1)，求实数a的值： (2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围； (3)证明：当a=1时，f(x)≤xe+x2-x. 公已知猫圆c名+卡口>6>0叭的左、有顶分翔为2商幸 2 且|AB=4. (1)求C的方程： (2)已知M,N是直线x=1上的两点，且满足BM⊥BN,记直线AM、AN的斜率分别为飞1，k,. (i)求k,·k,的值；(ii)若直线AM与C交于另外一点P,直线AN与C交于另外一点Q, 求点B到直线PQ的距离的最大值 52026年上学期高二第三次监测数学试卷 时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1设合=4-5-6.=2e1, 则A∩B=() A.（-1,0) B.[-1,0) C.(-1,0] D.[-1,0] 1.【答案】B 【详解】由题意得集合A={xx-5x-6≤0={刘-1≤x≤6， 类合乃-{5<2<-{3<<，银摄变集的定义行4n8-41sxe0叫 2.复数z=1+1是z2-2z+2=0成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2【答案】A 【分析】根据充要条件的判定，分别验证充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果 【详解】对一元二次方程z2-2z+2=0配方得(z-1)=-1,解得根为z=1+i或z=1-i, 判断充分性：若z=1+i,代入方程左边计算：（1+i)3-21+i)+2=(（1+2i-1)-2-2i+2=0,等式成立， 因此z=1+i可以推出方程成立，充分性满足； 判断必要性：若方程z2-2z+2=0成立，z还可以是1-i,不一定等于1+i,因此方程成立推不出z=1+i, 必要性不满足；因此z=1+i是z2-2z+2=0成立的充分不必要条件. 3.已知V3sinu-cos= 2W ,那么cos(a+)-() 3 A. 3 B. 3 C.v 3 D.-2 3 【答案】D 【分析】借助辅助角公式可得sin 0- 6 再利用诱导公式整体代换计算即可得， 3 则cos(a+)=cos[(a-君+月=-sim(a-)=-9 4.已知向量ā，万满足d-2,6=3,a-=V7,则a与6的夹角为() C. 3π D. 3 4 4.【答案】C 【详解】因为a-=√7，所以a-=a-2ā.b+6=22-22.3cos(a,+32=7, 所以os(a5列7所以a）-号 5.现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场 馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有() A.12种 B.14种 C.16种 D.18种 【答案】B 【分析】结合人数的分配以及排列数、组合数的计算求得正确答案 【详解】根据题意，不同的分组有3,1和2,2， 则不同的安排方法共有C3A3+-14. 6.已知在三棱锥P-ABC中，除PC外其他各棱长均为2√3，且二面角P-AB-C的大小为 60°若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A.52m B.65n C.52n D.65 9 4 3 2 6.【答案】C 【分析】由已知条件得出△PDC为等边三角形，利用球心O在线段DF上，易知O在直线DC 上的射影G为正4BC的重心，结合∠CDF=30°，求出OG,再结合勾股定理即可求出R, 从而求出球的表面积 【详解】如图，设D,F分别为AB,PC的中点， 连接PD,DF,CD,则球心O必在线段DF上，且∠CDF=30°. 设O在直线DC上的射影为G,则G为正ABC的重心，且OG⊥底面ABC. 所以DG=1,CG=2, 所以0G=DG-an30-号R2=0c2=CG2+0G 故球的表面积为4πR2=52严 31 G 7.双曲线C:七y =1的右支上一点P在第一象限，F,乃分别为双曲线C的左、右焦点， 916 M为△PFF,的内心，若内切圆M的半径为1，则直线PF的斜率为() 1 32 16 A·8 B. C. 2 D. 63 63 7.【答案】D 【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点M的坐标，再结合斜率的定义 及二倍角的正切公式求解. 【详解】双曲线C。=1的实半轴长a=3 焦点F(-5,0),F(5,0), 设圆M与△PFF三边PF,FF,PF分别相切于点R,W,Q, PF-PF=PR+RF-OF-PO=RF-OF =NF-NF =2a=6, 又+N=F=10,解得=8，F=2,|ONOF-,=3, 则点N3,o,因为WLx轴，所以由题M3,1),an∠MFN=,1-0= 3-(-5)81 2tan∠MFN 2 所以直线P明的斜率kR=tan2∠MN=, 8 16 1-tan MFN 1-() 63 8.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=一f(x),则称函数x)为局部奇 函数”，若函数f(x)=4一m·2-3是定义在R上的局部奇函数”，则实数m的取值范围 是() A.（-0,2) B.[-2,+∞)C.[-2,2) D.[-4,2) 8.【答案】B 【详解】选B.根据“局部奇函数的定义可知，方程f(-x)=-f(x)有解即可，即 4x-m.2x-3=-(4-m.2x-3),所以4x+4-m(2x+2x)-6=0,化为 (2+2)}-m(2+2*)-8=0有解，令2+2=t,t≥2，则有r2-m1-8=0在[2，+∞)上 有解，设g0=-mM-8,对称轴为x=?①若m≥4，则1=m+32>0,满足方程有解 m<4 ②若m<4,要t2-mt-8=0在t≥2时有解，则需 8(2)=-2m-4s0’解得-2≤m<4. 综上可得实数m的取值范围为[-2，+∞). 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有 两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9.已知函数f(x)=ln(x-2)+h(8-x),则() A.f(x)的定义域为(2,8) B.f(x)在定义域内单调递增 C.y=f(x)的图象关于直线x=5对称 D.f(x)的最大值为2n2 【答案】AC 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单 调区间，由单调区间求得最大值 详解了)=nc-2)+血8,0定义域为28)，A选项 f(x)=n(x-2)+n(8-x)=n「(x-2)(8-x)],令t=(x-2)(8-x), 则y=lt,因为二次函数t=(x-2)(8-x)的图象的对称轴为直线x=5, 又因为∫(x)的定义域为(2,8)，所以y=∫(x)的图象关于直线x=5对称，C选项正确： 且在(2,5)上单调递增，在(5,8)上单调递减，B选项错误： 当x=5时，t有最大值，所以f(x)ms=h(5-2)+h(8-5)=2h3,D选项错误； 故选：AC 10.抛物线y2=4x的焦点为F,顶点为O,过点F作倾斜角为日的直线1，交抛物线于A,B 两点，点A在x轴上方，分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为A,B,准线与x轴交 于点C,则下列说法正确的是() A.当日=90时，AB=4 B.当0=60°时，|AF=3BF C.三角形ABC面积的最小值为3 D.A4+2BB,的最小值为3+2√2 10.【答案】ABD 【详解】由y2=4x可得p=2,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1, 对于A,当B=90°时，可得A(1,2),B(1,-2),AB=2-(-2)=4,A 故A正确： 对于B,当0=60时，直线1的方程为y=V3(x-1),与抛物线方程联 立， 消去少，化简整理得3x2-10x+3=0,解得4=3或x=, 所以4-1-4，B-+1-手所以4-3B,故B正确：（另解：几何法： 设AP=mlB=n,则AA=A=m,1BB,=1B=n2o860专∴n=3n 故B正确) 对于C,设直线1的方程为x=y+1,与抛物线方程联立 消去x,化简整理得y2-4my-4=0,设A(x,为)，B(x,y3), 则y+y3=4m,y1y3=-4, 所以AB到=V1+mVy+为)2-4为=V1+mV(4m)2-4×(-4=41+m) 又点C到直线1的距离d=1+mx0+1 2 V1+m2 V1+m2’ 所以s.c=2×4+m)× ==4W1+m°≥4 v+m 当且仅当m=0时，等号成立，三角形ABC面积的最小值为4，故C错误： 对于D,由抛物线的定义得A4+2BB=A+2B的=x+1+2,+1)=上++3 2+3=25+3,当日仅当片=号，即片=-2y时等号成立，故D正确 8 11.单个水果的质量Y(单位：克)服从正态分布N15,σ2)，且P(Y>17)=p,规定单个水果的 质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数 为X,下列结论正确的是() A.若n=12,则D(X)的最大值为3 B.若m=山pP令当P(K=取最大值时，太=9 C.当p寻，n为偶数时， X=2=月 k=0 D.若p名P(X≥2)2≥09，则n的最小值为5 【答案】ACD 【分析】对于A,由二项分布的方差公式直接验算即可判断：对于B,由题意列 出不等式组即可验算；对于C,由二项分布概率的可加性即可验算；对于D,由 题意得P(X-0)+P(X-1)≤0.1，将它转换为关于n的不等式即可求解 【详解】由题意可知，优质品的质量位于13克至17克之间，即P(13<Y<17)=1-2p, 可知X~B(n,1-2p) 对于A,X~B(12,1-2p),D()=12(1-2p)2p≤12 (1-2p)+2p =, 2 当且仅当p=4时，D(x)取得最大值3，故A正确 [P(X=k)≥P(X=k-1) 对于B,X~),当P(X=取最大值时，PX=)X+ 即 HG" 解得8≤k≤9，即k=8或9，故B错误 对于C《-8身-护x-专，放C正确 对于D,X~B),因为PX≥2209，所以PGx-0+Px-)≤01， 所以+c子s1,化简得(2+目so1, 因为%-2韶1，所以1单调递减。 又f(4)>0.1,f(5)<0.1,所以n的最小值为5，故D正确 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12.若G- 的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的第四项系数为 【答案】-160 【详解】由题意可得2n=64,故n=6, 故展开式的第四项系数为C(-2)3=-160, 故系数为-160， 故答案为：-160 13.已知奇函数f()的周期为2，且当xe1,2)时，f)=2+3,则f(1og2)= 【答案】-6 【详解】由f(x)的周期为2，可得f(1og2)=f(2-1og23)=f(-1og23), 由f(x)是奇函数，可得f(-log23)=-f(1og23), 因为当x∈(1,2)时，fx)=2+3,所以f0og23)=2og23+3=6, 即f(1og2)=-f1og23)=-6 14.已知△ABC的面积为S,且∠A,∠B,∠C所对的边记为a,b,c, 满足4r2=B+c2,则的最大值 为 【答案】√7 【详解】根据余弦定理，oA+工-汇肌c- 2be 2cos 则Bc的面积为s=csmA=分2osA 13a2 3a2 sin A ×sinA= 4cos, 所以，智==3anA cosA 又由4a2=b2+c2≥2be,可得bc≤2a2,当且仅当b=c时等号成立， 所以，w4签子则A为锐角， 所以tanA= sin A 1-cos2A 1 -1≤ cos cos2 Vcos21 3, 所以号=3amA的授大值为3×号 =7 故答案为：√7 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15.(13分)已知等差数列{a}的前n项和为S,且a1=3,S6=78. (1)求{a}的通项公式： (2)设b,=(4.+1)2,求数列{}的前n项和. 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d, 由题意可得S6=6a1+15d=78,解得d=4, 所以数列{a}的通项公式an=3+4(n-1)=4n一1.…5分 (2)由(1)知：a=4n-1, 所以b.=(4n-1+1)x21=nx2H, 所以Tn=+b,++bn1+b,=1x2+2x22++(n-1)x2”+nx2*, 所以2Tn=1x22+2x24++(n-1)x2m1+nx2*2, 所以-7=2+2++2-x2=2-2） 1-2 n×2e=-n2a®-4， 所以Tn=(n-1)2m2+4;13分 16.如图1，正方形ABCD的边长为2.如图2，现将正方形ABCD沿着对角线AC翻折，其中O 为原正方形ABCD的中心. D 图1 图2 (I)证明：平面ABC⊥平面BOD; (2)翻折至四面体ABCD的体积最大时，求CD与平面ABD所成的角的正弦值. 【详解】(1)在图1中连接OB,OD, 因为AABC和△ADC都是等腰三角形，且O是正方形中心， 所以AC⊥OD,AC⊥OB, 因为OB∩OD=O,OB,ODc平面BOD, 所以AC⊥平面BOD.又ACC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BOD …6分 (2)在翻折过程中，四面体ABCD的体积取最大值时，D点到平面ABC的距离最大， 此时平面ACD⊥平面ABC,因为DO⊥AC,所以DO⊥平面ABC. 所以OA,OB,OD两两垂直，如图3， 以O为坐标原点，OA,OB,OD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 因为正方形ABCD的边长为2， 所以A2,0,0),D(0,0②)，B(0,V2,0),C(-V20,0), CD=(W2.0,),AB=(-√2,2,0)，AD=（←-20,2)， 设平面ABD的一个法向量n=（(x,y,), i.AB=0m「-√2x+5y=0 因为 即 元.AD=0 即{-2x+5z=0 令x=1,则y=1,z=1,得i=(1,1,1), 设CD与平面4BD所成角为p,sim实cos元c西元：C巴 22_6 ,cD2W33, 即CD与ABD所成的角的正弦值为V6 3 15分 17.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动 汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性回归方程y=4.7x一9459.2，且销量y的方 差为2= 254 1 5 年份x的方差为S2=2 (1)求y与x的相关系数r,并据此判断电动汽车销量y与年份x的线性相关性的强弱. (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ (3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人， 记这3人中男性的人数为X,求x的分布列和数学期望 ①参考数据：√5x127=√635≈25. ®©考公线物回白方程为y=c十后，其6 ∑（年-）(-列 a=-bx: Σ(x-) ∑(x-(y-列 相关系数” 一，若T>0.9,则可判断y与x线性相关较强： 2x-空- K2= nad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)6+d)' 其中n=a+b+c+d.附表： P(K≥k) 0.10 0.05 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)电动汽车销量y与年份x的线性相关性的较强； (2)依据小概率值=0.05的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关； (3)分布列见解析，数学期望为9 【解析】1由-2，得空低矿==，由5-，得空x-列=心-2， 图为线性回归方程y=47x9459.2,则6盆体0y司 =4.7, 2-对 即2-(0y-列=4.7(-可=4.7×2n=94, 2(6-x(0y-列 9.4n 4.7×√5x127 因此相关系数” 254n 127 4.7×250.9309, 127 2n× 所以电动汽车销量y与年份x的线性相关性的较强 .5分 (2)零假设H:购买电动汽车与车主性别无关， 由表中数据得：K2-90(39x15-30×6 ≈5.031>3.841， 45×45×69×21 依据小概率值=0.05的独立性检验，推断H,不成立， 即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05 .10分 (3)按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有7×。52人， 女性有5人， 则x的可能值为u,x-0=-号心x--答号 P(r-)-Ccl 1 C37 所以x的分布列为： X 0 2 2 7 x的数学期望20=0号+129 ….15分 18.(17分)已知函数f(x)=ax2+nx+1. (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线经过点(0，-1)，求实数a的值： (2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围； (3)证明：当a=1时，f(x)≤xe+x2-x. 18.【详解】(1)函数f(x)=ax2+lnx+1的定义域为(0，+o),所以 f(x)=2ax+1=(2ar2+1, f1)=a+1,f'(1)=2a+1, ∴.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(a+1)=(2a+1)(x-1), 把(0，-1)代入，得a=1. .4分 2令=0，得a=,令=，则y 1 当0<x< 上单调递减， ve 当x> 1 后时，y>0则y史在*9上华鹅滋增 2Γ 1 e .当x= 时，ym=2 当x>0且趋近于0时，y=- x+1趋近于+0： 当x趋近于+o时，y= Inx+1 <0且趋近于0， “要使函数f()有两个零点，只需-。<a<0,即实数a的取值范围为 2 .10分 (3)当a=1时，要证f(x)≤xe+x2-x成立，即证lnx+l≤xe-x成立， 记g-h+1-x,则g(a到-(x1e1=(x-e0 i记9=1-c,x>0, :y=1和y=-e在(0，+)上均单调递减，“M)=1-e在(0，+)上单调递减， 又：A82-6≥0，h0=1-e<0,存在e 使得h(x)=0, 即h(x)=1-e=0,5e的=1,6=-血， xn 当0<x<x时，hx)>0,即g(x)>0, .g(x)在(0，x)上单调递增，当x>x时，h(x)<0,即g(x)<0, ∴g(x)在(，+oo)上单调递减.∴g(x)mx=g(x)=h-x,e0++1=-x-1++1=0, ∴g(x)≤g(r)ms=0,故lnx+l-xe+x≤0成立，原命题得证. 另解：当a=1时，要证f(x)≤xe+x2-x成立，即证x+nx+1≤xe*成立， 设t=x+lnx,tER,则xe=e 即证t+1≤e成立，h(t)=e-t-1,h'(t)=et-1, 当t<0时，h(t)<0,当t>0时，h(t)>0, h(t)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+oo)上单调递增 h(t)mim=h(0)=0, ∴.h(t)≥h(0)=0,故t+1≤e成立，原命题得证. …17分 四T分知圆C二一Q>6>0的忘、有预点分别为4,20为的 且AB=4. (1)求C的方程： (2)已知M,N是直线x=1上的两点，且满足BM⊥BN,记直线AM、AN的斜率分别为k,飞. (i)求k·k的值： (ii)若直线AM与C交于另外一点P,直线AN与C交于另外一点Q,求点B到直线PQ的 距离的最大值。 19.【分析】(1)根据题意列方程，求解α，b,c,即可得到椭圆方程： (2)()利用斜率公式及两直线垂直的条件化简即可求解： ()当直线PQ的斜率存在时，设出直线PQ的方程，将直线PQ的方程与椭圆的方程联立， 利用韦达定理，结合k·k,=一二，进而得出直线PQ过定点，当直线PQ的斜率不存在时，求 9 出直线AM,与椭圆的方程联立，得出P,Q坐标，得出直线PQ过定点即可求解， 2a=4 【详解】(1)由题意知 c_v3 c2=a2-b3 解得a=2,b-1,c=√5，所以c的方程是+y少=1. …4分 4 (2)(i)由题意知B(2,O),设M(1,M),N(1,yx),因为BM⊥BN, 所以v产产1即⅓-1， 拟名网告学日 …9分 (i)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=x+m,P(x,乃)，Q(x,3), y=kx+m 由 x2+4y2= 得(1+4k2）x2+8x+4m2-4=0, 8km 4m°-4 所以x+x3= 1+4k’x=1+4k’ B 为为=(+m(+m=及x+a(x+)+m-m-4限 1+4k2 yy2 1 所以gG25139整理得9+5+2(+）4-0. 所以9xm4k,4m-42 8am】 快+1中+214按 +4=0,整理得(13m+10k)(m-2k)=0, 所以m= 10 k或m=2k. 13 当m=2k时，直线PQ的方程为y=k(x+2),过定点A(-2,0),不符合题意： 10 当m= k时，直线PO的方程为y=k 过定点 13 13 1 当直线PO斜率不存在时，M,1),N,-),4(2,0),直线AM的方程是y=3x+2)与 椭圆方程二y广=1联立得P 1012 13'13 ,同理得2 1012 4 1313 ,此时直线PO的方程是x=1 31 1 过定点 10 130 综上，直线PQ过定点，该定点坐标是E .0 13 当BB1P2时，点B到直线PO的距离取得最大值，最大值为2-10-16 1313 18分